知识点：3.集合的基本运算

D

【考点】集合的表示法．

【分析】求出∁UA={x|x≤0或x≥1}，即可得出结论．

【解答】解：∵∁UA={x|x≤0或x≥1}，B={0，1}，

∴B⊆∁UA，

故选D．

知识点：3.复数代数形式的四则运算

A

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．

【解答】解：由===，

得，解得a=﹣．

故选：A．

知识点：4.命题及其关系

【考点】四种命题．

【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．

【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是

“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．

故选：C．

知识点：4.空间点、直线、平面之间的位置关系

D

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．

若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；

②如图，由图可知②不正确；

③∵直线l⊥平面α，l∥m，

∴m⊥α，又m⊂平面β，

∴α⊥β，③正确；

④由②图可知④不正确．

∴正确的命题为①③．

故选：D．

知识点：1.算法与程序框图

B

【考点】程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．

【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，

∵+++…+=1﹣=，

故==，

故p=5．

故选：B．

知识点：3.二项式定理

A

【考点】二项式系数的性质．

【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于7，求得r的值，即可求出x7的系数．

【解答】解：（x2﹣x）5的展开式中，通项公式为

Tr+1=C5r•x10﹣2r•（﹣x）r，=•（﹣1）r•x10﹣r，

令10﹣r=7，求得r=3，

可得展开式中x7的系数为

（﹣1）3•C53=﹣10．

故选：A．

知识点：3.空间几何体的表面积与体积

B

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．

【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，

∴=（2πr）2h，

∴π=．

故选：B．

知识点：6.三角函数的图像与性质

D

【考点】正弦函数的定义域和值域．

【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．

【解答】解：由题 =，

当时，f（x）∈[﹣1，]

当时，f（x）∈（﹣1，）

故可求得其值域为．

故选：D．

知识点：3.抛物线

A

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．

【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．

设过F点直线方程为y=k（x﹣1）

代入抛物线方程，得 k2（x﹣1）2=4x．

化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有x1x2=1，

根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，

∴=+==1，

故选A．

知识点：15.函数的图像

C

【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．

【分析】由题意可知，函数为周期函数，作函数的图象解答．

【解答】解：∴函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），

∴f（x）的周期为2，

又∵当x∈[﹣1，0）时，，

作出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象如下：

由图可得：函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是4个，

故选：C

知识点：3.几何概型

C

【考点】几何概型．

【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜30}做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率．

【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，

∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜30}，

而满足条件的事件对应的集合是A═{x|0＜x＜20}，

得到 其长度为20，

∴小张能取到快递的概率是．

故选：C．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

D

【考点】正弦定理．

【分析】根据余弦定理和角平分线定理，求出△ABC是正三角形时面积取得最小值，当AB⊥BC时，△ABC面积取得最大值，由此求出结果．

【解答】解：如图所示，

锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，

根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c•cos=c2﹣c+1，

CD2=b2+1﹣2b•cos=b2﹣b+1；

根据角平分线定理， =，

即=；

∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，

即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；

当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，

得AB=AC=，则S△ABC=bcsin=；

当b≠c时， bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，

所以bc≥，即b=c=时S△ABC取得最小值为；

又当AB⊥BC时，

BD=，AB=，DC=AD=1，

S△ABC=××（1+）=为最大值，

△ABC面积的取值范围是[，]．

故选：D．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα 和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．

【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．

∴tan==，

故答案为：．

知识点：1.直线的倾斜角、斜率与方程

2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．

【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，

把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，

因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，

∴+1=4，得x0=1，

把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），

再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，

∴k=2．

故答案为：2．

知识点：3.平面向量的基本定理及其坐标表示

[2，+∞）

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值

【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，

∴=（+），

∵，，

∴=+，

又∵O，M，N三点共线，

∴+=1，

∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，

故m+n的取值范围为[2，+∞），

故答案为：[2，+∞）

知识点：3.导数在研究函数中的应用

（﹣，0）∪[1，+∞）

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．

【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），

∴f（x）+xf′（x）=xf（x）

设g（x）=xf（x），

则g′（x）=f（x）+xf′（x），

即g′（x）=g（x），

则g（x）=cex，

∵f（1）=1，

∴g（1）=f（1）=1，

即g（1）=ce=1，则c=，

则g（x）=xf（x）=•ex，

则f（x）=，（x≠0），

函数的导数f′（x）==，

由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，

即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f（1）==1，即当x＞0时，f（x）≥1，

当x＜0时，函数f（x）单调递减，且f（x）＜0，

综上f（x）≥1或f（x）＜0，

∵A为△ABC的最大内角，

∴≤A＜π，则0≤A﹣＜，

则设m=tan（A﹣），

则m≥0或m＜﹣，

∴当m≥0时，f（m）≥1，

当m＜﹣，f（m）∈（f（﹣），0），

即f（m）∈（﹣，0），

即f[tan（A﹣）]的取值范围为 的值域为（﹣，0）∪[1，+∞），

故答案为：（﹣，0）∪[1，+∞）

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．

【分析】（1）函数f（x）==（sinωx+cosωx） （cosωx﹣sinωx）+2cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），由f（x）相邻两对称轴间的距离不小于，则，解得ω的范围；

（2）当ω=1时，，求得A，由余弦定理、不等式的性质，得bc的最大值，

【解答】解：（1）函数f（x）==（sinωx+cosωx） （cosωx﹣sinωx）+2cosωx•sinωx

=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），

f（x）相邻两对称轴间的距离不小于∴T≥π，则，解得0＜ω≤1；

（2）∵当ω=1时，，且A∈（0，π），

∴，，

∴b2+c2=bc+4，又b2+c2≥2bc，

∴bc+4≥2bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时，bc=4，

∴． …

知识点：9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．

【分析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．

（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．

（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．

【解答】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，

∴众数：8.6；中位数：8.75；

（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则

（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.； ；，

ξ的分布列为

七彩教育网

所以Eξ=．

另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则，．

ξ的分布列为

所以Eξ=．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4，∠CBF=90°，由此能证明MN∥平面CDEF．

（2）以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小．

【解答】证明：（1）由三视图知，

该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，

且AB=BC=BF=4，DE=CF=4，∠CBF=90°，

连结BE，M在BE上，连结CE

EM=BM，CN=BN，所以MN∥CE，CE⊂面CDEF，MN⊄面CDEF，

所以MN∥平面CDEF．

（2）以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），D（0，0，4），

E（﹣4，0，0），F（﹣4，4，0），N（﹣2，2，0），M（0，4，2），

=（﹣2，2，﹣2），=（﹣4，4，﹣2），=（0，4，0），=（﹣4，0，﹣4），

设面MNF法向量为=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，1，0），

设平面CDEF的法向量=（a，b，c），

则，取a=1，得=（1，0，﹣1），

设平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角为θ，

则cosθ==，

θ=60°，

∴平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小为60°．

知识点：1.椭圆

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c值，由离心率可得a值，再由b2=a2﹣c2可得b值；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l2得纵坐标，由中点在直线l1上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值；

【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，

又e=，所以a=2，b2=a2﹣c2=3，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：

（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

因此，，

所以AB中点M（，），

又M在直线l1上，得3×+=0，

因为m≠0，所以k=1，故，，

所以|AB|==•=，

原点O到AB的距离为d=，

得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立．

所以△OAB的面积S的最大值为．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数f（x）的导数，通过判断导函数的符号，得到函数的单调区间，从而判断出函数的极值即可；

（2）先求导得到f′（x），由f′（2）=4﹣+b=0，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；

（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，由于对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，则g（b）max=g（﹣1）=x2﹣x﹣alnx＜0在x∈（1，e）有解．令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可．

【解答】解：（1）f（x）=x2+bx﹣alnx，（x＞0），

f′（x）=2x+b﹣，f″（x）=2+＞0，

故f′（x）在（0，+∞）递增，

故x→0时，f′（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，

故存在x0∈（0，+∞），使得：x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，

x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，

故函数f（x）存在极小值，但不存在极大值；

（2）f′（x）=2x﹣+b，∵x=2是函数f（x）的极值点，

∴f′（2）=4﹣+b=0．

∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，

由，解得a=6，b=﹣1，

∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，

令f′（x）=2x﹣﹣1=＞0，x∈（0，+∞），得x＞2；

令f′（x）＜0得0＜x＜2，

所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增

故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），

因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=6ln＞0，

所以x0∈（3，4），故n=3．

（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，

则g（b）max=g（﹣1）=x2﹣x﹣alnx＜0在x∈（1，e）有解，

令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，

由于h′（x）=2x﹣1﹣=，

令φ（x）=2x2﹣x﹣a，φ′（x）=4x﹣1＞0，

∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，

①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，

∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．

②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a．

若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，∴在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，

∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．

若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，

∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，

∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，h（x）在（1，m）上单调递减，

∴存在存在x0∈（1，m）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．

综上所述，当a＞1时，对∀b∈[﹣2，﹣1]，都有∃x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．

知识点：2.坐标系与参数方程

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）利用x=ρcosθ、y=ρsinθ把圆O1，圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为参数方程．利用直线AB的参数方程求两圆的公共弦长|AB|．

【解答】解：（1）圆O1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程x2+y2=4，

O2的极坐标方程为，ρ2﹣2ρcos（θ﹣）=2，直角坐标方程x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0；

（2）两圆的方程相减，可得直线AB的方程为x+y+1=0，参数方程为（t为参数），

代入x2+y2=4，可得t2﹣t﹣3=0

∴|AB|==．