知识点：3.集合的基本运算

B

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出．

【解答】解：Q={x||x|≤3，x∈R}=[﹣3，3]，P={1，2，3，4}，

则P∩Q={1，2，3}．

故选：B．

【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

B

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）

设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，

当l经过点C时，目标函数z达到最大值

∴z最大值=F（1，0）=1

故选：B．

【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

知识点：1.算法与程序框图

B

【考点】EF：程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．

【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

k S 是否继续循环

循环前 1 1/

第一圈 2 4 是

第二圈 3 11 是

第三圈 4 26 是

第四圈 5 57 否

故最终的输出结果为：57

故选：B．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．

知识点：5.充分条件与必要条件

C

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】分别解出不等式：|x﹣1|＜2，x（x﹣3）＜0，即可判断出结论．

【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3．

由x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3．

“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的必要不充分条件．

故选：C．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

D

【考点】HP：正弦定理．

【分析】结合B的范围，由已知及同角三角函数关系式可求sinB，利用正弦定理即可求得a的值．

【解答】解：∵cosB=，0＜B＜π，

∴sinB==，

∴由正弦定理可得：a===5．

故选：D．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理的应用，属于基础题．

知识点：16函数值的大小比较

D

【考点】4M：对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数与对数的单调性即可得出．

【解答】解：∵a=2ln=∈（0，1），b=log2＜0，c=（）﹣0.3=20.3＞1．

∴c＞a＞b．

故选：D．

【点评】本题考查了指数函数与对数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

知识点：3.抛物线

D

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD的方程为．分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：如图所示，

由抛物线x2=4y可得焦点F（0，1）．

设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．

∵AB⊥CD，可得直线CD的方程为．

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，

得x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

同理可得，x3x4=﹣4．

∴=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（1+k2）x1x2=﹣4（1+k2）．

同理可得=．

∴•+•==﹣16，当且仅当k=±1时取等号．

∴•+•的最大值等于﹣16．

故选：D．

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

A

【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．

【分析】根据题意，可得cos（πx﹣）=，由余弦函数的图象与性质得：当长度为3的区间大于2个周期且小于4个周期时，可使区间[a，a+3]上函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，由此建立关于k的不等式并解之，即可得到整数k的值．

【解答】解：令y=5cos（πx﹣）=，

得cos（πx﹣）=；

∵函数y=cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a+3]长度为3，

∴为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，

必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度；

即2×≤3且4×≥3，

解之得≤k≤；

又k∈N，故k值为2或3．

故选：A．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．

知识点：3.复数代数形式的四则运算

+i

【考点】A7：复数代数形式的混合运算．

【分析】根据复数的代数形式运算法则，求出z即可．

【解答】解：复数z满足关系z•i=﹣1+i，

∴z===+i．

故答案为： +i．

【点评】本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】3D：函数的单调性及单调区间．

【分析】由求导公式和法则求出f′（x），由题意和导数与函数单调性的关系可得：f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的图象和△列出不等式，求出实数a的取值范围．

【解答】解：由题意知，f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，

则f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，

∵f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上是单调函数，

∴f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在R上恒成立，

则△=（2a）2﹣4×（﹣3）×（﹣1）≤0，解得，

∴实数a的取值范围是，

故答案为：．

【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，求导公式和法则，以及二次函数的图象，考查转化思想．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】如图所示，该几何体为如下四棱锥：P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面四边形由直角梯形ABED，直角△DCE，AB∥DE，AB⊥BC，AB=1，DE=2，BE=EC=1，PA=2．

【解答】解：如图所示，该几何体为如下四棱锥：P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面四边形由直角梯形ABED，直角△DCE，AB∥DE，AB⊥BC，AB=1，DE=2，BE=EC=1，PA=2．

∴S底面ABCD=+=．

V==．

故答案为：．

【点评】本题考查了四棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

知识点：3.二项式定理

10

【考点】DB：二项式系数的性质．

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

【解答】解：令x=1可得（x2+）n展开式的各项系数之和为2n=32，∴n=5，

故其展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣5r，令10﹣5r=0，求得 r=2，

可得常数项为=10，

故答案为：10．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

知识点：4.基本不等式

【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；4H：对数的运算性质．

【分析】直接利用对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最值．

【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，

可得x+3y=1．

===≥=．

当且仅当x=，x+3y=1，即y==，x==时取等号．

的最小值是．

故答案为：．

【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

[，3﹣]

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】先建立坐标系，根据•=1，得到点P在x2+y2=2的圆周上，即P在上，将P的坐标范围表示出来，进而可求•．

【解答】解：以BC中点O为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

∵正三角形ABC边长为2，

∴B（﹣1，0），A（0，），C（1，0），

设P的坐标为（x，y），

∴=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），

∴•=x2﹣1+y2=1，

即点P在x2+y2=2的圆弧即上，

如图可以求出sinθ=，cosθ=；

β=θ﹣，sinβ=，cosβ=，

设∠AOP=φ，则﹣β≤φ≤β，P（sinφ， cosφ），

=（sinφ， cosφ﹣），

又=（﹣1，﹣），

所以•=﹣sinφ﹣cosφ+3，﹣β≤φ≤β，

当φ=﹣β时， •最大， •=（﹣）×（﹣）﹣×+3=3﹣；

当φ=β时， •最小， •=（﹣）×﹣×+3=；

所以•的范围是[，3﹣]．

【点评】本题考查了数量积运算，直线和圆的位置关系，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】HM：复合三角函数的单调性．

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x∈[，π]时sinx的值求出f（x）的值；

（2）根据f（x）的解析式求出x∈[，π]时的值域，求出f（x）在x∈[，π]内对称轴是x=．

【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx

=2sinxcos+2cosxsin﹣2cosx

=sinx﹣cosx

=2sin（x﹣），

由x∈[，π]，且sinx=，

∴cosx=﹣=﹣；

∴函数f（x）=sinx﹣cosx

=×﹣（﹣）

=；

（2）由函数f（x）=2sin（x﹣），x∈[，π]，

∴x﹣∈[，]，

∴sin（x﹣）∈[，1]，

∴f（x）在x∈[，π]的值域是[1，2]；

且f（x）=2sin（x﹣）对称轴是x=kπ+，k∈Z，

x∈[，π]，

∴对称轴是x=．

【点评】本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

知识点：9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，包括事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”和事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”，利用条件概率和互斥事件的概率计算公式即可得出．

（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出概率和分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．

【解答】解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，

B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，

A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，

B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．

则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．

由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=．

B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．

由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）==．

A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．

∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=．

（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．

P（X=3）=，P（X=4）=，

P（X=5）=．

进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：

进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望

EX==．

【点评】熟练掌握分类讨论思想方法、条件概率和互斥事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望计算公式是解题的关键．

知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质

【考点】MT：二面角的平面角及求法．

【分析】（1）在长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，可得AM=BM=2，则AM⊥BM，由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADM，则AD⊥BM；

（2）取M中点O，连接DO，则DO⊥平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，设，则，，求出平面AME的一个法向量为，利用二面角E﹣AM﹣D的余弦值为求得λ值可得E的位置．

【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，则AM⊥BM，

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM，

∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；

（2）解：取M中点O，连接DO，则DO⊥平面ABCM，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，

设，，．

设平面AME的一个法向量为，

则，取y=1，得．

由cos＜＞=，解得．

∴E为BD上靠近D点的处．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．

知识点：6.数列的求和

【考点】84：等差数列的通项公式；87：等比数列；8E：数列的求和．

【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．

（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），

两式相减得an+1﹣an=2an，

an+1=3an（n≥2）．

又a2=2S1+1=3，

所以a2=3a1．

故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．

所以an=3n﹣1．

由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．

则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

则bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1

（2）因为，所以．

则，

两式相减得：．

所以=．

【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．

知识点：1.椭圆

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）由题意，b=1， =，求出a，b，即可求椭圆C的方程；

（2）讨论直线l的斜率不存在，设出直线l的方程，求得圆的方程，求得定点T，讨论直线l的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，结合向量垂直的条件，即可得到存在定点T．

【解答】解：（1）由题意，b=1， =，

∴a=2，b=1，c=1，

∴椭圆C的方程为=1；

（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1

②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，

此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，

∵（x，）在椭圆上，

∴=1，

∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，

∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；

③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），

与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，

∴x1+x2=，x1x2=﹣，

=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k•+=0，

∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），

综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题．

【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，

当x∈（）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

（Ⅱ）f（x）﹣=，

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），

g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，

，

①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，

g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，

∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，

从而f（x）﹣不符合题意．

②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，

∴g′（x）在（1，）上递增，

从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，

∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，

从而f（x）﹣不符合题意．

③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，

从而g（x）在[1，+∞）上递减，

∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，

综上所述，a的取值范围是[）．

【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用．