若直线l与平面
垂直,则下列结论正确的是
（ ）
A．直线l与平面内所有直线都相交 B．在平面内存在直线m与l平行
C．在平面内存在直线m与l不垂直 D．若直线m与平面平行,则直线l⊥m
知识点：1.集合与逻辑
D
如下图,三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,且长度相等,点E为BC中点,则直线AE与平面PBC所成角的余弦值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
知识点：7.空间几何体
A
如上图,三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,且长度都为1,点E为BC上一点,则截面PAE面积的最小值为 （ ）
A． B． C．
D．
知识点：7.空间几何体
C
设a,b,c表示三条直线,
表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是
（ ）
A．
,若
,则
B．
,
,若
,则
C．
,若
,则
D．
,
,
,若
,则
知识点：1.集合与逻辑
C
一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,若把这个几何体放到一个底面半径为
的盛若干水的圆柱形容器,没入水中,则水面上升的高度（不溢出）最大为 （ ）
A．
B．
C．
D．
知识点：7.空间几何体
B
如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形,侧棱PA⊥平面ABCD,点E在侧棱PC上,且BE⊥PC,若
,则四棱锥P-ABCD的体积为
（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
知识点：7.空间几何体
B
如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,且
,E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为
（ ）
A．
B．1 C．
D．
知识点：7.空间几何体
A
我们知道,正三角形的内切圆和外接圆的圆心重合,且外接圆和内切圆的半径之比为2:1,类比这一结论,若一个三棱锥的所有棱长都相等,则其外接球与内切球的球心重合,则外接球与内切球半径之比为 ．
知识点：7.空间几何体
3:1
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,且
．M是PC的中点,在DM上有点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积;
（2）求证:AP∥GH．
知识点：7.空间几何体
（1）∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC，而
,
,∴
（3分）∴三棱锥P-ABCD的体积为
;（5分）
（2）连接AC交BD于点O,连接MO．∵ABCD为正方形∴O是AC的中点,又M为PC中点,∴OM是△CAP的中位线,∴AP∥OM,而AP
平面BMD,
平面BMD．（8分）∴PA∥平面BMD．∵平面PAHG
平面BMD=GH∴PA∥GH（10分）
如图,已知三棱柱
的所有棱长都是2,且
．
（1）求证:点
在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上;
（2）求棱柱的体积．
知识点：7.空间几何体
（1）过
作
⊥平面ABC,垂足为H,连接AH．作HE⊥AB,垂足为E,连接
．则
,
,故AB⊥平面
,故
．同理,过作HF⊥AC,连接
,则
．（3分）
∵
,
∴
．∴Rt△
Rt△
∴HE=HF∴AH是∠BAC的角平分线,即点在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上;（7分）
（2）由（1）可知
,
,在△AHE中,
,∴
．（10分）
∴棱柱
的体积为
（12分）
如图,多面体ABCD—EFG中,底面ABCD为正方形,GD//FC//AE,AE⊥平面ABCD,其正视图、俯视图及相关数据如图:
（1）求证:平面AEFC⊥平面BDG;
（2）求该几何体的体积;
（3）求点C到平面BDG的距离．
知识点：7.空间几何体
（1）连接AC,BD,正方形ABCD中,AC⊥BD,又AE∥GD∥FC,AE⊥平面ABCD,∴GD⊥平面ABCD,又AC
平面ABCD,则AC⊥GD,又AC⊥BD,
,
∴AC⊥平面BDG,又AC
平面AEFC,∴平面AEFC⊥平面BDG;（4分）
（2）原几何体可以划分为两个四棱锥:B-CFGD和B-AEGD,而
,（6分），
（8分）∴所给几何体的体积为:
;（9分）
（3）由条件可知GD⊥平面ABCD,故平面BDG⊥平面ABCD．过C作CH⊥BD于H,则CH⊥平面BDG
则CH的长即为点C到平面BDG的距离．在Rt△BCD中,由面积公式可得
,则
,即点C到平面BDG的距离为
（13分）
如图一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC
平面ABC．
（1）求证:GH//平面ACD;
（2）证明：平面ACD平面ADE；
（3）若AB=2，BC=1，
，试求该几何体的体积V．
知识点：7.空间几何体
（1）据已知连结OH,GO,易知GO//BE//CD,即直线GO//平面ACD,同理可证OH//平面ACD,又GO
OH=O,故平面ACD//平面GHO,又GH
平面GHO,故GH//平面ACD（4分）
（2）证明:∵DC
平面ABC,
平面ABC,∴
,∵AB是圆O的直径∴
且
,∴
平面ADC．∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE//BC．∴
平面ADC,又∵
平面ADE,∴平面ACD平面ADE．（8分）
（3）所求简单组合体的体积：
．∵
，
，
,
∴
,
．∴
,
∴该简单几何体的体积
（13分）
边长为2的正方体
中,P是棱CC1上任一点,
（1）是否存在满足条件的实数m,使平面
面
?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．
（2）（理）试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数
,并求
的值．
（文）是否存在实数m,使得三棱锥
和四棱锥
的体积相等?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．
知识点：7.空间几何体
（1）存在满足条件的实数
,使平面
面
,证明如下:连接AC、AC1,设对角线
,则H是AC1中点,连接PH,则PH是△
的中位线,则PH∥AC,∵AC⊥BD,AC⊥BB1,故AC⊥平面∴PH⊥平面,而PH平面
,∴平面面;（5分）
（2）（理）在线段AA1上取一点G,使得A1G=m,连接D1G,BG,
则易证D1,G,B,P四点共面．设点A到平面D1BP的距离为h,则由
可得
（7分）
在△BGD1中,
,
,
,
则
则
,
则
（10分）而
故
．设AP与平面D1BP所成的角为
,则
,故
（13分）
（文）由条件易得
,（9分）
．（10分）
由
可得
可得
,故存在实数
使得三棱锥
和四棱锥
的体积相等（13分）
如图,直角梯形ABCD中,
,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的
．梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,
．
（1）求证:平面PCD⊥平面
;
（2）侧棱
上是否存在点E,使得
平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由．
（3）（理）求二面角
的余弦值．
知识点：7.空间几何体
（理）（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA．又△ABC的面积等于△ADC面积的
,∴
．在底面
中，因为
，
，所以
，所以
．又因为
，所以
平面
．而CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面（理4分，文7分）
（2）在
上存在中点
，使得
平面
，证明如下：设
的中点是
，连结BE，EF，FC，则
，且
．由已知
，所以
．又
，所以
，且
，所以四边形
为平行四边形，所以
．因为
平面
，
平面，所以平面．（理8分，文14分）
（理）（3）设
为
中点，连结
，则
．又因为平面
平面
，所以
平面．过作
于
，连结
，由三垂线定理可知
．所以
是二面角
的平面角．设
，则
,
．在
中，
，所以
．所以
，
．即二面角
的余弦值为
．（14分）
B．
D．
的外接球的体积为
,则该长方体的表面积的最大值为
（ ）
平面P且与二面角的棱成的角为锐角
,又AB和平面Q成的角为
,则
，
围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为
；满足
，
，
的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为
，则
”的情况有且只有一种,则
．