M是抛物线上一点,且在轴上方,F是抛物线的焦点,以轴的正半轴为始边,FM为终边构成的最小的角为60°,则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
知识点:10.圆锥曲线与方程
C
设抛物线的准线经过中心在原点,焦点在坐标轴上且离心率为的椭圆的一个顶点,则此椭圆的方程为 ( )
A.或 B.或
C.或 D.或
知识点:10.圆锥曲线与方程
D
已知圆O的方程为.
(1)求过点的圆O的切线方程;
(2)过点作直线与圆O交于A、B两点,求的最大面积以及此时直线AB的斜率.
知识点:9.直线与圆
(1)圆心为,半径,当切线的斜率存在时,设过点的切线方程为,即(1分).则,解得,(3分),于是切线方程为(5分).当斜率不存在时,也符合题意.故过点的圆的切线方程为或.(6分)
(2)当直线AB的斜率不存在时,,(7分),当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为,即,圆心到直线AB的距离,(9分)线段AB的长度,所以,(11分)当且仅当时取等号,此时,解得,所以的最大面积为8,此时直线AB的斜率为.(12分)
将抛物线向上平移个单位长度后,抛物线过椭圆(>>0)的上顶点和左右焦点.
(1)求椭圆方程;
(2)若点满足如下条件:过点P且倾斜角为的直线与椭圆相交于C、D两点,使右焦点F在以CD线段为直径的圆外,试求的取值范围.
知识点:10.圆锥曲线与方程
(1)抛物线的图象向上平移个单位长度后其解析式为,其与、轴的交点坐标分别为、,∴,,(2分)∴,故椭圆的方程为.(4分)
(2)由题意可得直线的方程为,代入椭圆方程消去得,,(6分)
又>0,∴<<.(7分)设C、D分别为,,则,,∴,∵,,
∴,(10分)∵点在圆的外部,∴>0,即>0,解得<0或>3,又∵<<,∴<<0或3<<.(12分)
已知双曲线,(>0,>0)左右两焦点为、,P是右支上一点,,于H,,.
(1)当时,求双曲线的渐近线方程;
(2)求双曲线的离心率的取值范围;
(3)当取最大值时,过,,的轴的线段长为8,求该圆的方程.
知识点:10.圆锥曲线与方程
由于,所以,于是,,(1分)由相似三角形知,,即,即,(2分)∴,,.
(1)当时,,∴.(3分)所以双曲线的渐近线方程为.(4分)
(2),在上为单调递增函数.(5分)
∴当时,取得最大值3(6分);当时,取得最小值.(7分)∴,∴.(8分)
(3)当时,,∴,∴.(9分)∵,∴是圆的直径,圆心是的中点,
∴在轴上截得的弦长就是直径,∴.(10分)又,∴,,,.(11分)∴,圆心,半径为4,故圆的方程为.(12分)
在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线(>0)相交于、两点.
(1)设,求的最小值;
(2)是否存在垂直于轴的直线,使得被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
知识点:10.圆锥曲线与方程
(1)依题意,可设、,直线AB的方程为,
由,(2分)得,(3分)∴=
(6分)当时,取得最小值.(7分)
(2)假设满足条件的直线存在,其方程为,AC的中点为,与以AC为直径的圆相交于P、Q,PQ的中点为H,则,的坐标为.(9分),,==(11分),令得.此时为定值.故满足条件的直线存在,其方程为.(13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)、是椭圆上两点,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点,①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;②当A、B运动时,满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
在平面直角坐标系中,已知向量,,若.
(1)求动点的轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状;
(2)当时,已知、,点P是轨迹T在第一象限的一点,且满足,若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点,问是否存在以PQ为直径的圆G过点,若存在,求出圆G的方程,若不存在,请说明理由.
知识点:10.圆锥曲线与方程
(1)∵,∴,得,即.(1分)
当时,方程表示两条与轴平行的直线;(2分)当时,方程表示以原点为圆心,以2为半径的圆;(3分)当0<<1时,方程表示焦点在轴上的椭圆;(4分)当>1时,方程表示焦点在轴上的椭圆;(5分)
当<0时,方程表示焦点在轴上的双曲线.(6分)
(2)由(1)知,轨迹T是椭圆,则、为椭圆的两焦点.解法一:由椭圆定义得,联立解得,,又,有,∴,∴P的纵坐标为1,把代入得或(舍去),∴.(9分)设存在满足条件的圆,则,设,则,,∴,即,∴.又,∴,∴或.(12分)所以圆G的方程:或.(13分)