一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为,那么速度为零的时刻是 ( )
A.1秒 B.1秒末和2秒末 C.4秒末 D.2秒末和4秒末
知识点:11.导数及其应用
D
已知函数是奇函数,是偶函数,设.
(1)若,令函数,求函数在上的极值;
(2)对恒有成立,求实数的取值范围.
知识点:2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法一 因为函数是奇函数,是偶函数,故.
(1)时,,,所以
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递减 |
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递增 |
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递减 |
由得或∴函数在处取得极小值;在处取得极大值(6分)
(2)的对称轴为,对恒有,所以函数在上恒为单调递增函数.①若即时,要使函数在上恒为单调递增函数,则有,解得:,所以;(8分)②若即时,要使函数在上恒为单调递增函数,则有,解得:;(10分)综上,实数a的取值范围为(12分)
方法二 (参数变量分离法最简单)在上恒成立(1)当x=0时,a∈R,.(2)当x>0时,,因,,(3)当时,,而,,.综上所述,实数a的取值范围为[-,2].
请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形LED散片,边CD上有一以其中点M为圆心,半径为2cm的半圆形缺损,因此切去阴影部分(含半圆形缺损)所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于空间一点P,正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.
(1)用规格长宽高=外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱,灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm,请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱(每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少)?
(2)若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S(cm2)为准,售价为2.4元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少?
知识点:2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
(1),所以,,当时,V递增,当时,V递减,所以,当x=20时,V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长,高为.用规格为外包装盒来装灯箱,彼此间隔空隙至多0.5cm,至少装下=125个灯箱.答:至少装下125个灯箱.(2)(),所以x=15cm时侧面积最大,最大值是(cm2)此时获利最大,最大利润为(元).答:每个灯箱最大利润720元.
函数,已知和为的零点.
(1)求a和b的值;
(2)设,证明:对恒有.
知识点:2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
(1),由和为的零点知
x |
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1 |
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- |
0 |
+ |
|
↘ |
0 |
↗ |
(2分)即解得(4分)
(2)证明:由(1)得,故
.
令,则.(6分)令,得、随x的变化情况如上表,(8分)
由上表可知,当时,取得极小值,也是最小值;即当时,,也就是恒有.(10分)又,故对任意,恒有.(12分)
已知函数(≠0,∈R)
(1)若,求函数的极值和单调区间;
(2)若在区间(0,e]上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
知识点:2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
(1)因为,当,,令,得,(2分)又的定义域为,,随x的变化情况如右表,
所以时,的极小值为1.的递增区间为,递减区间为;(4分)
(2)因为,且,令,得到,若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.(6分)
(1)当,即时,对成立,所以,在区间上单调递减,故在区间上的最小值为,由,得,即.(8分)
(2)当,即时,①若,则对成立,在区间上单调递减,所以,在区间上的最小值为,显然,在区间上的最小值小于0不成立.(10分)
x |
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0 |
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递减 |
极小值 |
递增 |
②若,即时,则有(右表),
所以在区间上的最小值为,由,得,解得,即.(11分)综上,由(1)(2)可知:符合题意.(12分)