已知a为给定的实数,那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 不确定
知识点:2.集合间的基本关系
C
方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,方程有两个不相等的实数根.由M有2个元素,得集合M有22=4个子集.
命题1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3 长方体中,必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
知识点:10.空间角与距离
B
只有命题1对.
在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在(0,)上单调递增的偶函数是
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
知识点:5.奇偶性与周期性
D
y=sin|x|不是周期函数.y=cos|x|=cosx以2为周期.y=|ctgx|在(0,)上单调递减.只有y=lg|sinx|满足全部条件.
如果满足∠ABC=60°,AC=12, BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(A) k= (B)0<k≤12 (C) k≥12 (D) 0<k≤12或k=
知识点:2.数形结合的思想
D
根据题设,△ABC共有两类如图.
易得k=或0<k≤12.本题也可用特殊值法,排除(A)、(B)、(C).
若的展开式为,
则的值为
(A) (B) (C) (D)
.
知识点:3.二项式定理
C
令x=1可得=;
令x=可得0=;
(其中,则=1且++1=0)
令x=可得0=.
以上三式相加可得=3().
所以=
已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是().
(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
A
设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝.
则6x+3y>24,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.
所以2x-3y==0,即2x>3y.
也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究.
若复数z1,z2满足| z1|=2,| z2|=3,3z1-2z2=,则z1·z2=.
知识点:3.复数代数形式的四则运算
由3z1-2z2==
可得.本题也可设三角形式进行运算.
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1与BD1的距离是.
知识点:10.空间角与距离
作正方体的截面BB1D1D,则A1C1⊥面BB1D1D.设A1C1与B1D1交于点O,在面BB1D1D内作OH⊥BD1,H为垂足,则OH为A1C1与BD1的公垂线.显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半,即OH=.
函数的值域为 .
知识点:2.定义域与值域
.
两边平方得,从而且.
由或.
任取,令,易知,于是且.
任取,同样令,易知,
于是且.
因此,所求函数的值域为.
在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案.
知识点:1.两个计数原理
732
考虑A、C、E种同一种植物,此时共有4×3×3×3=108种方法.
考虑A、C、E种二种植物,此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法.
考虑A、C、E种三种植物,此时共有P43×2×2×2=192种方法.
故总计有108+432+192=732种方法.
设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且b1=a12,b2=a22,b3=a32(a1<a2) ,又.试求{an}的首项与公差.
知识点:4.等比数列及其性质
设所求公差为d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
a12(a1+2d)2=(a1+d)4
化简得2a12+4a1d+d2=0
解得d=() a1.………………………………………………………………5分
而<0,故a1<0.
若d=() a1,则;
若d=()a1,则;…………………………………………10分
但存在,故|q|<1.于是不可能.
从而.
所以a1=,d=() a1=()()=.……………………20分
设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m) 在x轴上方仅有一个公共点P.
⑴ 求实数m的取值范围(用a表示);
⑵ O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0<a<时,试求ΔOAP的面积的最大值(用a表示).
知识点:5.曲线与方程
⑴ 由消去y得,x2+2a2x+2a2m-a2=0. ①
设f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2,问题⑴转化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根.
只须讨论以下三种情况:
1° Δ=0得 m=.此时 xp= -a2,当且仅当-a<-a2<a,即0<a<1时适合;
2° f(a)·f(-a)<0当且仅当–a<m<a;
3° f(-a)=0得m=a.此时 xp=a-2a2,当且仅当-a< a-2a2<a,即0<a<1时适合.f(a)=0得m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而m≠-a.
综上可知,当0<a<1时,m=或-a<m≤a;
当a≥1时,-a<m<a.……………………………………………………10分
⑵ ΔOAP的面积S=ayp.
∵0<a<,故-a<m≤a时,,由唯一性得xp=.显然当m=a时,xp取值最小.由于xp>0,从而取值最大,此时yp=2,∴S=a.
当m=时,xp=-a2,yp=,此时S=a.
下面比较a与a的大小:
令a=a,得a=.
故当0<a≤时 , .此时Smax=.
当<a<时,.此时Smax= a.……………20分
用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5 、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.
知识点:2.直接证明与间接证明
设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG.当Ri=ai ,i=3,4,5,6,R1,R2是a1,a2的任意排列时,RFG最小.…………………………………………5分
证明如下
1°设当两个电阻R1,R2并联时,所得组件阻值为R:则.故交换二电阻的位置,不改变R值,且当R1或R2变小时,R也减小,因此不妨取R1>R2.
2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB:
.
显然R1+R2越大,RAB越小,所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个.
3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD:
.
若记,.则S1、S2为定值.
于是.
只有当R3R4最小,R1R2R3最大时,RCD最小,故应取R4<R3,R3<R2,R3<R1,即得总电阻的阻值最小.……………………………………………………………………15分
4°对于图3,把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替.要使RFG最小,由3°必需使R6<R5;且由1°,应使RCE最小.由2°知要使RCE最小,必需使R5< R4,且应使RCD最小.
E
而由3°,要使RCD最小,应使R4< R3 <
R2且R4< R3 < R1.
G
这就说明,要证结论成立………………………………………………………20分