2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八

已知a为给定的实数,那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为

(A)   1       (B)   2       (C)   4       (D)   不确定

 

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知识点:2.集合间的基本关系

C

方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,方程有两个不相等的实数根.由M2个元素,得集合M22=4个子集.

     

命题1  长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;

命题2   长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 

    命题3   长方体中,必存在到各面距离相等的点.

 以上三个命题中正确的有                                              

(A)  0个      (B)  1个     (C)  2个   (D)  3个 

 

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知识点:10.空间角与距离

B

只有命题1对.

     

在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在(0,)上单调递增的偶函数是 

    (A)y=sin|x|      (B)y=cos|x|      (C)y=|ctgx|     (D)y=lg|sinx|

   

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知识点:5.奇偶性与周期性

D

y=sin|x|不是周期函数.y=cos|x|=cosx2为周期.y=|ctgx|在(0)上单调递减.只有y=lg|sinx|满足全部条件.

     

如果满足∠ABC=60°,AC=12, BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是

(A) k=    (B)0<k≤12    (C) k≥12     (D) 0<k≤12或k= 

   

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知识点:2.数形结合的思想

D

根据题设,△ABC共有两类如图.

易得k=0<k12.本题也可用特殊值法,排除(A)、(B)、(C).

     

的展开式为

的值为

(A)    (B)     (C)     (D)   

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知识点:3.二项式定理

C

x=1可得=

x=可得0=

(其中,则=1++1=0

x=可得0=

以上三式相加可得=3).

所以=

     

已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是().

(A)2枝玫瑰价格高  (B)3枝康乃馨价格高    (C)价格相同   (D)不确定

   

 

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知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划

A

设玫瑰与康乃馨的单价分别为xy/枝.

6x+3y>24,4x+5y<22.6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.

所以2x-3y==0,即2x>3y

也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究.

     

椭圆的短轴长等于.

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知识点:2.坐标系与参数方程

.从而

     

若复数z1,z2满足| z1|=2,| z2|=3,3z1-2z2=,则zz2=.

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知识点:3.复数代数形式的四则运算

3z1-2z2==

可得.本题也可设三角形式进行运算.

     

正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1与BD1的距离是.

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知识点:10.空间角与距离

作正方体的截面BB1D1D,则A1C1⊥面BB1D1D.设A1C1B1D1交于点O,在面BB1D1D内作OHBD1H为垂足,则OHA1C1BD1的公垂线.显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半,即OH=

     

不等式的解集为        

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知识点:3.不等式选讲

等价于

此时

∴解为x >40<x<1 1<x<

即解集为

     

函数的值域为      

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知识点:2.定义域与值域

两边平方得,从而

任取,令,易知,于是

任取,同样令,易知

于是

因此,所求函数的值域为

     

在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有           种栽种方案.

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知识点:1.两个计数原理

732

考虑ACE种同一种植物,此时共有4×3×3×3=108种方法.

考虑ACE种二种植物,此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法.

考虑ACE种三种植物,此时共有P43×2×2×2=192种方法.

故总计有108+432+192=732种方法.

     

设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且b1=a12,b2=a22,b3=a32(a1<a2) ,又.试求{an}的首项与公差.

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知识点:4.等比数列及其性质

设所求公差为d,∵a1<a2,∴d>0.由此得

a12(a1+2d)2=(a1+d)4

化简得2a12+4a1d+d2=0

解得d=() a1.………………………………………………………………5

<0,故a1<0

d=() a1,则

d=()a1,则;…………………………………………10

存在,故|q|<1.于是不可能.

从而

所以a1=d=() a1=()()=.……………………20

     

设曲线C1:a为正常数)与C2:y2=2(x+m) 在x轴上方仅有一个公共点P

⑴ 求实数m的取值范围(用a表示);

O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0<a<时,试求ΔOAP的面积的最大值(用a表示).

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知识点:5.曲线与方程

消去yx2+2a2x+2a2m-a2=0

f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2问题转化为方程x(-aa)上有唯一解或等根

只须讨论以下三种情况:

1° Δ=0m=.此时 xp= -a2,当且仅当-a<-a2<a,即0<a<1时适合;

2° f(a)·f(-a)<0当且仅当–a<m<a

3° f(-a)=0m=a.此时 xp=a-2a2,当且仅当-a< a-2a2<a,即0<a<1时适合.f(a)=0m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而m-a

综上可知,当0<a<1时,m=-a<ma

a1时,-a<m<a.……………………………………………………10

ΔOAP的面积S=ayp

0<a<,故-a<ma时,,由唯一性得xp=.显然当m=a时,xp取值最小.由于xp>0,从而取值最大,此时yp=2,∴S=a

m=时,xp=-a2yp=,此时S=a

下面比较aa的大小:

a=a,得a=.

故当0<a , .此时Smax=

<a<时,.此时Smax= a.……………20

     

用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5 、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.

 

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知识点:2.直接证明与间接证明

6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG.当Ri=ai i=3456R1R2a1a2的任意排列时,RFG最小.…………………………………………5

证明如下

1°设当两个电阻R1R2并联时,所得组件阻值为R:则.故交换二电阻的位置,不改变R值,且当R1R2变小时,R也减小,因此不妨取R1>R2

2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB

显然R1+R2越大,RAB越小,所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个.

3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD

若记.则S1S2为定值.

于是

只有当R3R4最小,R1R2R3最大时,RCD最小,故应取R4<R3R3<R2R3<R1,即得总电阻的阻值最小.……………………………………………………………………15

4°对于图3,把由R1R2R3组成的组件用等效电阻RAB代替.要使RFG最小,由3°必需使R6<R5;且由1°,应使RCE最小.由2°知要使RCE最小,必需使R5< R4,且应使RCD最小.

E

而由3°,要使RCD最小,应使R4< R3 < R2R4< R3 < R1

G

这就说明,要证结论成立………………………………………………………20