把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )
(A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形
知识点：5.曲线与方程
C
解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，Þ8y2－20y+8=0，Þy=2或，相应的，x=0，或x=±．此三点连成一个正三角形．选C．
等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )
(A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13
知识点：4.等比数列及其性质
C
解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：
又，=15363´()66－36>1，=1536´()78－66<1．故选C．
存在整数n,使+是整数的质数
( )
(A)不存在 (B)只有一个
(C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个
知识点：7.全称量词与存在量词
D
解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．故选D．
设x∈(－,0)，以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( )
(A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1
知识点：16函数值的大小比较
A
解：α1= cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除B、D．
∵ sin|x|π+ cos|x|π=sin(|x|π+)<，于是cos|x|π<－sin|x|π，
∴ sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π)，故α2<α1，选A．
又解：取x=－，则α1=cos，α2=sin，α3=cosπ<0．由于<<，故α1>α2．
如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )
(A) 4++ (B) 4－+
(C) 1－+ (D)以上答案都不对
知识点：6.二次函数
B
解：g(x)= x+=x+x+≥3=．当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值．
∴－=，=，Þp=－2，q=+．
由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－+．故选B．
高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
知识点：1.几何证明选讲
解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？
右图中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B．
集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是 ．
知识点：2.集合间的基本关系
290-1
解 由已知，得<logx10≤1Þ1≤lgx<2Þ10≤x<100．故该集合有90个元素．其真子集有290-1个．
复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．
知识点：1.几何证明选讲
－+i
解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)．
设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．
曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______。
知识点：2.坐标系与参数方程
π
解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可．
设P(1+cosθ，θ)，
则|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5
=－3(cosθ+)2+≤．且显然|AP|2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．
已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________。
知识点：10.空间角与距离
3
解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．
取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面角．
AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．
∴ =Þ9b2=16a2，Þb=a，从而b=2，2a=3．
AE=2．即最远的两个顶点距离为3．
从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种。(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。)
知识点：1.两个计数原理
230
解：至少3种颜色：
6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；
用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C(4－1)! =30；6×30÷2=90种方法；．
用4种颜色：CC=90种方法．
用3种颜色：C=20种方法．
∴共有230种方法．
在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．
知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划
4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)
解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数．
显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99．
则得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4)
由于m为正整数，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡
二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解．
∴ 共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．