若集合A={x|1<x≤},B={x|0<x≤1},则A∪B=( )
A.{x|x>0} B.{x|x≤} C.{x|0≤x≤} D.{x|0<x≤}
知识点:3.集合的基本运算
D
【考点】并集及其运算.
【专题】集合.
【分析】由A与B,求出两集合的并集即可.
【解答】解:∵A={x|1<x≤},B={x|0<x≤1},
∴A∪B={x|0<x≤}.
故选:D.
【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.
下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A.f(x)=和g(x)=x+1 B.f(x)=1和g(x)=x0
C.f(x)=x+1和g(x)= D.f(x)=x和g(x)=lnex
知识点:1.函数的概念及其表示
D
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.
【解答】解:A.f(x)==x+1,(x≠1),两个函数的定义域不相同,不是同一函数.
B.g(x)=x0=1,(x≠0),两个函数的定义域不相同,不是同一函数.
C.g(x)==|x+1|,两个函数的对应法则不相同,不是同一函数.
D.g(x)=lnex=x,两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数.
故选:D.
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.
下列函数f(x)中,满足“对任意x1、x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)的是( )
A.f(x)= B.f(x)=(x﹣1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
知识点:3.单调性与最大(小)值
A
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】综合题.
【分析】根据题意和函数单调性的定义,判断出函数在(0,+∞)上是减函数,再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断.
【解答】解:∵对任意x1、x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),
∴函数在(0,+∞)上是减函数;
A、由反比例函数的性质知,此函数函数在(0,+∞)上是减函数,故A正确;
B、由于f(x)=(x﹣1)2,由二次函数的性质知,在(0,1)上是减函数,
在(1,+∞)上是增函数,故B不对;
C、由于e>1,则由指数函数的单调性知,在(0,+∞)上是增函数,故C不对;
D、根据对数的整数大于零得,函数的定义域为(﹣1,+∞),由于e>1,则由对数函数的单调性知,在(0,+∞)上是增函数,故D不对;
故选A.
【点评】本题考查了函数单调性的定义,以及基本初等函数的单调性,即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用.
若函数f(x)=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:f(1)=﹣2,f(1.5)=0.625;f(1.25)=﹣0.984,f(1.375)=﹣0.260;
f(1.438)=0.165,f(1.4065)=﹣0.052.
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )
A.1.2 B.1.35 C.1.43 D.1.5
知识点:13.函数与方程
C
【考点】二分法求方程的近似解.
【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】由根的存在性定理得出f(x)在(1.4065,1.438)内有零点,再由题意求出符合条件的方程f(x)=0的近似根.
【解答】解:∵f(1.438)=0.165>0,
f(1.4065)=﹣0.052<0,
∴函数f(x)在(1.4065,1.438)内存在零点,
又1.438﹣1.406 5<0.1,
结合选项知1.43为方程f(x)=0的一个近似根.
故选:C.
【点评】本题考查了函数零点的应用问题,也考查了求方程近似根的应用问题,是基础题目.
下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=﹣3|x| B.y=x C.y=log3x2 D.y=x﹣x2
知识点:3.单调性与最大(小)值
A
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可.
【解答】解:A.y=﹣3|x|是偶函数,当x>0时,y=﹣3|x|=﹣3x为减函数,满足条件.
B.y=x是奇函数,不满足条件.
C.y=log3x2是偶函数,当x>0时,y=log3x2=2y=log3x为增函数,不满足条件.
D.y=x﹣x2为非奇非偶函数,不满足条件.
故选A.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.
某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人.用分层抽样的方法从中抽取40人,则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )
A.8,14,18 B.9,13,18 C.10,14,16 D.9,14,17
知识点:1.随机抽样
C
【考点】分层抽样方法.
【专题】计算题.
【分析】根据所给的三种人数得到总体的人数,因为要抽40个人,得到每个个体被抽到的概率,用体育特长生,美术特长生,音乐特长生的人数乘以每个个体被抽到的概率.得到结果.
【解答】解:∵25+35+40=100,
用分层抽样的方法从中抽取40人,
∴每个个体被抽到的概率是P===0.4,
∴体育特长生25人应抽25×0.4=10,
美术特长生35人应抽35×0.4=14,
音乐特长生40人应抽40×0.4=16,
故选C.
【点评】分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.
若a>1,b<﹣1则函数y=ax+b的图象必不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
知识点:8.指数函数及其性质
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据图象变换可以得到y=ax+b的图象恒过定点(0,1+b),再根据函数的单调性和b<﹣1,即可确定答案.
【解答】解:∵y=ax+b的图象是由y=ax的图象向下平移了|b|个单位,
又y=ax的图象恒过定点(0,1),
∴y=ax+b的图象恒过定点(0,1+b),
∵a>1,且b<﹣1
则y=ax+b是R上的单调递增函数,且过点(0,1+b),
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,
∴函数y=ax+b的图象必不经过第二象限.
故选:B.
【点评】本题考查了指数函数的单调性与特殊点.对于指数函数要注意它恒过定点(0,1)且以x轴为渐近线,解题过程中要注意运用这些性质.本题解题的关键就在于抓住图象恒过的定点所在的位置,确定直线必过的象限.属于基础题.
函数f(x)=的定义域为( )
A.(﹣∞,1] B.[1,+∞) C.(,1] D.(,+∞)
知识点:2.定义域与值域
C
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数成立的条件,即可求函数的定义域.
【解答】解:要使函数f(x)有意义,则,
即0<2x﹣1≤1,即1<2x≤2,
解得<x≤1,
故函数的定义域是(,1],
故选:C
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
在两个袋内,分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片,今从每个袋中各任取一张卡片,则两数之和等于5的概率为( )
A. B. C. D.
知识点:2.古典概型
B
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】概率与统计.
【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是两数之和共有的情况,可以通过列举得到结果,这些情况发生的可能性相等,满足条件的事件可以从列举出的表格中看出有6种,根据古典概型概率公式得到结果.
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况.
其中和为5的从表中可以看出有6种情况,
∴所求事件的概率为=.
故选:B
【点评】本题是一个典型的古典概型问题,本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,应用列举法来解题是这一部分的主要解题方法.
已知x、y的取值如下表所示:
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析,y与x线性相关,且=0.95x+,则的值等于( )
A.2.6 B.6.3 C.2 D.4.5
知识点:4.回归分析的基本思想及其初步应用
A
【考点】线性回归方程.
【专题】计算题.
【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程求出a的值
【解答】解:∵ =4.5,
∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)
∵y与x线性相关,且=0.95x+,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,
故选A.
【点评】本题考查线性回归方程的求解和应用,应注意线性回归方程恒过样本中心点,是一个基础题
定义在R上的奇函数f(x)满足,若当x>0时f(x)=x(1﹣x),则当x<0时,f(x)= .
知识点:5.奇偶性与周期性
x(1+x)
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性的性质,利用对称性进行求解即可.
【解答】解:若x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=x(1﹣x),
∴当﹣x>0时,f(﹣x)=﹣x(1+x),
∵f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣x(1+x)=﹣f(x),
即f(x)=x(1+x),x<0;
故答案为:x(1+x)
【点评】本题主要考查函数解析式的求解,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.
已知,则f[f(10)]= .
知识点:12.绝对值函数与分段函数及其他函数
2
【考点】函数的值.
【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用.
【分析】利用函数的解析式直接求解函数值即可.
【解答】解:,则f[f(10)]=f(lg10)=f(1)=12+1=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是 .
知识点:1.算法与程序框图
4
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值,当S=2059时,不满足条件S<100,退出循环,输出k的值为4.
【解答】解:执行程序框图,可得
k=0,S=0
满足条件S<100,S=1,k=1
满足条件S<100,S=3,k=2
满足条件S<100,S=11,k=3
满足条件S<100,S=2059,k=4
不满足条件S<100,退出循环,输出k的值为4.
故答案为:4.
【点评】本题主要考察了程序框图和算法,正确得到退出循环时K的值是解题的关键,属于基础题.
已知,则a,b,c的大小关系是 .
知识点:16函数值的大小比较
a<c<b
【考点】不等式比较大小.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】考查指数函数y=2x、y=0.2x及对数函数y=log2x在其定义域内的单调性并与1,0比较,即可比较出大小.
【解答】解:∵0<0.21.3<0.20=1,20.1>20=1,log20.3<log21=0,
∴a<c<b.
故答案为a<c<b.
【点评】本题考查了指示函数和对数函数的单调性,深刻理解其单调性是解决此题的关键.
计算下列各式的值:
(1);
(2).
知识点:7.指数与指数幂的运算
【考点】有理数指数幂的化简求值;根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用有理数指数幂性质、运算法则求解.
(2)利用对数性质、运算法则、换底公式求解.
【解答】(本小题满分10分)
解:(1);
=﹣+﹣2+1 …
=﹣. …
(2)
=(log39+log3)×log23+1+2×3
=log332×log23+7
=+7
=5+7=12.…
【点评】本题考查的理数指数幂、对数的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意指数、对数的性质、运算法则和换底公式的合理运用.
某校举行的数学知识竞赛中,将参赛学生的成绩在进行整理后分成5组,绘制出如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第三小组的频数是15.
(1)求成绩在50﹣70分的频率是多少;
(2)求这次参赛学生的总人数是多少;
(3)求这次数学竞赛成绩的平均分的近似值.
知识点:2.用样本估计总体
【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图.
【专题】数形结合;数学模型法;概率与统计.
【分析】(1)根据频率分布直方图计算成绩在50﹣70分的频率值;
(2)根据频数、频率与样本容量的关系求出这次参赛学生的总人数;
(3)利用频率分布直方图估计这次数据的平均值.
【解答】解:(1)成绩在50﹣70分的频率为(0.030+0.040)×10=0.7;
(2)∵第三小组的频数是15,频率为0.015×10=0.15,
∴这次参赛学生的总人数是=100;
(3)利用频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均分是
55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的频率、频数、样本容量以及平均数的应用问题,是基础题目.
对于函数f(x)=a﹣
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数,若存在,求出a的取值;若不存在,说明理由?
知识点:3.单调性与最大(小)值
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)设x1<x2,化简计算f(x1)﹣f(x2)的解析式到因式乘积的形式,判断符号,得出结论.
(2))假设存在实数a使f(x)为奇函数,得到f(﹣x)=﹣f(x),由此等式解出a的值,若a无解,说明不存在实数a使f(x)为奇函数,若a有解,说明存在实数a使f(x)为奇函数.
【解答】解:(1)∵f(x)的定义域为R,设x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=a﹣﹣a+
=,
∵x1<x2,∴,,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.
(2)假设存在实数a使f(x)为奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x)
即a﹣,
解得:a=1,故存在实数a使f(x)为奇函数.
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断.
若f(x)=x2﹣x+b,且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠1).
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值;
(2)x取何值时,f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)?
知识点:6.二次函数
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【专题】计算题;方程思想.
【分析】(1)把log2a代入f(x)中,解关于log2a的一元二次方程,求出a的值;再把f(a)的值代入log2[f(a)]=2中,求出b的值;从而确定函数f(x)的解析式;把log2x代入函数f(x)中,配方法求f(log2x)的最小值及对应的x值;
(2)利用对数恒等式和对数函数的单调性解不等式.
【解答】解:(1)∵f(x)=x2﹣x+b,∴f(log2a)=log22a﹣log2a+b.
由已知有log22a﹣log2a+b=b,∴(log2a﹣1)log2a=0.
∵a≠1,∴log2a=1.∴a=2.
又log2[f(a)]=2,∴f(a)=4.
∴a2﹣a+b=4,b=4﹣a2+a=2.
故f(x)=x2﹣x+2,从而f(log2x)=log22x﹣log2x+2=(log2x﹣)2+.
∴当log2x=即x=时,f(log2x)有最小值.
(2)由题意0<x<1.
【点评】利用对数恒等式和对数函数的单调性解不等式,注意对数函数的定义域,是易错点,属中档题.