不等式>1的解集为( )
A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
知识点:2.一元二次不等式及不等式的解法
B
【考点】其他不等式的解法.
【分析】不等式可化为x(x﹣1)<0,即可得到不等式>1的解集.
【解答】解:不等式可化为x(x﹣1)<0,
∴0<x<1,
∴不等式>1的解集为(0,1),
故选B.
【点评】本题考查不等式的解法,考查学生转化问题的能力,正确转化是关键.
a>b的一个充分不必要条件是( )
A.a=1,b=0 B.< C.a2>b2 D.a3>b3
知识点:5.充分条件与必要条件
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:A.当a=1,b=0时,满足a>b,反之不成立,则a=1,b=0是a>b的一个充分不必要条件.
B.当a<0,b>0时,满足<,但a>b不成立,即充分性不成立,
C.当a=﹣2,b=1时,满足a2>b2,但a>b不成立,即充分性不成立,
D.由a3>b3得a>b,即a3>b3是a>b成立的充要条件,
故选:A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.
在△ABC中,若a=1,b=2,cosA=,则sinB=( )
A. B. C. D.
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
D
【考点】正弦定理.
【分析】由A的范围和平方关系求出sinA的值,由条件和正弦定理求出sinB的值.
【解答】解:∵0<A<π,且cosA=,
∴sinA==,
由正弦定理得,,
则sinB===,
故选D.
【点评】本题考查了正弦定理,以及平方关系的应用,注意内角的范围,属于基础题.
等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,则a6=( )
A.16 B.32 C.64 D.128
知识点:4.等比数列及其性质
C
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由等比数列通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a6.
【解答】解:∵等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,
∴,解得a=2,q=2,
∴a6=2×25=64.
故选:C.
【点评】本题考查等比数列的第6项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm,灯塔A在观测站C的北偏东20°,灯塔B在观测站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B之间的距离为( )
A. akm B.2akm C. akm D. akm
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
D
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】先根据题意确定∠ACB的值,再由余弦定理可直接求得|AB|的值.
【解答】解:根据题意,
△ABC中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°,
∵AC=akm,BC=2akm,
∴由余弦定理,得cos120°=,
解之得AB=akm,
即灯塔A与灯塔B的距离为akm,
故选:D.
【点评】本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔A与灯塔B的距离.着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识,属于基础题.
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F满足=3, =3,则BE与DF所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
A
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出BE与DF所成角的正弦值.
【解答】解:如图,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4,
∵点E,F满足=3, =3,
∴B(4,4,0),E(4,3,4),D(0,0,0),F(0,1,4),
=(0,﹣1,4),=(0,1,4),
设异面直线BE与DF所成角为θ,
则cosθ===.
sinθ==,
∴BE与DF所成角的正弦值为.
故选:A.
【点评】本题考查异面直线所成角的正弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1009=1,则S2017( )
A.1008 B.1009 C.2016 D.2017
知识点:3.等差数列的前n项和
D
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的性质得S2017=(a1+a2017)=2017a1009,由此能求出结果.
【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a1009=1,
∴S2017=(a1+a2017)=2017a1009=2017.
故选:D.
【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,若O为坐标原点,则•=( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4
知识点:3.抛物线
C
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点(1,0)的直线方程联立,消去y整理成关于x的一元二次方程,设出A(x1,y1)、B(x2,y2)两点坐标,则•=x1•x2+y1•y2,由韦达定理可以求得答案.
【解答】解:由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴直线AB的方程为y=k(x﹣1),
由,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=,x1+x2=1,y1•y2=k(x1﹣1)•k(x2﹣1)=k2[x1•x2﹣(x1+x2)+1]'
则•=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k(x1﹣1)•k(x2﹣1)=﹣3.
故选:C.
【点评】题考查直线与圆锥曲线的关系,解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程,利用韦达定理予以解决,属于基础题.
设椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
知识点:1.椭圆
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设|PF2|=x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.
【解答】解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,
又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴2a=3x,2c=x,
∴C的离心率为:e==.
故选D.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.
在△ABC中,若BC=2,A=120°,则•的最大值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由,⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB, •=AC•ABcos120°即可
【解答】解:∵,∴ ⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤
∴•=AC•ABcos120°≤,则•的最大值为,
故选:A.
【点评】考查向量减法的几何意义,数量积的运算及其计算公式,涉及了不等式a2+b2≥2ab的应用,属于基础题.
正实数ab满足+=1,则(a+2)(b+4)的最小值为( )
A.16 B.24 C.32 D.40
知识点:4.基本不等式
C
【考点】基本不等式.
【分析】正实数a,b满足+=1,利用基本不等式的性质得ab≥8.把b+2a=ab代入(a+2)(b+4)=ab+2(b+2a)+8=3ab+8,即可得出.
【解答】解:正实数a,b满足+=1,
∴1≥2,解得ab≥8,当且仅当b=2a=4时取等号.
b+2a=ab.
∴(a+2)(b+4)=ab+2(b+2a)+8=3ab+8≥32.
故选:C.
【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
圆O的半径为定长,A是平面上一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为( )
A.一个点 B.椭圆
C.双曲线 D.以上选项都有可能
知识点:5.曲线与方程
C
【考点】轨迹方程.
【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质,推导新的结论,熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键.
【解答】解:∵A为⊙O外一定点,P为⊙O上一动点
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,
则QA=QP,则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R,
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值,
根据双曲线的定义,可知点Q的轨迹是:以O,A为焦点,OP为实轴长的双曲线
故选:C.
【点评】双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.
命题“∃x∈[﹣,],tanx≤m”的否定为 .
知识点:7.全称量词与存在量词
∀x∈[﹣,],tanx>m
【考点】命题的否定.
【分析】根据已知中的原命题,结合特称命题的否定方法,可得答案.
【解答】解:命题“∃x∈[﹣,],tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣,],tanx>m”,
故答案为:∀x∈[﹣,],tanx>m
【点评】本题考查的知识点是特称命题的否定,难度不大,属于基础题.
若x,y满足,则z=x+2y的取值范围为 .
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
[0,]
【考点】简单线性规划.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求解范围即可.
【解答】解:x,y满足,不是的可行域如图:
z=x+2y化为:y=﹣+,当y=﹣+经过可行域的O时
目标函数取得最小值,经过A时,目标函数取得最大值,
由,可得A(,),
则z=x+2y的最小值为:0;最大值为: =.
则z=x+2y的取值范围为:[0,].
故答案为:[0,].
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法,一定要掌握.
已知F为双曲线C:﹣=1的左焦点,A(1,4),P是C右支上一点,当△APF周长最小时,点F到直线AP的距离为 .
知识点:2.双曲线
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设双曲线的右焦点为F′(4,0),由题意,A,P,F′共线时,△APF周长最小,求出直线AP的方程,即可求出点F到直线AP的距离.
【解答】解:设双曲线的右焦点为F′(4,0),由题意,A,P,F′共线时,△APF周长最小,直线AP的方程为y=(x﹣4),即4x+3y﹣16=0,
∴点F到直线AP的距离为=,
故答案为:
【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于中档题.
若数列{an}满足an+1+(﹣1)n•an=2n﹣1,则{an}的前40项和为 .
知识点:6.数列的求和
820
【考点】数列的求和.
【分析】根据熟练的递推公式,得到数列通项公式的规律,利用构造法即可得到结论.
【解答】解:由于数列{an}满足an+1+(﹣1)n an=2n﹣1,
故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,
a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97.
从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…
从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,
从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.
{an}的前40项和为 10×2+(10×8+×16)=820,
故答案为:820
【点评】本题主要考查数列的通项公式,以及数列求和,根据数列的递推公式求出数列的通项公式是解决本题的关键.
设f(x)=(m+1)x2﹣mx+m﹣1.
(1)当m=1时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若不等式f(x)+1>0的解集为,求m的值.
知识点:2.一元二次不等式及不等式的解法
【考点】根与系数的关系;一元二次不等式与一元二次方程.
【分析】(1)直接把m=1代入,把问题转化为求2x2﹣x>0即可;
(2)直接根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解即可.
【解答】(本题12分)
解:(1)当m=1时,
不等式f(x)>0为:2x2﹣x>0⇒x(2x﹣1)>0⇒x>,x<0;
因此所求解集为; …
(2)不等式f(x)+1>0即(m+1)x2﹣mx+m>0
∵不等式f(x)+1>0的解集为,
所以是方程(m+1)x2﹣mx+m=0的两根
因此 ⇒. …(12分)
【点评】本题主要考察根与系数的关系.解决本题的关键在于一元二次不等式的解集的区间端点值是对应方程的根.
在△ABC中,a,b,c的对角分别为A,B,C的对边,a2﹣c2=b2﹣,a=6,△ABC的面积为24.
(1)求角A的正弦值;
(2)求边b,c.
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)已知等式整理后,利用余弦定理化简求出cosA的值,进而求出sinA的值;
(2)利用三角形面积公式列出关系式,将sinA与已知面积代入求出bc的值,再将a与bc的值代入已知等式求出b2+c2的值,联立即可求出b与c的值.
【解答】解:(1)由在△ABC中,a2﹣c2=b2﹣①,整理得cosA==,
则sinA==;
(2)∵S=bcsinA=24,sinA=,
∴bc=80,
将a=6,bc=80代入①得:b2+c2=164,
与bc=80联立,解得:b=10,c=8或b=8,c=10.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+an=2Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
知识点:6.数列的求和
【考点】数列的求和;数列的概念及简单表示法.
【分析】(1)由题得an2+an=2Sn,an+12+an+1=2Sn+1,两式子相减得{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即可求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,利用错位相减法,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)由题得an2+an=2Sn,an+12+an+1=2Sn+1,两式子相减得:
结合an>0得an+1﹣an=1 …..
令n=1得a12+a1=2S1,即a1=1,
所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即an=n…..
(2)因为bn==(n≥2)
所以Tn=+…+①
Tn=+…++②…..(8分)
①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣,
所以数列{bn}的前n项和Tn=3﹣.…..(12分)
【点评】本题考查数列的通项与求和,考查错位相减法的运用,属于中档题.
已知命题p:函数f(x)=lg(x2﹣2x+a)的定义域为R,命题q:对于x∈[1,3],不等式ax2﹣ax﹣6+a<0恒成立,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
知识点:6.简单的逻辑联结词
【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假.
【分析】若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q一真一假,进而得到答案.
【解答】解:当P真时,f(x)=lg(x2﹣2x+a)的定义域为R,
有△=4﹣4a<0,
解得a>1.…..(2分)
当q真时,即使g(x)=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1,3]上恒成立,
则有a<在x∈[1,3]上恒成立,
而当x∈[1,3]时, =≥,
故a<.…..
又因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q一真一假,…..
当p真q假时,a>1.…..(8分)
当p假q真时,a<…..(10分)
所以实数a的取值范围是(﹣∞,)∪(1,+∞)…..(12分)
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查复合命题,函数恒成立问题,函数的最值与值域,难度中档.
如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面为边长为1的正方形,侧棱AA1=2
(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小;
(2)在棱上AA1是否存在一点P,使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,若存在,确定P的位置,若不存在,说明理由.
知识点:10.空间角与距离
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角.
【分析】(1)以点D为坐标原点O,DA,DC,DA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线DC与平面ADB1所成角的大小.
(2)假设存在点P(a,b,c),使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,利用向量法能求出棱AA1上存在一点P,使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,且AP=2PA1.
【解答】解:(1)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面为边长为1的正方形,侧棱AA1=2,
∴以点D为坐标原点O,DA,DC,DA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,…..(2分)
D(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,1,),C(0,1,0),
, =(0,1,),=(0,1,0),
设平面ADB1的法向量为,
则,取z=1,得=(0,﹣,1),…..
设直线DC与平面所ADB1成角为θ,
则sinθ=|cos<>|==,
∵θ∈[0,],∴θ=,
∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为.…..
(2)假设存在点P(a,b,c),使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,
设=,由A1(0,0,),得(a﹣1,b,c)=λ(﹣a,﹣b,),
∴,解得,
B1(0,1,),C1(﹣1,1,),=(﹣1,0,0),=(,﹣1,﹣),
设平面的法向量为=(x,y,z),
则,取z=1,得=(0,﹣,1),….(9分)
由(1)知,平面AB1C1D的法向量为=(0,﹣,1),
∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,
∴cos30°===.
由λ>0,解得λ=2,
所以棱AA1上存在一点P,使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,且AP=2PA1.
【点评】本题考查线面角的大小的求法,考查满足条件的点的位置的确定与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
在圆x2+y2=3上任取一动点P,过P作x轴的垂线PD,D为垂足, =动点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程及其离心率;
(2)若直线l交曲线C交于A,B两点,且坐标原点到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
知识点:4.直线与圆的位置关系
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)由=得x0=x,y0=y,即可得到椭圆的方程及其离心率;
(2)由于已知坐标原点O到直线l的距离为,故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题,由弦长公式将其表示出来,再判断最值即可得到线段AB的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),P(x0,y0),由=得x0=x,y0=y …..(2分)
因为x02+y02=3,所以x2+3y2=3,即=1,
其离心率e=.…..
(Ⅱ)当AB与x轴垂直时,|AB|=.
②当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由已知,得.
把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
∴x1+x2=,x1x2=(7分)
∴k≠0,|AB|2=(1+k2)(x2﹣x1)2=3+≤4,
当且仅当9k2=,即k=时等号成立,此时|AB|=2.(10分)
当k=0时,|AB|=.(11分)
综上所述:|AB|max=2,
此时△AOB面积取最大值=(12分)
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,解答本题关键是对直线AB的位置关系进行讨论,可能的最值来,本题由于要联立方程求弦长,故运算量比较大,又都是符号运算,极易出错,做题时要严谨认真.利用弦长公式求弦长,规律固定,因此此类题难度降低不少,因为有此固定规律,方法易找,只是运算量较大.