已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b, 则“”是“ ”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
知识点:5.充分条件与必要条件
定义域为的函数图象的两个端点为,向量,是图象上任意一点,其中. 若不等式恒成立,则称函数在上满足“范围线性近似”,其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值.
下列定义在上函数中,线性近似阀值最小的是 ( )
A. B. C. D.
知识点:3.单调性与最大(小)值
本小题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
如图,直三棱柱中,,.
(1)求直三棱柱的体积;
(2)若是的中点,求异面直线与所成的角.
12分
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
解:(1);…………………………………6分
(2)设是的中点,连结,,
是异面直线与所成的角.………8分
在中,,
.…………………………………10分
即.异面直线与所成的角为.…………
略
(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知复数.
(1)若,求角;
(2)复数对应的向量分别是,其中为坐标原点,求的取值范围.
知识点:3.复数代数形式的四则运算
解:(1)=……2分
…………………………4分
又 ,, …………………6分
(2)
………………………10分
,………14分
略
(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地,如图点M在上,点N在上,且P点在斜边上,已知且米,,.
(1)试用表示,并求的取值范围;
(2)设矩形健身场地每平方米的造价为,再把矩形以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为(为正常数),求总造价关于的函数;试问如何选取的长使总造价最低(不要求求出最低造价).
知识点:14.函数的应用问题
解:(1)在中,显然,,
,………………2分
矩形的面积,…4分
于是为所求.…………………6分
(2) 矩形健身场地造价………………………………………7分
又的面积为,即草坪造价,……………8分
由总造价,,.…10分
,……………………………………………………11分
当且仅当即时等号成立,……………………………12分
此时,解得或,
所以选取的长为12米或18米时总造价最低.………………………14分
略
(本小题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
定义数列,如果存在常数,使对任意正整数,总有成立,那么我们称数列为“摆动数列”.
(1)设,,,判断、是否为“摆动数列”,并说明理由;
(2)设数列为“摆动数列”,,求证:对任意正整数,总有成立;
(3)设数列的前项和为,且,试问:数列是否为“摆动数列”,若是,求出的取值范围;若不是,说明理由.
知识点:6.数列的求和
解:(1)假设数列是“摆动数列”,即存在常数,总有对任意成立,
不妨取时,则,取时,则,显然常数不存在,
所以数列不是“摆动数列”;…………………………………………2分
而数列是“摆动数列”,.
由,于是对任意成立,
所以数列是“摆动数列”.…4分
(2)由数列为“摆动数列”,,
即存在常数,使对任意正整数,总有成立.
即有成立.则,…………………6分
所以,……………………………………7分
同理,………………8分
所以.………………………………………………………………9分
因此对任意的,都有成立.………………………………10分
(3)当时,,
当时,,综上,…………12分
即存在,使对任意正整数,总有成立,
所以数列是“摆动数列”;………………………………………………14分
当为奇数时递减,所以,只要即可,
当为偶数时递增,,只要即可.………………15分
综上.所以数列是“摆动数列”,的取值范围是.………16分
略
(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分10分)
设函数
(1)求函数和的解析式;
(2)是否存在实数,使得恒成立,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(3)定义,且,
① 当时,求的解析式;
已知下面正确的命题: 当时,都有恒成立.
② 若方程恰有15个不同的实数根,确定的取值;并求这15个不同的实数根的和.
知识点:1.函数的概念及其表示
解:(1)函数
函数…………………………………4分
(2),……6分
则当且仅当时,即.
综上可知当时,有恒成立.……………8分
(3)① 当时,对于任意的正整数,
都有,故有 .……13分
② 由①可知当时,有,根据命题的结论可得,
当时,,
故有,
因此同理归纳得到,当时,
…………………15分
时, 解方程得,
要使方程在上恰有15个不同的实数根,
则必须 解得
方程的根………………………17分
这15个不同的实数根的和为:
.…………18分
略