知识点：3.复数代数形式的四则运算

A

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数==的虚部是．

故选：A．

知识点：5.充分条件与必要条件

C

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可．

【解答】解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，

解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．

故答案为 C．

知识点：1.变化率与导数

C

【考点】67：定积分．

【分析】根据积分的物理意义，求积分即可得到结论．

【解答】解：由积分的物理意义可知落体运动从t=0到t=t0所走的路程为，

故选：C．

知识点：1.合情推理与演绎推理

A

【考点】F1：归纳推理．

【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．

【解答】解：由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；

（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；

（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；

…

我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．

若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），

则函数f（x）为偶函数，

又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数

故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），

故选A．

知识点：1.合情推理与演绎推理

C

【考点】F1：归纳推理．

【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．

【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；

②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；

③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误

故3个结论中，有两个是正确的．

故选C

知识点：8.数学归纳法

D

【考点】RG：数学归纳法．

【分析】由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．

【解答】解：在等式中，

当n=1时，n+3=4，

而等式左边起始为1的连续的正整数的和，

故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4

故选D．

知识点：1.变化率与导数

D

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】由导数的几何意义可求曲线y=x3在（1，1）处的切线斜率k，然后根据直线垂直的条件可求的值

【解答】解：设曲线y=x3在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=3

因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直

所以

故选D

知识点：3.复数代数形式的四则运算

A

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】求定积分得到|z|，然后利用复数代数形式的乘除运算化简z，代入复数模的公式求得m的值．

【解答】解：|z|=（sinx﹣）dx=（﹣cosx﹣）|=（﹣cosπ﹣1）﹣（﹣cos0﹣0）=1，

∵z===+i，

∴（）2+（）2=1，

解得a=±1，

故选：A．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

D

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，分别对①②③进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对④⑤进行判定．

【解答】解：对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；

对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确；

对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；

对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；

对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确．

故选：D．

知识点：3.几何概型

D

【考点】CF：几何概型．

【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．

【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，

∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，

∴该点落在阴影部分的概率是．

故选D．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

C

【考点】H5：正弦函数的单调性．

【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f（﹣）与f（）的大小．

【解答】解：函数f（x）=cosx+2xf′（），

所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，

f（x）=cosx+x，

则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，

所以f （﹣）＜f（）．

故选C．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

B

【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．

【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，则可判断g′（x）＞0，故g（x）为增函数，结合g（0）=2016即可得出答案．

【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，

∵f（x）+f′（x）＞1，ex＞0，

∴g′（x）=ex[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，

∴g（x）是R上的增函数，

又g（0）=f（0）﹣1=2016，

∴g（x）＞2016的解集为（0，+∞），

即不等式exf（x）＞ex+2016的解集为（0，+∞）．

故选B．

知识点：6.微积分的基本定理

【考点】67：定积分．

【分析】欲求定积分，可利用定积分的几何意义求解，即可被积函数y=与x轴在0→1所围成的图形的面积即可．

【解答】解：根据积分的几何意义，原积分的值即为单位圆在第一象限的面积．

∴=，

故答案为：．

知识点：1.合情推理与演绎推理

B

【考点】F4：进行简单的合情推理．

【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．

【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，

若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，

若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，

若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，

故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B

故答案为：B

知识点：6.微积分的基本定理

1+2ln2

【考点】67：定积分．

【分析】根据fk（x）的定义求出fk（x）的表达式，然后根据积分的运算法则即可得到结论．

【解答】解：由定义可知当k=1时，f1（x）=，即f1（x）=，

则定积分fk（x）dx==lnx|+x|=ln1﹣ln+2﹣1=1+2ln2，

故答案为：1+2ln2．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

11

【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．

【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可

【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2

∴f′（x）=3x2+6mx+n

依题意可得

联立可得

当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0

函数在R上单调递增，函数无极值，舍

故答案为：11

知识点：2.直接证明与间接证明

【考点】R9：反证法与放缩法．

【分析】根据反证法的步骤，先假设相反的结论，再推出与已知条件相矛盾的结论，否定假设，肯定结论．

【解答】证明：假定B不是锐角，则B不是直角就是钝角．

若B是直角，则sinB=1是最大值，而同一三角形不可能有两个直角或一个直角一个钝角，

则sinB＞sinA．这与已知条件矛盾，

若B是钝角，则sinB=sin=sin（A+C），

∵A+C＞A，

∴sin（A+C）＞sinA，

∴sinB＞sinA．这与已知条件矛盾．

∴假设不成立，

∴在△ABC中，若sinA＞sinB，则B必为锐角．

知识点：3.复数代数形式的四则运算

【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．

【分析】先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z2+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可．

【解答】解：z=====1﹣i

z2+az+b=（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=a+b﹣（a+2）i=1+i

∴解得

知识点：6.微积分的基本定理

【考点】68：微积分基本定理；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出．再利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．

（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．

【解答】解：依题意得，，

定义域是（0，+∞）．

（1）F'（x）=x2+2x﹣8，

令F'（x）＞0，得x＞2或x＜﹣4； 令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2，

且函数定义域是（0，+∞），

∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．

（2）令F'（x）=0，得x=2（x=﹣4舍），

由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，

且，，F（3）=﹣6，

∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．

知识点：8.数学归纳法

【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．

【分析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．

（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有Sk=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

【解答】解：（1）：∵a1=1，Sn=n2an，∴S1=a1=1，

当n=2时，S2=a1+a2=4a2，解得a2=，S2=1+=，

当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=，S3=1++==，

当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=，S4=，

∴Sn=

（2）下面用数学归纳法证

①当n=1时，结论显然成立．

②假设当n=k时结论成立，即Sk=，

则当n=k+1时，则Sk+1=（k+1）2ak+1=（k+1）2（Sk+1﹣Sk），

∴（k2+2k）Sk+1=（k+1）2Sk=（k+1）2，

∴Sk+1=

故当n=k+1时结论也成立．

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有Sn=，

∵Sn=n2an，

∴an===

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）先求导，再找到函数的单调性，即可求出函数的函数f（x）的极值点；

（2）构造函数，，求证函数的最小值为0，即可．

【解答】解：（1）f（x）=（x﹣1）2﹣ln（2x﹣1），定义域，

∴，

令f′（x）=0，得，

∴f（x）的极小值点为：；无极大值点．

（2）由题得，对任意x≥1，恒有，

令．

则h（x）min≥0，其中x≥1，

∵=，

∵x≥1，

∴

当a≤2时，恒有4x2﹣2x﹣a≥0，所以h′（x）≥0，函数单调递增，h（x）min=h（1）=0，成立；

当a＞2时，令4x2﹣2x﹣a=0，则

当时，h′（x）＜0，单调递减；

当时，h′（x）＞0，单调递增；

∴为函数的最小值，又，所以不成立

综上所述，a≤2．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）求出导函数f′（x），通过f（x）在[1，+∞）上是增函数，得到f′（x）≥0．即可求出a的范围．

（2）由f′（）=0，求出a，然后求出极值点，求出极值以及端点函数值，即可得到最大值．

（3）两个函数图象恰有3个交点，转化为方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．利用判别式以及根的分布求解即可．

【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣3，

∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．

∴﹣≤1且f′（1）=2a≥0．

∴a≥0．

（2）由题意知f′（）=0，即+﹣3=0，

∴a=4．

∴f（x）=x3+4x2﹣3x．

令f′（x）=3x2+8x﹣3=0得x=或x=﹣3．

∵f（﹣4）=12，f（﹣3）=18，f（）=﹣，f（1）=2，

∴f（x）在[﹣a，1]上的最大值是f（﹣3）=18．

（3）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．

∵x=0是其中一个根，

∴方程x2+4x﹣（3+b）=0有两个非零不等实根．

∴，

∴b＞﹣7且b≠﹣3．

∴满足条件的b存在，其取值范围是（﹣7，﹣3）∪（﹣3，+∞）．