知识点：14.函数的应用问题

解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每月还款额比前一个月多元，故

即 ，解得（元）.

即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元.

（Ⅱ）设凌霄第个月还清，则应有

即，解之得，取.

即凌霄工作个月就可以还清贷款.

这个月凌霄的还款额为

元

第31个月凌霄的工资为元.

因此，凌霄的剩余工资为，能够满足当月的基本生活需求.

解法2：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为构成等差数列，其中，公差为. 从而，到第个月，凌霄共还款

令，解之得（元）.

即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元.

（Ⅱ）设凌霄第个月还清，则应有

整理可得，解之得，取.

即凌霄工作个月就可以还清贷款.

这个月凌霄的还款额为

元

第31个月凌霄的工资为元.

因此，凌霄的剩余工资为，能够满足当月的基本生活需求.

知识点：3.抛物线

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，

∴双曲线的焦点为、，

设在抛物线上，且，

由抛物线的定义得，，∴，

∴，∴，∴，

又∵点在双曲线上，由双曲线定义得，，∴， ∴双曲线的方程为：．

（Ⅱ）为定值.下面给出说明.设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，

∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为，

故圆：，

设的方程为，即，

设的方程为，即，

∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，

∴直线被圆截得的弦长，

直线被圆截得的弦长，

∴，故为定值．

知识点：3.数列

解：（Ⅰ）,

∴点P处的切线斜率, ∴切线方程为:,

令得: ,故数列的通项公式为:.

(2) ------①

两边同乘得:------②

①②得:

∴

其中, ,,

猜测的最大值为.证明如下:

(i)当为奇数时，；

(ii)当为偶数时，,设,则.

, ∴.

故的最大值为,即的最大值为.

解法2 (2)任意，都有；所以的最大值就是的最大值.

令,显然,

所以的最大值是.

知识点：15.函数的图像

解析：（Ⅰ）因为，由图可知，，

∴，得，故所求函数解析式为．

（Ⅱ），则．

法一：①若，即时，，

∴在上是增函数，故．

②若，即，当时，；当时，；

∵，，∴当时，，；

当时，，．

③若，即时，，

∴在上是减函数，故．

综上所述，当时，；当时，．

法二：当时，；当时，；

∴当或时，取得最大值，其中，，

当时，；当时，．

知识点：3.抛物线

解析：（Ⅰ）由可得，．

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

∴，或，同理可得：，或

∵，∴，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则直线的斜率，

∴直线的方程为：，又，

∴，即．

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，

故圆的面积为．

（Ⅲ）四边形的面积为不妨设圆心到直线的距离为，垂足为；圆心到直线的距离为，垂足为；则

由于四边形为矩形.且

所以

由基本不等式可得

，当且仅当时等号成立.

知识点：3.分类与整合思想

解：（Ⅰ）由题意得，，，

∵点、、构成以为顶点的等腰三角形，

∴，即

得

又∵，∴， ① 则 ②

由②－①得，，即是常数．即所列都是等差数列.

（注：可以直接由图像得到,即, () ）

当为正奇数时，，

当为正偶数时，由得，，故，

∴．

（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形，由题意．

在中，．

当为正奇数时，，，

∴，故有，即，

又∵，∴，∴，即，

∴当时，使得三角形为等腰直角三角形．

当为正偶数时，，，

∴，故有，即，

又∵，∴，即，

∴当时，使得三角形为等腰直角三角形．

综上所述，当时，使得三角形为等腰直角三角形．

注：也可以回答为时，使得三角形为等腰直角三角形．

知识点：10.圆锥曲线与方程

（1）解：设点，依题意，有． 整理，得．

所以动点的轨迹的方程为．

（2）解：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为．

∵、是直线上的两个点，∴可设，（不妨设）．

∵，∴．即．即．

由于，则，． ∴．

当且仅当，时，等号成立．故的最小值为．

知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ

（1）解：∵，∴．

∵在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取到极小值，即． ∴．

（2）解：由（1）知，， ∵1是函数的一个零点，即，∴．

∵的两个根分别为，．

∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，∴，即．

∴．故的取值范围为．

（3）解：由（2）知，且．

要讨论直线与函数图像的交点个数情况，

即求方程组解的个数情况．

由，得．

即．

即．∴或．

由方程， （*） 得．

∵，若，即，解得．此时方程（*）无实数解．

若，即，解得．此时方程（*）有一个实数解．

若，即，解得．此时方程（*）有两个实数解，分别为，．且当时，，．

综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点．

当或时，直线与函数的图像有二个交点．

当且时，直线与函数的图像有三个交点．

知识点：3.数列

（1）解：当时，有，由于，所以．

当时，有，将代入上式，由于，所以．

（2）解：由于， ①

则有． ②

②－①，得，

由于，所以． ③

同样有， ④

③－④，得． 所以．由于，即当时都有，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．故．

（3）解：由（2）知，则．

所以

．

∵，∴数列单调递增．所以．

要使不等式对任意正整数恒成立，只要．

∵，∴．∴，即．所以，实数的取值范围是．

知识点：1.椭圆

解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点

由题设，解得，故所求椭圆的方程为

（2）设，设P为弦MN的中点，

由 得 ，直线与椭圆相交，

，①

从而，

又，则

即 ， ② …………………………10分

把②代入①得 解得 ， 由②得 解得．

综上求得的取值范围是．

知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ

解：（1）

当；当，适合上式，

（2）， ①

， ②

由①②得：

=，

（3）证明：由

又

……12分

，成立

知识点：2.函数概念与基本初等函数Ⅰ

解：（1）当时，，

从而得，

故曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）由，得，

令则

再令则，

即在上单调递增.所以，

因此，故在上单调递增.

则，因此 .