设命题P:在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC,则B=;命题q:将函数y=cos2x的周期为π.则下列判断正确的是 ( )
A.p为真 B.┑q为真 C.p∧q为假 D.p∨q为假命题
知识点:6.简单的逻辑联结词
C
()的图象如右图所示,为了得到的图象,可以将的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
知识点:6.三角函数的图像与性质
A
从甲、乙等名志愿者中选出名,分别从事,,,四项不同的工作,每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事工作,则不同的工作分配方案共有( )
A.种 B. C.种 D.种
知识点:2.排列与组合
B
已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断正确的是( )
A. 当时,有3个零点;当时,有2个零点
B. 当时,有4个零点;当时,有1个零点
C. 无论为何值,均有2个零点
D. 无论为何值,均有4个零点
知识点:12.绝对值函数与分段函数及其他函数
B
(本小题满分12分)
已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列{an·3n-1}的前n项和.
知识点:3.等差数列的前n项和
(I)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得
解得
故数列{an}的通项公式为an=2-n ………………5分
(II)设数列{an·3n-1}的前n项和为Sn,即
Sn=1·30+0·31-1·32-···+(3-n)3n-1+(2-n)3n
3Sn= 1·31+0·32-1·33- ··· +(3-n)3n+(2-n)3n+1
所以2 Sn=30+31+32-···+3n-1+(2-n)3n
所以Sn=
综上,数列{an·3n-1}………………12分
(本小题满分12分)
正方形与梯形所在平面互相垂直,,,点在线段上且不与重合。
(Ⅰ)当点M是EC中点时,求证:BM//平面ADEF;
(Ⅱ)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.
知识点:5.直线、平面平行的判定及其性质
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);
Ⅰ)以分别为轴建立空间直角坐标系
(本小题满分12分)
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.
(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;
(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.
知识点:9.离散型随机变量的分布列、均值与方差
(本小题满分12分)
如图,轴,点M在DP的延长线上,且.当点P在圆上运动时。
(I)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点的切线交曲线C于A,B两点,求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。
知识点:4.直线与圆锥曲线的位置关系
解:设点的坐标为,点的坐标为,
则,,所以,, ①
因为在圆上,所以 ②
将①代入②,得点的轨迹方程C的方程为.
(Ⅱ)由题意知,.
当时,切线的方程为,点A、B的坐标分别为
此时,当时,同理可得;
当时,设切线的方程为
由
得③
设A、B两点的坐标分别为,则由③得:
.
又由l与圆相切,得即
所以
因为且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2
依题意,圆心到直线AB的距离为圆的半径,所以面积,当且仅当时,面积S的最大值为1,相应的的坐标为或者.
(本小题满分12分)
设函数的定义域为(0,).(Ⅰ)求函数在上的最小值;(Ⅱ)设函数,如果,且,证明:.
知识点:3.导数在研究函数中的应用
(Ⅱ)证明:考察函数,
所以g(x)在()内是增函数,在()内是减函数.(结论1)
考察函数F(x)=g(x)-g(2-x),即
于是
当x>1时,2x-2>0,从而(x)>0,
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若tan∠CED=,⊙O的半径为3,求OA的长.
知识点:1.几何证明选讲
解:(1)证明:连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥OB,又∵OC是圆的半径,∴AB是圆的切线.
(2)∵ED是直径,∴∠ECD=90°,∴∠E+∠EDC=90°,
又∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,
∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC,
∴△BCD∽△BEC,∴=⇒BC2=BD·BE,
又tan∠CED==,△BCD∽△BEC,==,
设BD=x,则BC=2x,∵BC2=BD·BE,∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2,
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5.
(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程
直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.
知识点:2.坐标系与参数方程
解:(1)由ρ=,得(ρsinθ)2=2ρcosθ,
所以曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-2tcosα-1=0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则
t1+t2=,t1t2=-,
∴|AB|=|t1-t2|===,当α=时,|AB|取最小值2.