对于数列,“(n=1,2,3,…)成等差数列”是“”的 ( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件[] C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
知识点:3.数列
C
设数列是以2为首项,1为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,则等于 ( )
A.1033 B.1034 C.2057 D.2058
知识点:3.数列
A
定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列是等积数列且,前21项的和等于62,则这个数列的公积等于 .
知识点:3.数列
8
已知点在函数的图象上.
(1)求数列的前n项和;
(2)设,求数列的前n项和.
知识点:3.数列
(1)由题意,得,(3分)所以(6分)
(2)因为,(8分)所以(10分)
.(12分)
在数列中,,(n≥2,n∈N*),数列满足:(n∈N*).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)试求数列中的最小项和最大项,并说明你的理由.
知识点:3.数列
(1)∵,∴,而,(3分)∴(n∈N+).
故数列是首项为,公差为1的等差数列.(6分)
(2)依题意有,而,所以(8分)函数在x<3.5时,
y<0,在上也为减函数.故当n=3时,取最小值,;(10分)函数,在x>3.5时,y>0,在上为减函数.故当n=4时,取最大值3.(12分)
数列的前n项和记为,,点在直线上,n∈N*.
(1)当实数t为何值时,数列是等比数列?
(2)在(1)的结论下,设,是数列的前n项和,求的值.
知识点:3.数列
(1)由题意得,,(2分)两式相减,得,所以,当时,是等比数列,(4分)要使时,是等比数列,则只需,从而得出.(6分)
(2)由(1)得知,,(8分),(10分)
.(12分)
已知数列中,(n∈N*).
(1)证明数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
知识点:3.数列
(1)因为,所以,(3分)
两式相减得,所以,因此,数列从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列.(6分)
(2)由(1)知,故;于是当时,,所以,当时,,(9分),两式相减得,又也满足上式,所以.(12分)
宏伟机器制造有限公司从2012年起,若不改善生产环境,按现状生产,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月递增2万元的处罚.如果从2012年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境(改造设备时间不计).按测算,新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示.
(1)设表示投资改造后的前n个月的总收入,请写出的函数关系式;
(2)试问:经过多少个月,投资开始见效,也就是说,投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入?
知识点:2.函数概念与基本初等函数Ⅰ
(1)设表示第个月的收入,则由图得,,且数列的前五项是公差为2的等差数列,第六项开始是常数列,(2分)所以=(4分)即=(6分)
(2)不改造时的第n个月累计纯收入:;(8分)
投资改造后的第n个月累计纯收入:当n≤5时,纯收入为+100n400,由+100n400>,解得n>-8+,由-8+>-8+=8,得n>8,即前5个月不效.(10分)
当n>5时,纯收入,由>,得,解得
而n=9适合上述不等式.所以,必须经过8个月后,即第9个月才见效.(13分)
已知a为实数,数列满足,当时,.
(1)当时,填写下列表格;
n
2
3
51
200
an
(2)当时,求数列的前200项的和;
(3)令,,求证:当时,有.
知识点:3.数列
(1)(4分)
n |
2 |
3 |
51 |
200 |
an |
196 |
192 |
1 |
4 |
(2)当时,由题意知数列的前50项构成首项为,公差为的等差数列,从第51项开始,奇数项均为1,偶数项均为4.(6分)从而,∴.(8分)
(3)当时,易知,∴(10分)
①当(k∈N*)时,
∵,∴,(12分)
②当(k∈N*)时,
综上,有.(14分)