2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三

函数上的最小值是                               (  )

A.0               B.1              C.2               D.3

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知识点:4.基本不等式

C

时,,因此

,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此上的最小值为2

     

,若,则实数的取值范围为       ( )

A.          B.          C.           D.

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知识点:2.集合间的基本关系

C

[解法一] 有两个实根

等价于,即

解之得

[解法二](特殊值验证法)令,排除C,令排除AB,故选D

[解法三](根的分布)由题意知的两根在内,令解之得:

     

甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为            ()

A.            B.            C.           D.

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知识点:9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

B

[解法一] 依题意知,的所有可能值为246.

设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

    

若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有

    

    

    

[解法二] 依题意知,的所有可能值为246.

表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜.

由独立性与互不相容性得

     

若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为                                                          ( )

A. 764 cm3或586 cm3                      B. 764 cm3       

C. 586 cm3或564 cm3                      D. 586 cm3

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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

D

[] 设这三个正方体的棱长分别为,则有,不妨设,从而.故只能取9876

,则,易知,得一组解

,则.但,从而5.若,则无解,若,则无解.此时无解.

,则,有唯一解

,则,此时.故,但,故,此时无解.

综上,共有两组解

体积为cm3cm3

     

方程组的有理数解的个数为                      ( )

A.  1               B.  2             C.  3               D.  4

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知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划

B

[] ,则解得

,则由

将②代入

由①得,代入③化简得.

易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解

     

的内角所对的边成等比数列,则的取值范围 ( )

A.                            B.  

C.                     D.

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知识点:4.等比数列及其性质

C

[] 的公比为,则,而

  

因此,只需求的取值范围.

成等比数列,最大边只能是,因此要构成三角形的三边,必需且只需.即有不等式组

解得

从而,因此所求的取值范围是

     

,其中为实数,,若,则       .

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知识点:5.奇偶性与周期性

5

[] 由题意知

,因此

     

设的最小值为,则

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知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B

[]

(1) 时,时取最小值

(2) 时,时取最小值1

(3) 时,时取最小值

时,的最小值不能为

,解得(舍去)

     

将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有    种.

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知识点:1.两个计数原理

222

[解法一] 4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额.如

  

表示第一、二、三个学校分别有4182个名额.

若把每个“”与每个“”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有种.

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.

综上知,满足条件的分配方法共有25331222种.

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

     

的正整数解的个数,即方程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.

综上知,满足条件的分配方法共有25331222种.

     

设数列的前项和满足:,则通项=.

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知识点:7.数列的通项

[]

2

=

由此得 2

()

,故,所以

     

是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足

    ,则=.

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知识点:1.不等式关系与不等式

[解法一] 由题设条件知

因此有,故

[解法二] ,则

是周期为2的周期函数,

所以

     

一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.                           

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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

[] 如答121,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足的中心.

,故

从而

记此时小球与面的切点为,连接,则

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答122.记正四面体

的棱长为,过

,有,故小三角形的边长

小球与面不能接触到的部分的面积为(如答122中阴影部分)

.         

,所以

由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为

     

球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.                     

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知识点:5.三角函数的求值、化简与证明

[] 的图象与直线的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为

5

由于,所以,即 10

因此

15

.                     20

     

解不等式

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知识点:2.一元二次不等式及不等式的解法

[解法一] ,且上为增函数,故原不等式等价于

.              

即       .              …5

分组分解   

,             …10

所以   

      15

所以,即

故原不等式解集为   20

[解法二] ,且上为增函数,故原不等式等价于

.              …5

  10

,则不等式为

显然上为增函数,由此上面不等式等价于

15

,解得 (舍去)

故原不等式解集为   20

     

如题15图,是抛物线上的动点,点轴上,圆内切于,求面积的最小值.

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知识点:3.抛物线

[] ,不妨设

直线的方程:

化简得

又圆心的距离为1

5

易知,上式化简得

同理有               10

所以,则

是抛物线上的点,有

       …15

所以

  

时,上式取等号,此时

因此的最小值为8