函数在上的最小值是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
知识点:4.基本不等式
C
当时,,因此
,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2.
设,,若,则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
知识点:2.集合间的基本关系
C
[解法一] 因有两个实根
,,
故等价于且,即
且,
解之得.
[解法二](特殊值验证法)令,排除C,令,排除A、B,故选D。
[解法三](根的分布)由题意知的两根在内,令则解之得:
甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为 ()
A. B. C. D.
知识点:9.离散型随机变量的分布列、均值与方差
B
[解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
.
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
,
,
,
故.
[解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
令表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
,
,
,
故.
若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
D
[解] 设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6.
若,则,易知,,得一组解.
若,则,.但,,从而或5.若,则无解,若,则无解.此时无解.
若,则,有唯一解,.
若,则,此时,.故,但,故,此时无解.
综上,共有两组解或
体积为cm3或cm3.
方程组的有理数解的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
B
[解] 若,则解得或
若,则由得. ①
由得. ②
将②代入得. ③
由①得,代入③化简得.
易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或
设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围 ( )
A. B.
C. D.
知识点:4.等比数列及其性质
C
[解] 设的公比为,则,而
.
因此,只需求的取值范围.
因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组
即
解得
从而,因此所求的取值范围是.
设的最小值为,则.
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
[解]
,
(1) 时,当时取最小值;
(2) 时,当时取最小值1;
(3) 时,当时取最小值.
又或时,的最小值不能为,
故,解得,(舍去).
将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种.
知识点:1.两个计数原理
222
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额.如
表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“”与每个“”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有种.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
.
的正整数解的个数,即方程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
设是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足
,,则=.
知识点:1.不等式关系与不等式
[解法一] 由题设条件知
,
因此有,故
.
[解法二] 令,则
,
,
即,
故,
得是周期为2的周期函数,
所以.
一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心.
因
,故,
从而.
记此时小球与面的切点为,连接,则
.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体
的棱长为,过作于.
因,有,故小三角形的边长.
小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
.
又,,所以
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.
知识点:5.三角函数的求值、化简与证明
[证] 的图象与直线的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为,.
…5分
由于,,所以,即. …10分
因此
…15分
. …20分
解不等式
.
知识点:2.一元二次不等式及不等式的解法
[解法一] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于
.
即 . …5分
分组分解
,
, …10分
所以 ,
. …15分
所以,即或.
故原不等式解集为. …20分
[解法二] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于
. …5分
即
,
, …10分
令,则不等式为
,
显然在上为增函数,由此上面不等式等价于
, …15分
即,解得 (舍去),
故原不等式解集为. …20分