知识点：4.等比数列及其性质

C

　由题设，a_n=a₁q^n-1 ，则
　　
　　因此，｛b_n｝是公比为q³的等比数列．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

A

由(|x|-1)²+(|y|-1)²<2,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．

知识点：16函数值的大小比较

B

记f(t)=(log₂3)^t-(log₅3)^t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．
　　故x≥-y，即x+y≥0．

知识点：4.空间点、直线、平面之间的位置关系

D

如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．

知识点：1.两个计数原理

B

设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得 ，即 =44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．

知识点：4.直线与圆锥曲线的位置关系

C

设B(t²,2t),C(s²,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为 ，化得2x-(s+t)y+2st=0．
　　由于直线BC过点(5，-2)，故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=-4．
　　因此， .
　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．

知识点：3.分类与整合思想

6

首项为a为的连续k个正整数之和为
　　　　　　．
　　由S_k≤2000，可得60≤k≤62．
　　当k=60时，S_k=60a+30×59，由S_k≤2000，可得a≤3，故S_k=1830,1890,1950；
　　当k=61时，S_k=61a+30×61，由S_k≤2000，可得a≤2，故S_k=1891，1952；
　　当k=62时，S_k=62a+31×61，由S_k≤2000，可得a≤1，故S_k=1953．
　　于是，题中的n有6个．

知识点：2.复数的几何意义

z的辐角主值
　　　　argz=arg［(12+5i)²(239-i)］
　　　　　　=arg［(119+120i)(239-i)］
=arg［28561+28561i］=．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

知识点：2.双曲线

记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4, b=3, c=5, , 右准线l为.
　　如果P在双曲线右支，则
　　　　　|PF₁|=|PF₂|+2a=ed+2a．
　　从而，
|PF₁|+|PF₂|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，
　　这不可能；故P在双曲线的左支，则
　　　　　|PF₂|-|PF₁|=2a,|PF₁|+|PF₂|=2d．
　　两式相加得2|PF₂|=2a+2d．
　　又|PF₂|=ed,从而ed=a+d．
　　故 .
　　因此，P的横坐标为．

知识点：1.直线的倾斜角、斜率与方程

43

设倾斜角为θ，则tgθ=->0．不妨设a>0，则b<0．
　　(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3-2=7条；
　　(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条．
　　从而，符合要求的直线有7+36=43条．

知识点：3.空间几何体的表面积与体积

由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．

　　又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=．
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB． 所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，

OC=SCcos60°= ，
　　　　 SO=tg60°=×=3．
　　又 OC=AB，故AB=OC=×=3．
　　所以，V_S-ABC=．

知识点：5.三角函数的求值、化简与证明

若对一切x∈［0，1］，恒有 f(x)=x²cosθ-x(1-x)+(1-x)²sinθ>0，
　　则
　　　　cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. 　(1)
　　取 x₀= ∈(0，1)，则 ．
　　由于 +2x(1-x)，
　　所以，0<f(x₀)=2x₀(1-x₀) ．
　　故 -+>0 　(2)
　　反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ>0，f(1)=cosθ>0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)>0．
先在［0,2π］中解(1)与(2)：
　　由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<.
　　又-+>0, > ,
　　　sin2θ>, sin2θ>,
注意到 0<2θ<π，故有 <2θ< ,
　　所以，<θ< .
因此，原题中θ的取值范围是 2kπ+<θ<2kπ+ ,k∈Z．

知识点：1.椭圆

记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e．则a=5,b=4,c===3,e==，左准线为x=-．
　　过点B作左准线x=-的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M．由椭圆定义，
　　　　|BN|==|BF| .
于是， |AB|+|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(，2)
　　所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(，2)．

知识点：3.等差数列的前n项和

设公差为d,a_n+1=α,则
　　S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=(n+1)α+d．
　　故 .
　　则
　　　　
因此 |S|≤(n+1)，
　　且当 α=,d=· 时，
　　S=(n+1)〔+··〕
　　 =(n+1) =(n+1)
　　由于此时4α=3nd,故 ．
所以，S的最大值为(n+1)．