若a > 1, b > 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 则lg (a –1) + lg (b –1) 的值( )
(A)等于lg2 (B)等于1
(C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数
知识点:9.对数与对数运算
C
解:a+b=ab,(a-1)(b-1)=1,由a-1>0,b-1>0,故lg(a-1)(b-1)=0,选C.
若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使AÍA∩B成立的所有a的集合是( )
(A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}
(C) {a | a≤9} (D) Ø
知识点:3.集合的基本运算
B
解:AÍB,A≠Ø.Þ 3≤2a+1≤3a-5≤22,Þ6≤a≤9.故选B.
各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( )
(A) 150 (B) -200
(C) 150或 -200 (D) -50或400
知识点:4.等比数列及其性质
解:首先q≠1,于是,(q10-1)=10,(q30-1)=70,∴ q20+q10+1=7.Þq10=2.(-3舍)
∴ S40=10(q40-1)=150.选A.
设命题P:关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a 2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同;
命题Q:==. 则命题Q( )
(A) 是命题P的充分必要条件
(B) 是命题P的充分条件但不是必要条件
(C) 是命题P的必要条件但不是充分条件
(D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件
知识点:5.充分条件与必要条件
D
解:若两个不等式的解集都是R,否定A、C,若比值为-1,否定A、B,选D.
设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是( )
(A) arcsin (B) +arccos (C) -arctan (D) π-arccot
知识点:10.空间角与距离
D
解:取AD、BD中点H、M,则EH∥FG∥BD,于是EH在平面EFG上.设CM∩FG=P,AM∩EH=Q,则P、Q分别为CM、AM中点,PQ∥AC.
∵ AC⊥BD,ÞPQ⊥FG,CP⊥FG,Þ∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角.
设AC=2,则MC=MA=,cos∠ACM==.
∴ 选D.
在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37
知识点:1.两个计数原理
B
解:8个顶点中无3点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心.
⑴ 体中心为中点:4对顶点,6对棱中点,3对面中心;共13组;
⑵ 面中心为中点:4×6=24组;
⑶ 棱中点为中点:12个.共49个,选B.
若f (x) (xÎR)是以2为周期的偶函数, 当xÎ[ 0, 1 ]时,f(x)=x,则f(),f(),f()由小到大排列是 .
知识点:5.奇偶性与周期性
f()<f()<f()
解:f()=f(6-)=f().f()=f(6-)=f(),f()=f(6+)=f().
现f(x)是[0,1]上的增函数.而<<.故f()<f()<f().
设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°),复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________.
知识点:2.复数的几何意义
3
解: =++=+-+-
=+-
=(1+i)z+2-z=iz+2
=(2cosθ-sinθ)+i(cosθ-2sinθ).
∴ |OS|2=5-4sin2θ≤9.即|OS|≤3,当sin2θ=1,即θ=时,|OS|=3.
从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.
知识点:1.两个计数原理
51
解:从这10个数中取出3个偶数的方法有C种,取出1个偶数,2个奇数的方法有CC种,而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0,1,5),(0,1,7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有9种,故应答10+50-9=51种.
各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.
知识点:2.等差数列及其性质
8
解:设其首项为a,项数为n.则得a2+(n-1)a+2n2-2n-100≤0.
△=(n-1)2-4(2n2-2n-100)=-7n2+6n+401≥0.∴ n≤8.
取n=8,则-4≤a≤-3.即至多8项.
(也可直接配方:(a+)2+2n2-2n-100-()2≤0.解2n2-2n-100-()2≤0仍得n≤8.)
若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是 .
知识点:1.椭圆
-1≤a≤
解:2y=4-4(y-a)2,Þ2y2-(4a-1)y+2a2-2=0.此方程至少有一个非负根.
∴ △=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0.a≤.
两根皆负时2a2>2,4a-1<0.Þ-1<a<1且a<.即a<-1.∴-1≤a≤.
DABC中, ÐC = 90o, ÐB = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2,此时三棱锥A-BCM的体积等于 .
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
解:由已知,得AB=4,AM=MB=MC=2,BC=2,由△AMC为等边三角形,取CM中点,则AD⊥CM,AD交BC于E,则AD=,DE=,CE=.
折起后,由BC2=AC2+AB2,知∠BAC=90°,cos∠ECA=.
∴ AE2=CA2+CE2-2CA·CEcos∠ECA=,于是AC2=AE2+CE2.Þ∠AEC=90°.
∵ AD2=AE2+ED2,ÞAE⊥平面BCM,即AE是三棱锥A-BCM的高,AE=.
S△BCM=,VA—BCM=.
已知复数z=1-sinθ+icosθ(<θ<π),求z的共轭复数的辐角主值.
知识点:3.复数代数形式的四则运算
解:z=1+cos(+θ)+isin(+θ)=2cos2+2isincos
=2cos (cos+isin).
当<θ<π时,=-2cos (-cos+isin)
=-2cos(+)(cos(-)+isin(-)).
∴ 辐角主值为-.
设函数f (x) = ax2 +8x+3 (a<0).对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| £ 5都成立.
问:a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a).证明你的结论.
知识点:13.函数与方程
解: f(x)=a(x+)2+3-.
(1)当3->5,即-8<a<0时,
l(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根,故l(a)=.
(2)当3-≤5,即a≤-8时,
l(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根,故l(a)=.
综合以上,l(a)=
当a≤-8时,l(a)==≤=;
当-8<a<0时,l(a)==<<.
所以a=-8时,l(a)取得最大值.
已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ¹ 0, b 2 ¹ 2pa).M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2.
求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ¹ M2.)直线M1M2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.
知识点:4.直线与圆锥曲线的位置关系
解:设M(,m).M1(,m1),M2(,m2),
则A、M、M1共线,得=,即b-m=.
∴ m1=,同法得m2=;
∴ M1M2所在直线方程为
=,即(m1+m2)y=2px+m1m2.消去m1,m2,得
2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm.⑴
分别令m=0,1代入,得x=a,y=,以x=a,y=代入方程⑴知此式恒成立.
即M1M2过定点(a,)