2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一

a > 1, b > 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 则lg (a –1) + lg (b –1) 的值(    )

     (A)等于lg2                  (B)等于1

       (C ) 等于0                     (D) 不是与a, b无关的常数

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知识点:9.对数与对数运算

C

解:a+b=ab(a1)(b1)=1,由a1>0b1>0,故lg(a1)(b1)=0,选C

     

若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使AÍAB成立的所有a的集合是(    )

      (A){a | 1≤a≤9}                  (B) {a | 6≤a≤9}

       (C)  {a | a≤9}                   (D)  Ø

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知识点:3.集合的基本运算

B

解:AÍBAØÞ 32a+13a522Þ6a9.故选B

     

各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于(    )

   (A)  150                       (B)  -200

       (C)  150或 -200               (D)  -50或400

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知识点:4.等比数列及其性质

解:首先q1,于是,(q101)=10(q301)=70,∴ q20+q10+1=7Þq10=2(3)

S40=10(q401)=150.选A

     

设命题P:关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a 2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同;

      命题Q==. 则命题Q(     )

       (A) 是命题P的充分必要条件

         (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件

       (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件

       (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件

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知识点:5.充分条件与必要条件

D

解:若两个不等式的解集都是R,否定AC,若比值为-1,否定AB,选D

     

E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角CFGE的大小是(     )

   (A) arcsin    (B) +arccos      (C) -arctan   (D) π-arccot  

 

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知识点:10.空间角与距离

D

解:取ADBD中点HM,则EHFGBD,于是EH在平面EFG上.设CMFG=PAMEH=Q,则PQ分别为CMAM中点,PQAC

ACBDÞPQFGCPFGÞCPQ是二面角CFGE的平面角.

AC=2,则MC=MA=cosACM==

∴ 选D

     

在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是(    )

       (A)  57         (B)  49            (C)  43            (D)37

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知识点:1.两个计数原理

B

解:8个顶点中无3点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心.

⑴ 体中心为中点:4对顶点,6对棱中点,3对面中心;共13组;

⑵ 面中心为中点:4×6=24组;

⑶ 棱中点为中点:12个.共49个,选B

     

f (x) (xÎR)是以2为周期的偶函数, 当xÎ[ 0, 1 ]时,f(x)=x,则f(),f(),f()由小到大排列是              

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知识点:5.奇偶性与周期性

f()<f()<f()

解:f()=f(6)=f()f()=f(6)=f()f()=f(6+)=f()

f(x)[01]上的增函数.而<<.故f()<f()<f()

     

设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°),复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________.

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知识点:2.复数的几何意义

3

解: =++=++

=+

=(1+i)z+2z=iz+2

=(2cosθsinθ)+i(cosθ2sinθ)

|OS|2=54sin2θ9.即|OS|3,当sin2θ=1,即θ=时,|OS|=3

     

从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.

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知识点:1.两个计数原理

51

解:从这10个数中取出3个偶数的方法有C种,取出1个偶数,2个奇数的方法有CC种,而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(024)(026)(013)(015)(017)(035)(213)(215)(413),共有9种,故应答10+509=51种.

     

各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.

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知识点:2.等差数列及其性质

8

解:设其首项为a,项数为n.则得a2+(n1)a+2n22n1000

=(n1)24(2n22n100)=7n2+6n+4010.∴ n8

n=8,则-4a≤-3.即至多8项.

(也可直接配方:(a+)2+2n22n100()20.解2n22n100()20仍得n8)

     

若椭圆x2+4(ya)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是         

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知识点:1.椭圆

1a

解:2y=44(ya)2Þ2y2(4a1)y+2a22=0.此方程至少有一个非负根.

∴ △=(4a1)216(a21)=8a+170a

两根皆负时2a2>24a1<0Þ1<a<1a<.即a<1.∴-1a

     

DABC中, ÐC = 90o, ÐB = 30o, AC = 2, MAB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2,此时三棱锥ABCM的体积等于               

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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

解:由已知,得AB=4AM=MB=MC=2BC=2,由△AMC为等边三角形,取CM中点,则ADCMADBCE,则AD=DE=CE=

折起后,由BC2=AC2+AB2,知∠BAC=90°,cosECA=

AE2=CA2+CE22CA·CEcosECA=,于是AC2=AE2+CE2ÞAEC=90°.

AD2=AE2+ED2ÞAE⊥平面BCM,即AE是三棱锥ABCM的高,AE=

SBCM=VABCM=

     

已知复数z=1-sinθ+icosθ(<θ<π),求z的共轭复数的辐角主值.

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知识点:3.复数代数形式的四则运算

z=1+cos(+θ)+isin(+θ)=2cos2+2isincos

=2cos (cos+isin)

<θ<π=2cos (cos+isin)

=2cos(+)(cos()+isin())

辐角主值为

     

 

     设函数f (x) = ax2 +8x+3 (a<0).对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| £ 5都成立.

     问:a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a).证明你的结论.

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知识点:13.函数与方程

解: f(x)a(x+)2+3

(1)35,即-8a0时,

l(a)是方程ax2+8x+35的较小根,故l(a)

(2)35,即a≤-8时,

l(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根,故l(a)

综合以上,l(a)=

a≤-8时,l(a)

当-8a0时,l(a)

所以a=-8时,l(a)取得最大值

     

已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ¹ 0, b 2 ¹ 2pa).M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2.

     求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ¹ M2.)直线M1M2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.

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知识点:4.直线与圆锥曲线的位置关系

解:设M(m)M1(m1)M2(m2)

AMM1共线,得=,即bm=

m1=,同法得m2=

M1M2所在直线方程为

=,即(m1+m2)y=2px+m1m2.消去m1m2,得

2pabybm2y=2pbmx2pm2x+4p2a22pabm.⑴

分别令m=01代入,得x=ay=,以x=ay=代入方程⑴知此式恒成立.

M1M2过定点(a)