设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是
(A) a,b同时为0,且c>0 (B) =c
(C) <c (D) >c
知识点:5.充分条件与必要条件
C
解:asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[-+c,+c].故选C.
给出下列两个命题:(1)设a,b,c都是复数,如果a2+b2>c2,则a2+b2-c2>0.(2)设a,b,c都是复数,如果a2+b2-c2>0,则a2+b2>c2.那么下述说法正确的是
(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误
(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
知识点:3.复数代数形式的四则运算
B
解:⑴正确,⑵错误;理由:⑴a2+b2>c2,成立时,a2+b2与c2都是实数,故此时a2+b2-c2>0成立;
⑵ 当a2+b2-c2>0成立时a2+b2-c2是实数,但不能保证a2+b2与c2都是实数,故a2+b2>c2不一定成立.故选B.
已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
知识点:6.数列的求和
C
解:(an+1-1)=-(an-1),即{ an-1}是以-为公比的等比数列,
∴ an=8(-)n-1+1.∴ Sn=8·+n=6+n-6(-)n,Þ6·<,Þn≥7.选C.
已知0<b<1,0<a<,则下列三数:x=(sina),y=(cosa),z=(sina)的大小关系是
(A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z
知识点:16函数值的大小比较
A
解:0<sina<cosa<1.logbsina>logbcosa>0.
∴ (sina)< (sina)< (cosa)即x<z<y.选A.
在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(A)( π,π) (B)( π,π) (C)(0,) (D)( π,π)
知识点:10.空间角与距离
A
解:设相邻两侧面所成的二面角为θ,易得θ大于正n边形的一个内角π,当棱锥的高趋于0时,θ趋于π,故选A.
在平面直角坐标系中,方程+=1 (a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (B)正方形
(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形
知识点:5.曲线与方程
D
解:x+y≥0,x-y≥0时,(一、四象限角平分线之间):(a+b)x+(b-a)y=2ab;
x+y≥0,x-y<0时,(一、二象限角平分线之间):(b-a)x+(a+b)y=2ab;
x+y<0,x-y≥0时,(三、四象限角平分线之间):(a-b)x-(a+b)y=2ab;
x+y<0,x-y<0时,(二、三象限角平分线之间):-(a+b)x+(a-b)y=2ab.
四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形).选D.
已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是 .
知识点:2.直线的交点坐标与距离公式
-3<m<-.
解:即x+my+m=0与y=(x+1)+1的交点的横坐标>2.
∴ x+m(x+)+m=0,(3+m)x=-7m.x=->2.Þ-3<m<-.
已知x,y∈[-,],a∈R且则cos(x+2y) = .
知识点:5.三角函数的求值、化简与证明
1
解:2a=x3+sinx=(-2y)3-sin(-2y),
令f(t)=t3+sint,t∈[-,],f ¢(t)=3t2+cost>0,即f(t)在[-,]上单调增.∴ x=-2y.
∴ cos(x+2y)=1.
已知点集A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2≤()2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>()2},则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 .
知识点:3.集合的基本运算
7
解:如图可知,共有7个点,即(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2)共7点.
设0<θ<π,,则sin(1+cosθ)的最大值是 .
知识点:5.三角函数的求值、化简与证明
解:令y= sin(1+cosθ) >0,
则y2=4 sin2cos4=2·2sin2cos2cos2≤2()3.
∴ y≤.当tan=时等号成立.
已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α,则sinα= .
.
知识点:10.空间角与距离
解:12条棱只有三个方向,故只要取如图中AA¢与平面AB¢D¢所成角即可.设AA¢=1,则A¢C=,A¢C⊥平面AB¢D¢,A¢C被平面AB¢D¢、BDC¢三等分.于是sinα=
已知95个数a1,a2,a3,…,a95, 每个都只能取+1或-1两个值之一,那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 .
.
知识点:6.数列的求和
13
解:设有m个+1,(95-m)个-1.则a1+a2+…+a95=m-(95-m)=2m-95
∴ 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2-(a12+a22+…+a952)=(2m-95)2-95>0.
取2m-95=±11.得a1a2+a1a3+…+a94a95=13.为所求最小正值.
x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1,z2,m均是复数,且z-4z2=16+20i,设这个方程的两个根α、β,满足|α-β|=2,求|m|的最大值和最小值.
知识点:6.二次函数
7+,7-
解:设m=a+bi(a,b∈R).则△=z12-4z2-4m=16+20i-4a-4bi=4[(4-a)+(5-b)i].设△的平方根为u+vi.(u,v∈R)
即(u+vi)2=4[(4-a)+(5-b)i].
|α-β|=2,Û|α-β|2=28,Û|(4-a)+(5-b)i|=7,Û(a-4)2+(b-5)2=72,
即表示复数m的点在圆(a-4)2+(b-5)2=72上,该点与原点距离的最大值为7+,最小值为7-.
将与105互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第1000项。
知识点:7.数列的通项
解:由105=3×5×7;故不超过105而与105互质的正整数有105×(1-)(1-)(1-)=48个。1000=48×20+48-8, 105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86.
∴ 所求数为2186
如图,设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E.
证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+)R.
知识点:1.几何证明选讲
证明:∵∠B=60°,∴∠AOC=∠AIC=120°.
∴A,O,I,C四点共圆.圆心为弧AC的中点F,半径为R.
∴O为⊙F的弧AC中点,设OF延长线交⊙F于H,AI延长线交弧BC于D.
由∠EAD=90°(内外角平分线)知DE为⊙O的直径.∠OAD=∠ODA.
但∠OAI=∠OHI,故∠OHI=∠ADE,于是RtΔDAE≌RtΔHIO
∴AE=IO.
由ΔACH为正三角形,易证IC+IA=IH.
由OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R.
设∠OHI=α,则0<α<30°.
∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2Rsin(α+45°)
又α+45°<75°,故IO+IA+IC<2 R(+)/4=R(1+)
给定平面上的点集P={P1,P2,…,P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组,使得每组至少有3个点,且每点恰好属于一组,然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G).
(1)求m(G)的最小值m0.
(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案,若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.
知识点:1.两个计数原理
解:设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni(1≤i≤83),83Σni=1994.且3≤n1≤n2≤…≤n83.
则m(G)= 83ΣC3ni.即求此式的最小值.
设nk+1>nk+1.即nk+1-1≥nk+1.则C3ni+1+ C3ni+1-1-( C3ni+ C3ni+1)= C2ni-C2ni+1<0.这就是说,当nk+1与nk的差大于1时,可用nk+1-1及nk+1代替nk+1及nk,而其余的数不变.此时,m(G)的值变小.
于是可知,只有当各ni的值相差不超过1时,m(G)才能取得最小值.
1994=83×24+2.故当81组中有24个点,2组中有25个点时,m(G)达到最小值.
m0=81C+2C=81×2024+2×2300=168544.
⑵ 取5个点为一小组,按图1染成a、b二色.这样的五个小组,如图2,每个小圆表示一个五点小组.同组间染色如图1,不同组的点间的连线按图2染成c、d两色.这25个点为一组,共得83组.染色法相同.其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线.即得一种满足要求的染色.