知识点：6.数列的求和

A

解：x₁=a，x₂=b，x₃=b－a，x₄=－a，x₅=－b，x₆=a－b，x₇=a，x₈=b，…．易知此数列循环，x_n+6=x_n，于是x₁₀₀=x₄=－a，

又x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=0，故S₁₀₀=2b－a．选A．

知识点：3.单调性与最大（小）值

D

解：作EG∥AC交BC于G，连GF，则==，故GF∥BD．故∠GEF=α_λ，∠GFE=β_λ，但AC⊥BD，故∠EGF=90°．故f(λ)为常数．选D．

知识点：2.等差数列及其性质

C

解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+n(n－1)d=97²，n[2a+(n－1)d]=2×97²，即n为2×97²的大于3的约数．

∴ ⑴ n=97²，2a+(97²－1)d=2，d=0，a=1；d≥1时a<0．有一解；

⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解；

⑶n=2×97，n=2×97²，无解．n=1，2时n<3.．选C

知识点：1.椭圆

D

解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比：

知识点：16函数值的大小比较

B

解：f(x)的对称轴为x=，

易得， 0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．

知识点：4.空间点、直线、平面之间的位置关系

D

解：在a、b、c上取三条线段AB、CC¢、A¢D¢，作一个平行六面体ABCD—A¢B¢C¢D¢，在c上取线段A¢D¢上一点P，过a、P作 一个平面，与DD¢交于Q、与CC¢交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．

知识点：4.基本不等式

2

解：原方程组即

取 f(t)=t³+1997t+1，f ¢(t)=3t²+1987>0．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2．

知识点：4.直线与圆锥曲线的位置关系

4

解：右支内最短的焦点弦==4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时

设AB的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ==≥4，当θ=90°时，λ=4．

与左支相交时，θ=±arccos时，λ===4．故λ=4．

知识点：2.复数的几何意义

kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)

解：=1Û4r⁴+(4cos2θ－1)r²+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x²+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=(4cos2θ－1)²－16≥0，由x₁x₂=>0，故必须x₁+x₂=－>0．

∴cos2θ≤－．∴ (2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos．

∴ kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)

知识点：10.空间角与距离

解：SA=SB=SC=2，ÞS在面ABC上的射影为AB中点H，∴ SH⊥平面ABC．

∴ SH上任意一点到A、B、C的距离相等．

∵ SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴ OH=，即为O与平面ABC的距离．

知识点：1.两个计数原理

26

解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)．

青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：

□1□1□1□1□1

规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．

前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有2³－2=6种，后两个□中填号的方法有2²种．

∴ 共有2+6×4=26种方法．

知识点：16函数值的大小比较

log2

解：a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y)．

∴ a+c=log(++yz+x)≥2log2．于是a、c中必有一个≥log2．即M≥log2，于是M的最小值≥log2．

但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M的最小值≤log2．

∴ 所求值=log2．

知识点：2.直接证明与间接证明

解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．

∴ cosx siny cosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos²x+cosxsin(y－z)≥cos²=．即最小值．

(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosx siny cosz=．

∵ cosx siny cosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos²z－coszsin(x－y)．

由于sin(x－y)≥0，cosz>0，故cosx siny cosz≤cos²z=cos²=(1+cos)=．

当x= y=，z=时取得最大值．

∴ 最大值，最小值．

知识点：2.双曲线

解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P(x₁，)，Q(x₂，)，R(x₃，)．不妨设0<x₁<x₂<x₃，则>>>0．

k_PQ==－；k_QR=－；

tan∠PQR=<0，从而∠PQR为钝角．即△PQR不可能是正三角形．

⑵ P(－1，－1)，设Q(x₂，)，点P在直线y=x上．以P为圆心，|PQ|为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PQ|=|PR|，由圆与双曲线都是y=x对称，知Q与R关于y=x对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是R(，x₂)．

∴ PQ与y=x的夹角=30°，PQ所在直线的倾斜角=75°．tan75°==2+．

PQ所在直线方程为y+1=(2+)(x+1)，代入xy=1，解得Q(2－，2+)，于是R(2+，2－)．

知识点：2.复数的几何意义

证明：设====q，则由下式得a₁(1+q+q²+q³+q⁴)=(1+q+q²+q³+q⁴)．

∴ (a₁²q⁴－4) (1+q+q²+q³+q⁴)=0，故a₁q²=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．

⑴ 若a₁q²=±2，则得±2(++1+q+q²)=S．ÞS=±2[(q+)²+(q+)－1]=±2[(q++)²－]．

∴ 由已知，有(q++)²－∈R，且|(q++)²－|≤1．

令q++=h(cosθ+isinθ)，(h>0)．则h²(cos2θ+isin2θ)－∈R．Þsin2θ=0．

－1≤h²(cos2θ+isin2θ)－≤1．Þ≤h²(cos2θ+isin2θ)≤，Þcos2θ>0．Þθ=kπ(k∈Z)

∴ q+∈R．再令q=r(cosα+isinα)，(r>0)．则q+=(r+)cosα+i(r－)sinα∈R．Þsinα=0或r=1．

若sinα=0，则q=±r为实数．此时q+≥2或q+≤－2．此时q++≥，或q++≤－．

此时，由|(q++)²－|≤1，知q=－1．此时，|a_i|=2．

若r=1，仍有|a_i|=2，故此五点在同一圆周上．

⑵ 若1+q+q²+q³+q⁴=0．则q⁵－1=0，∴ |q|=1．此时|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，即此五点在同一圆上．

综上可知，表示复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．