对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( )
(A) (B)
(C) (D)
知识点：3.抛物线
B
解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴ |AnBn|=－，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，选B．
已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0
(C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0
知识点：3.圆的方程
D
解：(x-)=0表示y轴右边的半圆，(y+)=0表示x轴下方的半圆，故选D．
设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(4ΣSi)/S，则λ一定满足(
)
(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5
知识点：3.空间几何体的表面积与体积
A
解： 4ΣSi≤4S，故4ΣSi≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，4ΣSi接近2S，故选A．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC( )
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形
(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）
B
解：x2=4x－4．根为x=2．∴ C=2A，ÞB=180°－3A，sinB=2sinA．Þsin3A=2sinA，
Þ3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B．
设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
(A)8 (B)4 (C)6 (D)12
知识点：2.复数的几何意义
A
解：=cos±isin．∴ |z2|=8，z1、z2的夹角=60°．S=·4·8·=8．选A．
设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，则f(x)是
(A)偶函数，又是周期函数
(B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数
(D)奇函数，但不是周期函数
知识点：5.奇偶性与周期性
C
解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)．
∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴ 是奇函数．选C．
设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则+的值是______．
知识点：2.等差数列及其性质
解：16y2=15xz，y=，Þ16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得=，Þ+=
在区间[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 ．
知识点：13.函数与方程
7
解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)Þx=kπ，x=kπ (k∈Z)，共有7解．
从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是 ．
知识点：4.空间点、直线、平面之间的位置关系
4
解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k的最大值=4．
设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是______．
知识点：3.复数代数形式的四则运算
π
解：cos∠OZ1Z3==－．即∠OZ1Z3==120°，
∴ arg()=或．
∴ arg()3=π．
设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是____.
知识点：6.数列的求和
解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，
相减，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+2¹1，得an+4=an．
又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．
∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200．
函数f(x)= －的最大值是_____．
知识点：3.单调性与最大（小）值
解：f(x)= －，表示点(x，x2)与点A(3，2)的距离及B(0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB|=．即所求最大值为．
求证：16<4Σ<17．
知识点：2.直接证明与间接证明
证明：=<=2(－)，
同时>=2(－)．
于是得280Σ(－)<80Σ<1+280Σ(－)
即 16<80Σ<1+2(－1)<1+2(9－1)=17．
设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．
知识点：10.空间角与距离
解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l¢，l¢∩m=K．
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，则Q、R∈l¢，且AP=BQ=CR=l与m的距离d．
连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．
PD=，QE=，RF=．
当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF，
Þ=+．解之得d=
当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD－RF，Þ=－．无实解．
∴ l与m距离为．
设n是自然数，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+．
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)
2.用数学归纳法证明：
fn(x)=yn－C\a(1,n－1－1
知识点：8.数学归纳法
证明： ⑴ 由yfn(x)-fn－1(x)= ==fn+1(x)．故证．
⑵ f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x－2=(x+)2－1=y2－1．故命题对n=1，2 成立．
设对于n≤m(m≥2，m为正整数)，命题成立，现证命题对于n=m+1成立．
1． 若m为偶数，则m+1为奇数．由归纳假设知，对于n=m及n=m－1，有
fm(x)= ym－Cym－2+C ym－4+…+(－1)iCym－2i+…+(－1)C\f(m,2m－\f(m,2y ①
fm－1(x)= ym－1－Cym－3+…+(－1)i－1Cym+1－2i+…+(－1)·C\f(m－2,2\f(m,2y ②
∴ yfm(x)－fm－1(x)=ym+1－…+(－1)i(C+C)ym+1－2i+…+(－1)(C\f(m,2m－\f(m,2+C\f(m,2m－\f(m,2)y
= ym+1－Cym－1+…+(－1)iCym+1－2i+…+(－1)·C\f(m,2\f(m,2y
即命题对n=m+1成立．
2．若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m－1，有
fm(x)= ym－1－Cym－2+…+(－1)i·Cym－2i+…+(－1)·C\f(m－1,2\f(m－1,2 y ③
fm－1(x)= ym－1－Cym－3+…+(－1)i－1Cym+1－2i+…+(－1)C\f(m－1,2\f(m－1,2 ④
用y乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为
－(－1)C\f(m－1,2\f(m－1,2=－(－1)C\f(m+1,2\f(m+1,2=(－1)．
于是得到yfm(x)－fm－1(x)=ym+1－Cm1ym－1+…+(－1)，即仍有对于n=m+1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n，命题成立．