一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是
（A）
（B）
（C）8 （D）24
知识点：3.空间几何体的表面积与体积
C
函数
的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象
（A）向右平移
个长度单位 （B）向右平移
个长度单位
（C）向左平移
个长度单位 （D）向左平移
个长度单位
知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B
A
我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为
。类比这个结论，在空间中，果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是
。
知识点：1.合情推理与演绎推理
已知数列
满足：
，
。
（I）求证：数列
是等比数列（要求指出首项与公比）；
（II）求数列的前n项和
。
知识点：4.等比数列及其性质
解：（I）由
即
……………………………4分
又由
得
，
所以数列
是以4为首项，以2为公比的等比数列。………………6分
（II）由（I）知
所以
所以
……………………10分
。……………………………………12分
已知函数
（I）求函数的最小值和最小正周期；
（II）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，若向量
共线，求a,b的值。
知识点：6.三角函数的图像与性质
解：（I）
……………………………………………………4分
的最小值为-2，最小正周期为
。……………………………………5分
（II）
， 即
与
共线，
由正弦定理
，得b=2
。 ①……………………………………9分
，由余弦定理，得
。 ②
解①②组成的方程组，得
…………………………………………12分
已知函数
为奇函数。
（I）证明：函数在区间（1，
）上是减函数；
（II）解关于x的不等式
。
知识点：3.单调性与最大（小）值
解：（I）
函数
为定义在R上的奇函数，
…………………………………………2分
………………………………4分
函数
在区间（1，
）上是减函数。 ………………………………6分
（II）由
是奇函数，
…………………………8分
又
，且在（1，）上为减函数，
解得
不等式
的解集是
…………12分
如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，
，种草的面积为
，种花的面积为
，比值
称为“规划和谐度”。
（I）试用
表示，；
（II）若
为定值，BC
>AB。当
为何值时，“规划和谐度”有最小值？最小值是多少？
知识点：8.三角函数模型的简单应用
解：（I）
（II）由（I）
………………………………8分
已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足
。数列
满足
，
为数列的前n项和。
（I）求；
d和；
（II）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。
知识点：6.数列的求和
解：（I）在
中，令
得
解得
……………………………………3分
（II）（1）当为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立。
，等号在n=2时取得。
此时
需满足<25. ……………………………………8分
（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大，
取得最小值－6.
此时需满足<－21. …………………………………………………10分
综合（1）（2）可得<－21
的取值范围是
. ……………………………………12分
已知定义在R上的二次函数
满足
，且
的最小值为0，函数
，又函数
。
（I）求的单调区间；
（II）当≤
时，若
，求
的最小值；
（III）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（
），当
时，探求函数图象上是否存在点B（
）（
），使A、B连线平行于x轴，并说明理由。
（参考数据：e=2.71828…）
知识点：6.二次函数
解：（I）
可得
又
在x=0时取得最小值0，
令
当x变化时，
，的变化情况如下表：
|
|
（0， |
|
（ |
|
|
＋ |
0 |
－ |
|
|
增函数 |
极大值 |
减函数 |
所以，的单调递增区间是（0，
），的单调递减区间是（，＋
）。
…………………………………………5分
（II）
≤
时，≥1，
时，
的最小值为
与
中的较小者. ……………………7分
又
≤
时，
的最小值
；
当
时，
的最小值
……………………9分
（III）证明：若二次函数
图象过（4，2）点，则
，所以
令
由（I）知在（0，2）内单调递增，
故
…………………………………………11分
取
则
所以存在
即存在
所以函数图象上存在点B（
）（
），使A、B连线平行于x轴.
………………………………………………14分
（说明：
的取法不唯一，只要满足>2，且
即可）
（B）
（C）
（D）
，则
处的切线斜率为
（B）
（D）
则下列等式中成立的是
（B）
（D）
是两个不同平面，下列命题中的假命题的是
（B）
（D）
表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为
（B）
（C）
（D）
等于
。
，则实数
，则
