(5分)(2015•高安市校级一模)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|≥0},则A∩B=( )
A.{-1,0,1,2} B. {﹣1,1,3} C.{0,1,2} D. {﹣1,1}
知识点:3.集合的基本运算
A
【考点】: 交集及其运算;其他不等式的解法.
【专题】: 集合.
【分析】: 求出B中不等式的解集确定出B,求出A与B的交集即可.
解:由B中不等式变形得:(x+1)(x﹣3)≤0,且x﹣3≠0,
解得:﹣1≤x<3,即B=恒成立,求a的取值范围.
(10分)(2015•贵州模拟)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,△ADC的外接圆交BC于点E,AB=2AC
(Ⅰ)求证:BE=2AD;
(Ⅱ)当AC=3,EC=6时,求AD的长.
知识点:1.几何证明选讲
【考点】: 与圆有关的比例线段.
【专题】: 选作题;立体几何.
【分析】: (Ⅰ)连接DE,证明△DBE∽△CBA,利用AB=2AC,结合角平分线性质,即可证明BE=2AD;
(Ⅱ)根据割线定理得BD•BA=BE•BC,从而可求AD的长.
(Ⅰ)证明:连接DE,
∵ACED是圆内接四边形,
∴∠BDE=∠BCA,
又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有,
又∵AB=2AC,∴BE=2DE,
∵CD是∠ACB的平分线,∴AD=DE,
∴BE=2AD;…(5分)
(Ⅱ)解:由条件知AB=2AC=6,设AD=t,
则BE=2t,BC=2t+6,
根据割线定理得BD•BA=BE•BC,
即(6﹣t)×6=2t•(2t+6),即2t2+9t﹣18=0,
解得或﹣6(舍去),则.…(10分)
【点评】: 本题考查三角形相似,考查角平分线性质、割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
(2015•高安市校级一模)在直角坐标系xOy中,直线l过点P(﹣2,﹣4),倾斜角为.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ(a>0).
(1)写出直线l的参数方程及曲线C的普通方程;
(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,且|PM|•|PN|=40,求实数a的值.
知识点:2.坐标系与参数方程
【考点】: 简单曲线的极坐标方程.
【专题】: 坐标系和参数方程.
【分析】: (1)由已知可得直线l的参数方程为:(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ(a>0)可得ρ2sin2θ=2aρcosθ.即可得出普通方程.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得到=0,则有t1t2=8(4+a),利用参数的意义即可得出.
解:(1)由直线l过点P(﹣2,﹣4),倾斜角为.可得直线l的参数方程为:(t为参数),
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ(a>0)可得ρ2sin2θ=2aρcosθ.
可得:曲线C的普通方程为:y2=2ax.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2ax,
得到=0,则有t1t2=8(4+a),
∵|PM||PN|=40,
∴t1t2=8(4+a)=40,解得a=1.
【点评】: 本题考查了抛物线的极坐标方程化为普通方程、直线的参数方程及其应用,考查了计算能力,属于基础题.
(2015•高安市校级一模)已知关于x的不等式:|x﹣|≤(m∈Z),2是其解集中唯一的整数解.
(1)求m的值;
(2)已知正实数a,b,c满足a2+4b2+16c2=m,求a+2b+4c的最大值.
知识点:3.不等式选讲
【考点】: 二维形式的柯西不等式.
【专题】: 综合题;不等式的解法及应用.
【分析】: (1)由|x﹣|≤可得,利用m∈Z,2是其解集中唯一的整数解,即可求m的值;
(2)由条件利用柯西不等式得:(a2+4b2+16c2)(1+1+1)≥(a+2b+4c)2,即4≥(a+2b+4c)2.再根据a、b、c为正实数,求得a+2b+4c的最大值.
解:(1)由|x﹣|≤可得,
∵m∈Z,2是其解集中唯一的整数解,
∴m=4;
(2)∵a2+4b2+16c2=4,由柯西不等式得:(a2+4b2+16c2)(1+1+1)≥(a+2b+4c)2,
故有4≥(a+2b+4c)2.
再根据a、b、c为正实数,∴a+2b+4c≤2,即a+2b+4c的最大值为2.
【点评】: 本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.