知识点：3.集合的基本运算

C

考点： 交集及其运算．

专题： 集合．

分析： 把A中元素代入B中计算确定出B，进而求出A与B的交集，找出交集的子集个数即可．

解答： 解：把x=1，2，3，4分别代入得：B={1，，，2}，

∵A={1，2，3，4}，

∴A∩B={1，2}，

则A∩B的子集个数是22=4．

故选：C．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

知识点：5.充分条件与必要条件

D

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：若α=，满足在第一象限，但α＜不成立，

若α=0，满足α＜，但α在第一象限不成立，

故p是q的既不充分也不必要条件，

故选：D

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据角与象限之间的关系是解决本题的关键．

知识点：3.复数代数形式的四则运算

D

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的运算法则即可得出．

解答： 解：==﹣1，

故选：D．

点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

C

考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．

专题： 三角函数的求值．

分析： 利用两角和差的正弦公式，进行化简即可．

解答： 解：sin15°﹣cos15°=sin（15°﹣45°）==﹣，

故选：C．

点评： 本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．

知识点：3.几何概型

A

考点： 几何概型．

专题： 概率与统计．

分析： 画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．

解答： 解：如图正方形的边长为4：

图中白色区域是以AB为直径的半圆

当P落在半圆内时，∠APB＞90°；

当P落在半圆上时，∠APB=90°；

当P落在半圆外时，∠APB＜90°；

故使∠AMB＞90°的概率P===．

故选：A．

点评： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

A

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，求出它的表面积即可．

解答： 解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，

且长方体的长为4，宽为3，高为1，

圆柱的底面圆半径为1，高为1；

所以该组合体的表面积为

S长方体﹣2S底面圆+S圆柱侧面=2（4×3+4×1+3×1）﹣2×π×12+2×π×1×1=38．

故选：A．

点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题，是基础题目．

知识点：5.奇偶性与周期性

D

考点： 函数奇偶性的性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 先由函数f（x+2）是R上的偶函数，求出对称轴，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x＞2时，求解函数的解析式．

解答： 解：∵函数f（x+2）是R上的偶函数，函数关于x=2对称，可得f（x）=f（4﹣x），

∵x＞2时，f（x）=x2+1，

由x＜2时，﹣x＞2，4﹣x＞6，可得∴f（4﹣x）=（4﹣x）2+1=x2﹣8x+17，

∵f（x）=f（4﹣x）=x2﹣8x+17．

故选：D．

点评： 本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个中档题．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

D

考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

专题： 平面向量及应用．

分析： 由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．

解答： 解：设向量，的夹角为θ，

∵||=||=|+|=1，

∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，

解得cosθ=，∴θ=，

∴|﹣t|2=+t2

=t2+t+1=（t+）2+，

当t=时，上式取到最小值，

∴|﹣t|的最小值为

故选：D

点评： 本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．

知识点：1.算法与程序框图

B

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解答：解：当k=9，S=1时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=8；

当k=8，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=7；

当k=7，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=6；

当k=6，S=1时，满足输出条件，故S值应不满足条件，

故判断框内可填入的条件是s，

故选：B

点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

C

考点： 简单线性规划．

专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．

分析： 由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．

解答： 解：由题意作出其平面区域，

将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，

则由平面区域可知，

使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；

故选C．

点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．

知识点：14.函数的应用问题

B

考点： 函数的最值及其几何意义．

专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用．

分析： 设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；从而可得司机甲两次加油的均价为；司机乙两次加油的均价为；作差比较大小即可．

解答： 解：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；

两次加油的单价分别为a，b；

则司机甲两次加油的均价为=；

司机乙两次加油的均价为=；

且﹣=≥0，

又∵a≠b，

∴﹣＞0，

即＞，

故这两次加油的均价，司机乙的较低，

故乙更合适，

故选B．

点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．

知识点：3.等差数列的前n项和

D

考点： 数列的函数特性；等差关系的确定．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an=1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=，由于数列{}也为等差数列，可得=+，解出d，可得=，利用数列的单调性即可得出．

解答： 解：∵等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an=1+（n﹣1）d，

其前n项和为Sn=，

∴=，

=1，=，=，

∵数列{}也为等差数列，

∴=+，

∴=1+，

解得d=2．

∴Sn+10=（n+10）2，

=（2n﹣1）2，

∴==，

由于为单调递减数列，

∴≤=112=121，

故选：D．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

知识点：2.双曲线

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率．

解答： 解：由双曲线2x2﹣y2=1可知：a=，b=1，∴c==，

双曲线的离心率为：．

故答案为：．

点评： 本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力．

知识点：4.等比数列及其性质

　﹣　

考点： 等比数列的通项公式．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由题意和等差数列的求和公式可得（1﹣q3）=﹣8，q3（1﹣q3）=4，整体求解可得．

解答： 解：由题意可得a1+a2+a3=（1﹣q3）=﹣8，①

a4+a5+a6=[（1﹣q6）﹣（1﹣q3）]=q3（1﹣q3）=4，②

由①②可得q3=，代入①可得（1+）=﹣8，

∴=﹣，

故答案为：﹣

点评： 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及整体代入的思想，属基础题．

知识点：7.定积分的简单应用

　1+或1﹣

考点： 定积分．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限和积分上限，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值

解答： 解：函数的导数为f′（x）=2x+1，则f′（0）=1，

将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k﹣1，

若k＞1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]|

=[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=（k﹣1）3=，

即（k﹣1）3=，即k﹣1==，即k=+1，

若k＜1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]|

=﹣[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=﹣（k﹣1）3=，

即（k﹣1）3=﹣，即k﹣1=﹣=﹣，即k=1﹣，

综上k=1+或k=1﹣，

故答案为：1+或1﹣

点评： 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题

知识点：2.集合间的基本关系

﹣1

考点： 集合中元素个数的最值．

专题： 计算题；集合；二项式定理．

分析： 方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0；从而转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，再一一列举求和即可；

方法二：由二项式的推导思想可知，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1．

解答： 解：方法一：若非空子集中含有元素0，

则其所有元素的积为0，

所以可转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，

①当子集中有1个元素时，

4+3+1﹣1=7，

②当子集中有2个元素时，

4×3+4×（﹣1）+4×1+3×（﹣1）+3×1+（﹣1）×1=11，

③当子集中有3个元素时，

+++=﹣7，

④当子集中有4个元素时，

4×（﹣1）×3×1=﹣12；

故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1；

方法二：由题可得，

m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1

=﹣1．

故答案为：﹣1．

点评： 本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用，属于基础题．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

考点： 余弦定理；三角函数的最值．

专题： 解三角形．

分析： （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+）+，从而求得函数的最大值．

（2）根据f（A）=，求得A的值，再根据△ABC的面积为，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cos2x﹣1）

sinxcosx+cos2x=（sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，

故函数的最大值为+=．

（2）由题意可得f（A）==sin（2A+）+，∴sin（2A+）=．

再根据2A+∈（，），可得2A+=，A=．

根据△ABC的面积为bc•sinA=，∴bc=4，又∵b+c=5，∴b=4、c=1，或b=1、c=4．

利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=13∴a=．

点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．

知识点：9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

专题： 概率与统计．

分析： （1）确定事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有=“小明所取的3道题都是客观题”利用对立事件求解即可．

（2）根据题意X的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求解相应的概率，求出分布列，运用数学期望公式求解即可．

解答： 解：（1）设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”

则有=“小明所取的3道题都是客观题”

因为P（）==

P（A）=1﹣P（）=．

（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3．

P（X=0）=（）2=．

P（X=1）=•（）1•（）1+（）2=．

P（X=2）=（）2+•（）1•（）1=，

P（X=3）=（）2=

∴X的分布列为

∴E（X）=0×=2．

点评： 本题综合考查了离散型的概率分布问题，数学期望，需要直线阅读题意，准确求解概率，计算能力要求较高，属于中档题．

知识点：10.空间角与距离

考点： 二面角的平面角及求法．

专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM；

（2）建立空间坐标系结合三棱锥M﹣ADE的体积为，建立方程关系即可；

（3）求出平面的法向量，结合坐标系即可求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．

解答： （1）证明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，∴AM=BM=，

∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．

再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，

结合AD⊂平面ADM，可得AD⊥BM．

（2）分别取AM，AB的中点O和N，则ON∥BM，

在（1）中证明BM⊥平面ADM，

∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，

∵AD=DM，∴DO⊥AM，

建立空间直角坐标系如图：

则D（0，0，），A（，0，0），B（﹣，，0），

∴=（﹣，，﹣），

∵E是线段DB上的一个动点，

∴==（﹣λ，，﹣λ），

则E（﹣λ，，﹣λ），

∴=（﹣λ﹣，，﹣λ），

显然=（0，1，0）是平面ADM的一个法向量．

点E到平面ADM的距离d==，

则=，

解得λ=，则E为BD的中点．

（3）D（0，0，），M（﹣，0，0），C（﹣，，0），

则=（﹣，0，﹣），=（﹣，，0），

设=（x，y，z）是平面CDM的法向量，

则，

令x=1，则y=1，z=﹣1，即=（1，1，﹣1），

易知=（0，1，0）是平面ADM的法向量，

则cos＜＞==．

点评： 本题主要考查空间直线的垂直的判断，空间三棱锥的体积的计算，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．

知识点：1.椭圆

考点： 直线与圆锥曲线的关系．

专题： 直线与圆．

分析： （1）根据题意可以求出b，根据离心率求出a，即可就出椭圆方程；

（2）先假设线段OF上存在M满足条件，先考虑两种特殊情况：l⊥x轴、l与x轴重合，在考虑一般情况：l的斜率存在且不为0，设出l的方程与椭圆方程联立，利用坐标来表示向量的数量积，从而得出答案．

解答： （本小题满分12分）

解：（1）由椭圆短轴长为2得b=1，又e==，∴a=，

所求椭圆方程为…（3分）

（2）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0≤m≤1），使得（+）•（﹣）=0成立，即或||=||

①当l⊥x轴时，显然线段OF上的点都满足条件，此时0≤m≤1…（5分）

②当l与x轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m=0…（6分）

③法1：当l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．

由 可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，根据根与系数的关系得，…（8分）

设，其中x2﹣x1≠0

∵（+）•（﹣）=0∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇒（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0

⇒2k2﹣（2+4k2）m=0⇒m=（k≠0）．

∴0＜m＜．

∴综上所述：①当l⊥x轴时，存在0≤m≤1适合题意

②当l与x轴重合时，存在m=0适合题意

③当l的斜率存在且不为零时存在0＜m＜适合题意…（12分）

点评： 本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系，本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键，同时考查了学生分情况讨论的思想．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；

（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可．

解答： 解：（1）由函数f（x）=ex﹣ax+a，可知f′（x）=ex﹣a，

①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；

②当a＞0时，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，

故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；

（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；

当a=0时，此时ab=0；

当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤fmin（x），

∵fmin（x）=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，

设g（a）=2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=4a﹣（2alna+a）=3a﹣2alna，

由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，

当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；

当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．

所以，即当，时，ab的最大值为．

点评： 本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

知识点：1.几何证明选讲

考点： 圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．

专题： 计算题；证明题．

分析： （I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；

（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．

解答： 解：（I）证明：连接AB，

∵AC是⊙O1的切线，

∴∠BAC=∠D，

又∵∠BAC=∠E，

∴∠D=∠E，

∴AD∥EC．

（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2=PB•PD，

∴62=PB•（PB+9）

∴PB=3，

在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，

∴PE=4，

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2=DB•DE=9×16，

∴AD=12

点评： 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．

知识点：2.坐标系与参数方程

考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，利用即可得出直角坐标方程．

（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，，利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4，即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x即为直角坐标方程．

（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，

由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴，

∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．

∴t1＜0，t2＜0．

∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4，

由，可得∈，∴≤1，

∴|PM|+|PN|的取值范围是．

点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

知识点：3.不等式选讲

考点： 绝对值不等式的解法；不等式的证明．

专题： 综合题；不等式．

分析： 对第（1）问，将a=3代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；

对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．

解答： （1）解：当a=4时，不等式f（x）＜1+|2x+1|即为|x﹣4|＜|2x+1|

|①当x≥4时，原不等式化为x﹣4＜2x+1，得x＞﹣5，故x≥4；

②当﹣≤x＜4时，原不等式化为4﹣x＜2x+1，得x＞1，故1＜x＜4；

③当x＜﹣时，原不等式化为4﹣x＜﹣2x﹣1，得x＜﹣5，故x＜﹣5．

综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）；

（2）证明：由f（x）≤2得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，

∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，

∴得a=1，∴+═a=1．

又m＞0，n＞0，

∴m+2n=（m+2n）（+=）=3+（+）≥3+2，

当且仅当m=1+，n=1+时，取等号，故m+2n≥3+2，得证

点评： 1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．

2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．