河南师大附中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

设集合A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},则A∩B=(     )

A.(﹣4,3)              B.(﹣4,2]              C.(﹣∞,2]              D.(﹣∞,3)

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知识点:3.集合的基本运算

B

【考点】区间与无穷的概念;交集及其运算.

【专题】计算题.

【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B,由此利用A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},能求出A∩B.

【解答】解:∵集合A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},

∴A∩B={x|﹣4<x≤2},

故选B.

【点评】本题考查交集及其去运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

     

函数y=f(x)的定义域是,则函数y=+lgx的定义域是(     )

A.              B.              D.(0,1)

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知识点:2.定义域与值域

D

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.

【分析】由f(x)的定义域求出f(2x)的定义域,然后结合分母中根式内部的代数式大于0,对数式的真数大于0联立不等式组得答案.

【解答】解:∵y=f(x)的定义域是,

∴由0≤2x≤2,得0≤x≤1.

要使函数y=+lgx有意义,

,即0<x<1.

∴函数y=+lgx的定义域是(0,1).

故选:D.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的解决方法,是基础题.

     

已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B为集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有(     )种.

A.6              B.7              C.8              D.27

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知识点:18.映射

B

【考点】映射.

【专题】计算题.

【分析】定义域相同时,函数不同其定义域必不同,故本题求函数值域C的不同情况的问题可以转化为求函数有多少种不同情况,可根据函数的定义来研究,由于函数是一对一或者多对一的对应,且在B中的元素可能没有原像,故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一,二对一,三对一三类进行研究.

【解答】解:由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究

若函数的是三对一的对应,则值域为{4}、{5}、{6}三种情况

若函数是二对一的对应,{4,5}、{5,6}、{4,6}三种情况

若函数是一对一的对应,则值域为{4,5,6}共一种情况

综上知,函数的值域C的不同情况有7种

故选B.

【点评】本题考点是映射,考查函数的概念,函数的定义,由于函数是一个一对一或者是多对一的对应,本题解决值域个数的问题时,采取了分类讨论的方法,本题考查函数的基本概念与数学的基本思想方法,是一道偏重于理解的好题.

     

函数y=f(x)满足对任意x1,x2∈(x1≠x2),>0,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是(     )

A.f(1)<f()<f()              B.f()<f(1)<f()             

C.f()<f()<f(1)              D.f()<f(1)<f(

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知识点:5.奇偶性与周期性

B

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.

【分析】由条件便可得到f(x)在上单调递增,而由f(x+2)为偶函数便有f(x+2)=f(﹣x+2),从而可得到:,这样根据f(x)在上单调递增便可比较的大小,这样便可得到的大小.

【解答】解:根据条件知,f(x)在上单调递增;

f(x+2)为偶函数;

∴f(x+2)=f(﹣x+2);

∵f(x)在上单调递增;

故选B.

【点评】考查偶函数的定义,增函数的定义,以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法,清楚偶函数的定义为自变量x的函数值等于﹣x的函数值,而f(x+2)的自变量为x.

     

已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(1)•g(2)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(     )

A.              B.              C.              D.

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知识点:8.指数函数及其性质

C

【考点】函数的图象.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由指数函数和对数函数的单调性知,f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调性相同,再由关系式f(1)•g(2)<0,即可选出答案.

【解答】解:由指数函数和对数函数的单调性知,函数f(x)=ax和 g(x)=logax(a>0,且a≠1)

在(0,+∞)上单调性相同,故可排除选项A、D.

而指数函数f(x)=ax的图象过定点(0,1),对数函数g(x)=logax的图象过定点(1,0),

再由关系式f(1)•g(2)<0,故可排除选项 B.

故选 C.

【点评】本题考查指数函数和对数函数的单调性,考查识图能力,属于基础题.

     

函数,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围为(     )

A.(﹣5,4]              B.(﹣5,3)              C.(﹣1,4)              D.(﹣1,3]

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知识点:13.函数与方程

D

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】先画出函数的图象,得到x2+x3的值,求出x1的取值范围,从而得到答案.

【解答】解:画出函数f(x)的图象,如图示:

不妨设则x1<x2<x3,则x2+x3=4,﹣5<x1≤﹣1,

∴﹣1<x1+x2+x3≤3,

故选:D.

【点评】本题考查了函数的零点问题,考查了函数的对称性,是一道中档题.

     

已知f(x)=是定义在(﹣∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是        

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知识点:3.单调性与最大(小)值

≤a<1或1<a≤2

【考点】指、对数不等式的解法.

【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

【分析】由题意可知,ax>x2在(﹣1,1)上恒成立,令g(x)=ax,m(x)=x2,结合图象,列出不等式组,解不等式组,求出a的取值范围.

【解答】解:若当x(﹣1,1)时,均有f(x)<

即ax>x2在(﹣1,1)上恒成立,

令g(x)=ax,m(x)=x2

由图象知:若0<a<1时,g(1)≥m(1),即a≥1﹣=,此时≤a<1;

当a>1时,g(﹣1)≥m(1),即a﹣1≥1﹣=,此时a≤2,此时1<a≤2.

综上≤a<1或1<a≤2.

【点评】本题考查不等式组的解法,将不等式关系转化为函数的图象关系是解决本题的关键.,体现了数形结合和转化的数学思想.

     

定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,且f(x+2)=f(x),g(x)=.则方程在区间上的所有实数根之和最接近下列哪个数(     )

A.10              B.8              C.7              D.6

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知识点:13.函数与方程

A

【考点】二分法求方程的近似解.

【专题】综合题;数形结合;综合法;函数的性质及应用.

【分析】由f(x+2)=f(x),得到函数是周期为2的周期函数,分别作出函数f(x),g(x)在上的图象,利用图象观察交点的个数和规律,然后进行求解.

【解答】解:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的周期函数,

∵g(x)=,∴g(x)关于直线x=2对称.

分别作出函数f(x),g(x)在上的图象,

由图象可知两个函数的交点个数为6个,设6个交点的横坐标从小到大为x1,x2,x3,x4,x5,x6

且这6个交点接近点(2,0)对称,

(x1+x6)=2,x1+x6=4,

所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3(x1+x6)=3×4=12,

其中x=3时,不成立,则f(x)=g(x)在区间上的所有实根之和为12﹣3=9,

由图象可知,x1+x6>4,x2+x5>4,x4>1,

∴x1+x2+x4+x5+x6>9.

故选A.

【点评】本题主要考查函数交点个数和取值的判断,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.本题综合性较强,难度较大.

     

已知函数f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1),且f(x﹣1)为偶函数,则实数a的值是        .

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知识点:5.奇偶性与周期性

6

【考点】函数奇偶性的性质.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由y=f(x﹣1)为偶函数,可知函数y=f(x)的图象关于直线x=﹣1对称,故函数f(x)定义域的两端点关于﹣1对称.

【解答】解:由y=f(x﹣1)是偶函数,可知y=f(x)的图象关于直线x=﹣1对称

故有

解得a=6,

故答案为:6

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义,函数图象的平移变换法则,难度不大,属于基础题.

     

设全集U={(x,y)|y=x+1,x,y∈R},M={(x,y)|=1},则∁UM=           .

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知识点:3.集合的基本运算

{(2,3)}

【考点】补集及其运算.

【专题】转化思想;定义法;集合.

【分析】化简集合M,求出它的补集即可.

【解答】解:全集U={(x,y)|y=x+1,x,yR},

M={(x,y)|=1}={(x,y)|y=x+1且x≠2},

UM={(2,3)}.

故答案为:{(2,3)}.

【点评】本题考查了补集的定义与运算问题,是基础题目.

     

函数f(x)=的定义域为,则a的值为      .

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知识点:2.定义域与值域

2

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】转化思想;函数的性质及应用.

【分析】根据二次根式的定义知(1﹣a2)x2+3(1﹣a)x+6≥0的解集是,

结合一元二次方程根与系数的关系,求出a的值.

【解答】解:由二次根式的定义,得(1﹣a2)x2+3(1﹣a)x+6≥0的解集是,

∴(1﹣a2)<0,

且﹣2和1是方程(1﹣a2)x2+3(1﹣a)x+6=0 的2个根;

∴﹣2+1=①,

﹣2×1=②;

解得a=2.

故答案为:2.

【点评】本题考查了求函数的定义域的问题,解题时应注意转化思想,把求函数的定义域转化为一元二次不等式的解集问题,是基础题.

     

设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在⊆D,使f(x)在上的值域为,则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则t的范围为     .

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知识点:2.定义域与值域

(0,

【考点】函数的值域.

【专题】计算题;转化思想;转化法;函数的性质及应用.

【分析】由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于0,求出t的取值范围.

【解答】解:∵函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,

且满足存在D,使f(x)在上的值域是,

∴f(x)在上是增函数;

∴方程+t=0有两个不等的实根,且两根都大于0;

解得:0<t<

∴满足条件t的范围是(0,).

故答案为:(0,).

【点评】本题考察了函数的值域问题,解题时构造函数,渗透转化思想,是中档题.

     

不使用计算器,计算下列各题:

(1)(log3)2+•log43;

(2)log3+lg25+lg4+7+(﹣9.8)0.

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知识点:9.对数与对数运算

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.

【分析】(1)(2)利用指数与对数的运算性质即可得出.

【解答】解:(1)原式=+

=+

=+

=1.

(2)原式=+lg(25×4)+2+1

=+2+3

=

【点评】本题考查了指数与对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

     

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.

(1)写出函数f(x),x∈R的解析式;

(2)若函数g(x)=f(x)﹣2ax+2,x∈,求函数g(x)的最小值h(a).

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知识点:5.奇偶性与周期性

【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】(1)利用函数的奇偶性,求出分段函数的解析式.

(2)利用分类讨论思想,进一步求出函数的最值

【解答】解:(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.

当x>0时,f(x)=x2﹣2x

所以:

(2)①当a+1≤1时,即a≤0,g(x)min=g(1)=1﹣2a

②当1<a+1<2时,即0<a<1

③当a+1≥2时,即a≥1g(x)min=g(2)=2﹣2a

综上:

故答案为:(1)

(2)

【点评】本题考查的知识要点:函数的奇偶性,利用奇偶性求函数的解析式,利用分类讨论思想求函数的最值

     

某种蔬菜基地种植西红柿由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线(如图(1)),种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线(如图(2)).

(1)写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).

(2)写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).

(3)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

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知识点:14.函数的应用问题

【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法.

【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.

【分析】(1)本题是一次函数的分段函数,运用一次函数的解析式,即可得到所求;

(2)运用二次函数的解析式,解方程可得,写出自变量的范围;

(3)基本等量关系是:纯收益=市场售价﹣种植成本.由于P是分段函数,所以h也是分段函数,求最大利润,就要在每一个分段函数内,根据自变量取值范围,函数性质来确定.

【解答】解:(1)由图﹣设f(t)=kt+300,(0≤t≤200),

代入,可得k=﹣1;

设f(t)=mt+b,200<t≤300,代入,(300,300),

可得100=200m+b,300m+b=300,解得m=2,b=﹣300.

可得市场售价与时间的函数关系为

P=f(t)=

(2)由图二可得可设g(t)=a(t﹣150)2+100,

代入点(0,200),解得a=

则种植成本与时间的函数关系为

Q=g(t)=(t﹣150)2+100,0≤t≤300;

(3)设t时刻的纯收益为h,则由题意得h=P﹣Q,即

h=

当0≤t≤200时,配方整理得h=﹣(t﹣50)2+100,

所以,当t=50时,h(t)取得区间上的最大值100

当200<t≤300时,配方整理得h=﹣(t﹣350)2+100,

所以,当t=300时,h取得区间上的最大值87.5,

综上,由100>87.5可知,h在区间上可以取得最大值100,

此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.

【点评】本题考查一次函数与分段函数,二次函数,自变量取值范围在本题中都得到了体现,要根据题目给的范围,找准等量关系,分段求最大值.

     

已知函数为偶函数.

(Ⅰ)求实数a的值;

(Ⅱ)记集合E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}},,判断λ与E的关系;

(Ⅲ)当x∈(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为,求m,n的值.

答案解析:
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知识点:5.奇偶性与周期性

【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.

【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用.

【分析】(Ⅰ)根据函数为偶函数f(﹣x)=f(x),构造关于a的方程组,可得a值;

(Ⅱ)由(Ⅰ)中函数f(x)的解析式,将x{﹣1,1,2}代入求出集合E,利用对数的运算性质求出λ,进而根据元素与集合的关系可得答案

(Ⅲ)求出函数f(x)的导函数,判断函数的单调性,进而根据函数f(x)的值域为,x,m>0,n>0构造关于m,n的方程组,进而得到m,n的值.

【解答】解:(Ⅰ)∵函数为偶函数.

∴f(﹣x)=f(x)

=

∴2(a+1)x=0,

∵x为非零实数,

∴a+1=0,即a=﹣1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

∴E={y|y=f(x),x{﹣1,1,2}}={0,}

====

∴λE

(Ⅲ)∵>0恒成立

上为增函数

又∵函数f(x)的值域为,

∴f()=1﹣m2=2﹣3m,且f()=1﹣n2=2﹣3n,

又∵,m>0,n>0

∴m>n>0

解得m=,n=

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性,其中利用奇偶性求出a值,进而得到函数的解析式,是解答的关键.

     

已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5)

(1)求m的值,并确定f(x)的解析式.

(2)若y=loga(a>0,且a≠1)在区间上为增函数,求实数a的取值范围.

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知识点:11.幂函数

【考点】幂函数的性质;函数单调性的性质.

【专题】分类讨论;函数的性质及应用.

【分析】(1)根据函数f(x)为偶函数,且f(3)<f(5),求出m的值即可;

(2)求出函数y的解析式,讨论a的值,求出函数y在区间上为增函数时a的取值范围.

【解答】解:(1)∵函数f(x)=(mZ)为偶函数,且f(3)<f(5),

∴﹣2m2+m+3>0,

即2m2﹣m﹣3<0,

解得﹣1<m<

当m=0时,﹣2m2+m+3=3,不满足题意;

当m=1时,﹣2m2+m+3=2,满足题意;

∴m=1时,f(x)=x2

(2)∵y=loga

=loga(x2﹣ax)

=loga,其中a>0,且a≠1;

∴当0<a<1时,0<,函数t=在(﹣∞,)是减函数,

对应函数y在(﹣∞,0)上是增函数,不满足题意;

当a>1时,,函数t=在(,+∞)上是增函数,

又x2﹣ax>0,得x>a,函数y在(a,+∞)上是增函数,

,解得a≥4;

∴函数y在区间上为增函数时,实数a的取值范围是时,f(x)<1.