设集合A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(﹣4,3) B.(﹣4,2] C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,3)
知识点:3.集合的基本运算
B
【考点】区间与无穷的概念;交集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B,由此利用A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},
∴A∩B={x|﹣4<x≤2},
故选B.
【点评】本题考查交集及其去运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
函数y=f(x)的定义域是,则函数y=+lgx的定义域是( )
A. B. D.(0,1)
知识点:2.定义域与值域
D
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由f(x)的定义域求出f(2x)的定义域,然后结合分母中根式内部的代数式大于0,对数式的真数大于0联立不等式组得答案.
【解答】解:∵y=f(x)的定义域是,
∴由0≤2x≤2,得0≤x≤1.
要使函数y=+lgx有意义,
则,即0<x<1.
∴函数y=+lgx的定义域是(0,1).
故选:D.
【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的解决方法,是基础题.
已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B为集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有( )种.
A.6 B.7 C.8 D.27
知识点:18.映射
B
【考点】映射.
【专题】计算题.
【分析】定义域相同时,函数不同其定义域必不同,故本题求函数值域C的不同情况的问题可以转化为求函数有多少种不同情况,可根据函数的定义来研究,由于函数是一对一或者多对一的对应,且在B中的元素可能没有原像,故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一,二对一,三对一三类进行研究.
【解答】解:由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究
若函数的是三对一的对应,则值域为{4}、{5}、{6}三种情况
若函数是二对一的对应,{4,5}、{5,6}、{4,6}三种情况
若函数是一对一的对应,则值域为{4,5,6}共一种情况
综上知,函数的值域C的不同情况有7种
故选B.
【点评】本题考点是映射,考查函数的概念,函数的定义,由于函数是一个一对一或者是多对一的对应,本题解决值域个数的问题时,采取了分类讨论的方法,本题考查函数的基本概念与数学的基本思想方法,是一道偏重于理解的好题.
函数y=f(x)满足对任意x1,x2∈(x1≠x2),>0,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )
A.f(1)<f()<f() B.f()<f(1)<f()
C.f()<f()<f(1) D.f()<f(1)<f()
知识点:5.奇偶性与周期性
B
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由条件便可得到f(x)在上单调递增,而由f(x+2)为偶函数便有f(x+2)=f(﹣x+2),从而可得到:,这样根据f(x)在上单调递增便可比较的大小,这样便可得到的大小.
【解答】解:根据条件知,f(x)在上单调递增;
f(x+2)为偶函数;
∴f(x+2)=f(﹣x+2);
∴;
;
∵f(x)在上单调递增;
∴;
∴.
故选B.
【点评】考查偶函数的定义,增函数的定义,以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法,清楚偶函数的定义为自变量x的函数值等于﹣x的函数值,而f(x+2)的自变量为x.
已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(1)•g(2)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
知识点:8.指数函数及其性质
C
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由指数函数和对数函数的单调性知,f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调性相同,再由关系式f(1)•g(2)<0,即可选出答案.
【解答】解:由指数函数和对数函数的单调性知,函数f(x)=ax和 g(x)=logax(a>0,且a≠1)
在(0,+∞)上单调性相同,故可排除选项A、D.
而指数函数f(x)=ax的图象过定点(0,1),对数函数g(x)=logax的图象过定点(1,0),
再由关系式f(1)•g(2)<0,故可排除选项 B.
故选 C.
【点评】本题考查指数函数和对数函数的单调性,考查识图能力,属于基础题.
函数,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围为( )
A.(﹣5,4] B.(﹣5,3) C.(﹣1,4) D.(﹣1,3]
知识点:13.函数与方程
D
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先画出函数的图象,得到x2+x3的值,求出x1的取值范围,从而得到答案.
【解答】解:画出函数f(x)的图象,如图示:
,
不妨设则x1<x2<x3,则x2+x3=4,﹣5<x1≤﹣1,
∴﹣1<x1+x2+x3≤3,
故选:D.
【点评】本题考查了函数的零点问题,考查了函数的对称性,是一道中档题.
已知f(x)=是定义在(﹣∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是
知识点:3.单调性与最大(小)值
≤a<1或1<a≤2
【考点】指、对数不等式的解法.
【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】由题意可知,ax>x2﹣在(﹣1,1)上恒成立,令g(x)=ax,m(x)=x2﹣,结合图象,列出不等式组,解不等式组,求出a的取值范围.
【解答】解:若当x∈(﹣1,1)时,均有f(x)<,
即ax>x2﹣在(﹣1,1)上恒成立,
令g(x)=ax,m(x)=x2﹣,
由图象知:若0<a<1时,g(1)≥m(1),即a≥1﹣=,此时≤a<1;
当a>1时,g(﹣1)≥m(1),即a﹣1≥1﹣=,此时a≤2,此时1<a≤2.
综上≤a<1或1<a≤2.
【点评】本题考查不等式组的解法,将不等式关系转化为函数的图象关系是解决本题的关键.,体现了数形结合和转化的数学思想.
定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,且f(x+2)=f(x),g(x)=.则方程在区间上的所有实数根之和最接近下列哪个数( )
A.10 B.8 C.7 D.6
知识点:13.函数与方程
A
【考点】二分法求方程的近似解.
【专题】综合题;数形结合;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由f(x+2)=f(x),得到函数是周期为2的周期函数,分别作出函数f(x),g(x)在上的图象,利用图象观察交点的个数和规律,然后进行求解.
【解答】解:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的周期函数,
∵g(x)=,∴g(x)关于直线x=2对称.
分别作出函数f(x),g(x)在上的图象,
由图象可知两个函数的交点个数为6个,设6个交点的横坐标从小到大为x1,x2,x3,x4,x5,x6,
且这6个交点接近点(2,0)对称,
则(x1+x6)=2,x1+x6=4,
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3(x1+x6)=3×4=12,
其中x=3时,不成立,则f(x)=g(x)在区间上的所有实根之和为12﹣3=9,
由图象可知,x1+x6>4,x2+x5>4,x4>1,
∴x1+x2+x4+x5+x6>9.
故选A.
【点评】本题主要考查函数交点个数和取值的判断,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.本题综合性较强,难度较大.
已知函数f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1),且f(x﹣1)为偶函数,则实数a的值是 .
知识点:5.奇偶性与周期性
6
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由y=f(x﹣1)为偶函数,可知函数y=f(x)的图象关于直线x=﹣1对称,故函数f(x)定义域的两端点关于﹣1对称.
【解答】解:由y=f(x﹣1)是偶函数,可知y=f(x)的图象关于直线x=﹣1对称
故有,
解得a=6,
故答案为:6
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义,函数图象的平移变换法则,难度不大,属于基础题.
设全集U={(x,y)|y=x+1,x,y∈R},M={(x,y)|=1},则∁UM= .
知识点:3.集合的基本运算
{(2,3)}
【考点】补集及其运算.
【专题】转化思想;定义法;集合.
【分析】化简集合M,求出它的补集即可.
【解答】解:全集U={(x,y)|y=x+1,x,y∈R},
M={(x,y)|=1}={(x,y)|y=x+1且x≠2},
∁UM={(2,3)}.
故答案为:{(2,3)}.
【点评】本题考查了补集的定义与运算问题,是基础题目.
函数f(x)=的定义域为,则a的值为 .
知识点:2.定义域与值域
2
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】转化思想;函数的性质及应用.
【分析】根据二次根式的定义知(1﹣a2)x2+3(1﹣a)x+6≥0的解集是,
结合一元二次方程根与系数的关系,求出a的值.
【解答】解:由二次根式的定义,得(1﹣a2)x2+3(1﹣a)x+6≥0的解集是,
∴(1﹣a2)<0,
且﹣2和1是方程(1﹣a2)x2+3(1﹣a)x+6=0 的2个根;
∴﹣2+1=①,
﹣2×1=②;
解得a=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了求函数的定义域的问题,解题时应注意转化思想,把求函数的定义域转化为一元二次不等式的解集问题,是基础题.
设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在⊆D,使f(x)在上的值域为,则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则t的范围为 .
知识点:2.定义域与值域
(0,)
【考点】函数的值域.
【专题】计算题;转化思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于0,求出t的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,
且满足存在⊆D,使f(x)在上的值域是,
∴f(x)在上是增函数;
∴,
即,
∴方程+t=0有两个不等的实根,且两根都大于0;
∴,
解得:0<t<,
∴满足条件t的范围是(0,).
故答案为:(0,).
【点评】本题考察了函数的值域问题,解题时构造函数,渗透转化思想,是中档题.
不使用计算器,计算下列各题:
(1)(log3)2+•log43;
(2)log3+lg25+lg4+7+(﹣9.8)0.
知识点:9.对数与对数运算
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)(2)利用指数与对数的运算性质即可得出.
【解答】解:(1)原式=+
=+
=+
=1.
(2)原式=+lg(25×4)+2+1
=+2+3
=.
【点评】本题考查了指数与对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)写出函数f(x),x∈R的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣2ax+2,x∈,求函数g(x)的最小值h(a).
知识点:5.奇偶性与周期性
【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)利用函数的奇偶性,求出分段函数的解析式.
(2)利用分类讨论思想,进一步求出函数的最值
【解答】解:(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
当x>0时,f(x)=x2﹣2x
所以:
(2)①当a+1≤1时,即a≤0,g(x)min=g(1)=1﹣2a
②当1<a+1<2时,即0<a<1
③当a+1≥2时,即a≥1g(x)min=g(2)=2﹣2a
综上:.
故答案为:(1)
(2)
【点评】本题考查的知识要点:函数的奇偶性,利用奇偶性求函数的解析式,利用分类讨论思想求函数的最值
某种蔬菜基地种植西红柿由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线(如图(1)),种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线(如图(2)).
(1)写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).
(2)写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).
(3)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
知识点:14.函数的应用问题
【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)本题是一次函数的分段函数,运用一次函数的解析式,即可得到所求;
(2)运用二次函数的解析式,解方程可得,写出自变量的范围;
(3)基本等量关系是:纯收益=市场售价﹣种植成本.由于P是分段函数,所以h也是分段函数,求最大利润,就要在每一个分段函数内,根据自变量取值范围,函数性质来确定.
【解答】解:(1)由图﹣设f(t)=kt+300,(0≤t≤200),
代入,可得k=﹣1;
设f(t)=mt+b,200<t≤300,代入,(300,300),
可得100=200m+b,300m+b=300,解得m=2,b=﹣300.
可得市场售价与时间的函数关系为
P=f(t)=;
(2)由图二可得可设g(t)=a(t﹣150)2+100,
代入点(0,200),解得a=,
则种植成本与时间的函数关系为
Q=g(t)=(t﹣150)2+100,0≤t≤300;
(3)设t时刻的纯收益为h,则由题意得h=P﹣Q,即
h=,
当0≤t≤200时,配方整理得h=﹣(t﹣50)2+100,
所以,当t=50时,h(t)取得区间上的最大值100
当200<t≤300时,配方整理得h=﹣(t﹣350)2+100,
所以,当t=300时,h取得区间上的最大值87.5,
综上,由100>87.5可知,h在区间上可以取得最大值100,
此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
【点评】本题考查一次函数与分段函数,二次函数,自变量取值范围在本题中都得到了体现,要根据题目给的范围,找准等量关系,分段求最大值.
已知函数为偶函数.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)记集合E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}},,判断λ与E的关系;
(Ⅲ)当x∈(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为,求m,n的值.
知识点:5.奇偶性与周期性
【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用.
【分析】(Ⅰ)根据函数为偶函数f(﹣x)=f(x),构造关于a的方程组,可得a值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中函数f(x)的解析式,将x∈{﹣1,1,2}代入求出集合E,利用对数的运算性质求出λ,进而根据元素与集合的关系可得答案
(Ⅲ)求出函数f(x)的导函数,判断函数的单调性,进而根据函数f(x)的值域为,x∈,m>0,n>0构造关于m,n的方程组,进而得到m,n的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵函数为偶函数.
∴f(﹣x)=f(x)
即=
∴2(a+1)x=0,
∵x为非零实数,
∴a+1=0,即a=﹣1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
∴E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}}={0,}
而====
∴λ∈E
(Ⅲ)∵>0恒成立
∴在上为增函数
又∵函数f(x)的值域为,
∴f()=1﹣m2=2﹣3m,且f()=1﹣n2=2﹣3n,
又∵,m>0,n>0
∴m>n>0
解得m=,n=
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性,其中利用奇偶性求出a值,进而得到函数的解析式,是解答的关键.
已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5)
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式.
(2)若y=loga(a>0,且a≠1)在区间上为增函数,求实数a的取值范围.
知识点:11.幂函数
【考点】幂函数的性质;函数单调性的性质.
【专题】分类讨论;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据函数f(x)为偶函数,且f(3)<f(5),求出m的值即可;
(2)求出函数y的解析式,讨论a的值,求出函数y在区间上为增函数时a的取值范围.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5),
∴﹣2m2+m+3>0,
即2m2﹣m﹣3<0,
解得﹣1<m<;
当m=0时,﹣2m2+m+3=3,不满足题意;
当m=1时,﹣2m2+m+3=2,满足题意;
∴m=1时,f(x)=x2;
(2)∵y=loga
=loga(x2﹣ax)
=loga,其中a>0,且a≠1;
∴当0<a<1时,0<<,函数t=﹣在(﹣∞,)是减函数,
对应函数y在(﹣∞,0)上是增函数,不满足题意;
当a>1时,>,函数t=﹣在(,+∞)上是增函数,
又x2﹣ax>0,得x>a,函数y在(a,+∞)上是增函数,
∴,解得a≥4;
∴函数y在区间上为增函数时,实数a的取值范围是时,f(x)<1.