定义,若,则(▲)A. B. C. D.
知识点:3.集合的基本运算
【知识点】补集及其运算.A1
【答案解析】C 解析:∵集合M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},
∴M﹣N={1,4,5}.故选C
【思路点拨】根据题中的新定义,找出属于M不属于N的元素,即可确定出M﹣N.
“”是“”的(▲)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
知识点:5.充分条件与必要条件
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2
【答案解析】B 解析:∵log2a<log2b,∴0<a<b,∴“a<b”是“log2a<log2b”的必要不充分条件,故选:B.
【思路点拨】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
直线与圆相交于两点,则弦的长度等于(▲)
A. B.. C. D.1
知识点:4.直线与圆的位置关系
【知识点】直线与圆相交的性质.H4
【答案解析】B 解析:∵圆心(0,0)到直线x+﹣2=0的距离d=
由直线与圆相交的性质可知,,即,∴,故选B。
【思路点拨】由直线与圆相交的性质可知,,要求AB,只要先求圆心(0,0)到直线x+﹣2=0的距离d,即可求解。
.已知为等比数列,下面结论中正确的是(▲)
A. B.
C.若,则 D.若,则
知识点:4.等比数列及其性质
【知识点】等比数列的性质.D3
【答案解析】B 解析:设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确;
,∴,故B正确;
若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确;
若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故D不正确
故选B.
【思路点拨】a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;若a3>a1,则a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故可得结论.
设点O是边长为1的正△ABC的中心(如图所示),
则(▲)
A. B. C. D.
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
【知识点】平面向量数量积的运算.F3
【答案解析】D 解析:因为点O是边长为1的等边△ABC的中心,D为BC的中点,两两夹角为120°.
所以==.
所以()•()
=
=+++
==﹣.故选D.
【思路点拨】由题意求出的长度,推出夹角大小,直接利用向量的数量积求解即可.
已知直线、与平面下列命题正确的是(▲)
A. B.
C. D.
知识点:4.空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. G3 G4 G5
【答案解析】D 解析:A、由面面平行的判定定理知,m与n可能相交,故A不对;
B、当m与n都与α和β的交线平行时,也符合条件,但是m∥n,故B不对;
C、由面面垂直的性质定理知,必须有m⊥n,n⊂β时,n⊥α,否则不成立,故C不对;
D、由n⊥β且α⊥β,得n⊂α或n∥α,又因m⊥α,则m⊥n,故D正确.
故选D.
【思路点拨】由面面平行的判定定理知A不对,用当m与n都与α和β的交线平行时判断B不对,由面面垂直的性质定理知C不对,故D正确由面面垂直和线面垂直以及平行简单证明.
如果函数的图象关于点中心对称,那么的最小值为(▲)
A. B. C. D.
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦函数的对称性.C4
【答案解析】A 解析:∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称.
∴∴由此易得.
故选A
【思路点拨】先根据函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.
对于函数,若存在非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有
,则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是(▲)
A. B. C. D.
知识点:15.函数的图像
【知识点】抽象函数及其应用.B10
【答案解析】D 解析:对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,∴函数的对称轴是x=a,a≠0,
选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴.
函数f(x)=cos(x+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确.
故选:D.
【思路点拨】由题意判断f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.
设定义在区间上的函数是奇函数(),则的取值范围是(▲)
A. B. C. D.
知识点:5.奇偶性与周期性
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质.B7B4
【答案解析】A 解析:∵定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数
∴f(﹣x)+f(x)=0;∴;∴
∴1﹣a2x2=1﹣4x2;∵a≠﹣2;∴a=2;∴
令,可得,∴
∵a=2,∴ab的取值范围是;故选A.
【思路点拨】根据定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数,可确定a=2,及b的取值范围,从而可求ab的取值范围.
已知. 、分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一动点,圆与的延长线、的延长线以及线段相切,若为其中一个切点,则 (▲)
A. B.
C. D.与的大小关系不确定
知识点:1.椭圆
【知识点】圆与圆锥曲线的综合.H9
【答案解析】A 解析:由题意知,圆C是△AF1F2的旁切圆,
点M是圆C与x轴的切点,设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P,Q,
则由切线的性质可知:AP=AQ,F2Q=F2M,F1P=F1M,
∴MF2=QF2=(AF1+AF2)﹣(AF1+AQ)=2a﹣AF1﹣AP=2a﹣F1P=2a﹣F1M
∴MF1+MF2=2a,∴t=a=2.故选A.
【思路点拨】由题意知,圆C是△AF1F2的旁切圆,点M是圆C与x轴的切点,设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P,Q,则由切线的性质可知:AP=AQ,F2Q=F2M,F1P=F1M,由此能求出t的值.
双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ .
知识点:2.双曲线
【知识点】双曲线的简单性质.H6
【答案解析】 解析:∵双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±x
∴双曲线的渐近线方程为
故答案为:
【思路点拨】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.
设,,则的值是 ▲ .
知识点:4.和角公式与倍(半)角公式
【知识点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正切.C2 C6
【答案解析】 解析:∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈(,π),
∴cosα=﹣,sinα==,
∴tanα=﹣,
则tan2α===.
故答案为:
【思路点拨】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值.
已知某个几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则这个几何体的体积是 ▲ cm3.
知识点:2.空间几何体的三视图和直观图
【知识点】由三视图求面积、体积.G2
【答案解析】 解析:三视图复原的几何体是上部为长方体三度为:4,3,2;
下部为放倒的四棱柱,底面是等腰梯形其下底为9,上底为3高为2,棱柱的高为4,
几何体的体积为:4×3×2+=72 cm3.
故答案为:72.
【思路点拨】利用三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求出几何体的体积即可.
已知等比数列中,公比,且,,
则= ▲ .
知识点:4.等比数列及其性质
【知识点】等比数列的性质.D3
【答案解析】3 解析:由题意可得:数列{an}为等比数列,
所以=q5.因为数列{an}为等比数列,a3a4=12,所以a3a4=a1a6=12.
因为a1+a6=8,公比q>1,解得a1=2,a6=6,所以q5==3.故答案为:3
【思路点拨】根据等比数列的性质对所求进行化简可得:=q5.结合题中条件a1+a6=8,a3a4=12可得a1=2,a6=6,进而得到答案.
已知点的坐标满足,设,则(为坐标原点)的最大值为 ▲ .
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
【知识点】简单线性规划的应用.E5
【答案解析】2 解析:满足的可行域如图所示,
又∵,
∵,,
∴
由图可知,平面区域内x值最大的点为(2,3)
故答案为:2
【思路点拨】先画出满足的可行域,再根据平面向量的运算性质,对进行化简,结合可行域,即可得到最终的结果.
若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为 ▲ .
知识点:2.一元二次不等式及不等式的解法
【知识点】一元二次不等式的解法.E3
【答案解析】 解析:令f(x)=x2+ax﹣2,则f(0)=﹣2,
①顶点横坐标≤0,要使关于x的不等式
x2+ax﹣2>0在区间[1,5]上有解,则应满足
f(5)>0,解得;
②时,要使关于x的不等式x2+ax﹣2>0在区间[1,5]上有解,也应满足f(5)>0,解得.
综上可知:实数a的取值范围是.
故答案为:.
【思路点拨】令f(x)=x2+ax﹣2,则f(0)=﹣2,无论顶点横坐标≤0,还是时,要使关于要使关于x的不等式x2+ax﹣2>0在区间[1,5]上有解,则应满足f(5)>0,解出即可.
若正实数满足,且不等式恒成立,则实数的取值范围是 ▲ _.
知识点:4.基本不等式
【知识点】基本不等式.E6
【答案解析】 解析:∵正实数x,y满足x+2y+4=4xy,可得
x+2y=4xy﹣4,∴不等式(x+2y)a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立,
即(4xy﹣4)a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立,变形可得2xy(2a2+1)≥4a2﹣2a+34恒成立,
即xy≥恒成立,∵x>0,y>0,∴x+2y≥2,∴4xy=x+2y+4≥4+2,
即2﹣•﹣2≥0,解不等式可得≥,或≤﹣(舍负)
可得xy≥2,要使xy≥恒成立,只需2≥恒成立,
化简可得2a2+a﹣15≥0,即(a+3)(2a﹣5)≥0,解得a≤﹣3或a≥,
故答案为:
【思路点拨】原不等式恒成立可化为xy≥恒成立,由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2,故只需2≥恒成立,解关于a的不等式可得.
(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
.
(1)求角C的值;
(2)若,且△ABC的面积为,求的值.
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
【知识点】正弦定理;余弦定理.C8
【答案解析】(1)(2)
解析:(1)∵a(sinA﹣sinB)+bsinB=csinC,
∴由正弦定理得a2﹣ab+b2=c2,故cosC===,
∵0<C<π,所以C=.
(2)∵absinC=,a=1,所以b=4,则由余弦定理得
c2=a2+b2﹣2abcosC=1+16﹣2×1×4×cos=13,即c=.
【思路点拨】(1)已知a(sinA﹣sinB)+bsinB=csinC由正弦定理化简得a2﹣ab+b2=c2,由余弦定理得cosC=,0<C<π,所以C=.(2)若a=1,且△ABC的面积为=absinC,求出b的值,从而由余弦定理求出c的值.
(本小题满分14分)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,且S5=30,又a1,a3,a9成等比数列.
(Ⅰ)求Sn;
(Ⅱ)若对任意n>t,n∈N•,都有++…+>,求t的最小值.
知识点:3.等差数列的前n项和
【知识点】数列与不等式的综合;等比数列的性质.D3D5
【答案解析】(Ⅰ);(Ⅱ)48.
解析:(Ⅰ)设公差为d,由条件得,得a1=d=2.
∴an=2n,;
(Ⅱ)∵.∴
.
∴, 即 ,.
∴的最小值为48. …………………………………………14分
【思路点拨】(Ⅰ)由a1,a3,a9成等比数列列方程组求出首项和公差,则Sn可求;
(Ⅱ)把an,Sn代入,整理后列项,求和后得到使++…+>成立的t的最小值.
(本小题满分14分)如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE
(1)设M为线段A1C的中点,求证: BM // 平面A1DE;
(2)当平面A1DE⊥平面BCD时,求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值.
知识点:5.直线、平面平行的判定及其性质
【知识点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.G4 G11
【答案解析】(1)见解析;(2)
解析:(1)取的中点F,连结MF,则MF//CD,且MFCD,
即MF∕∕BE,MF= BE,故四边形BEFM是平行四边形,则BM//EF,
BM平面A1DE,EF平面A1DE,所以BM // 平面A1DE;…………………………7分
(2)由矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,可得ED2=22+22=8=CE2,CD2=42=16,∴CE2+ED2=CD2,∴∠CED=90°,∴CE⊥ED.
又∵平面A1DE⊥平面BCD,∴CE⊥平面A1DE,∴CE⊥DA1.
又∵DA1⊥A1E,A1E∩EC=E,∴DA1⊥平面A1CE,
∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角.
在Rt△A1CD中,sin∠A1CD,
即直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为. ……………………………14分
【思路点拨】(1)取CD中点N,并连接MN,BN,容易证明平面BMN∥平面A1DE,所以便得到BM∥平面A1DE;(2)容易说明CE⊥平面A1DE,所以DA1⊥CE,又DA1⊥A1E,所以DA1⊥平面A1CE,所以∠A1CD便是直线CD与平面A1CE所成角,所以该角的正弦值为.
(本小题满分15分)已知动圆过定点,且与直线相切
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时,证明直线恒过定点,并求出该定点坐标.
知识点:4.直线与圆的位置关系
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程. B12
【答案解析】(1);(2)直线经过这个定点.
解析:(1)设圆心, 则由题意得 ,化简得,即动圆圆心的轨迹的方程为………………………………7分
(2) 解法一:由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设的方程为,
并设,,联立:
代入整理得 从而有 ①, ② …………9分
又 ,
又,, ∴. ………………11分
Þ,
展开即得,将①②代入得,
得:,………………………………………………………………14分
故直线经过这个定点. ………………………………………………………15分
解法二:设,.
设,与联立,得,
则①,同理②
,即③
由①②:
代入③,整理得恒成立
则 故直线经过这个定点.………………15分
【思路点拨】(1)设出圆心坐标,由题意列,整理后得到动圆圆心的轨迹C的方程;(2)由题意可知直线AB的斜率存在且不为零,可设AB的方程为x=my+a,和(1)中求得轨迹联立后利用根与系数关系得到A,B两点的横纵坐标的和,结合k1+k2=﹣1求得直线方程,由线系方程得答案.
(本小题满分15分)已知函数.
(1)若函数为偶函数,求实数的值;
(2)若,求函数的单调递增区间;
(3)当时,若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
知识点:3.单调性与最大(小)值
【知识点】函数恒成立问题.B14
【答案解析】(1)a=0;(2)及;(3)
解析:(1)解法一:因为函数f(x)=﹣x2+2|x﹣a|
又函数y=f(x)为偶函数,
所以任取x∈R,则f(﹣x)=f(x)恒成立,
即﹣(﹣x)2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立.…(3分)
所以|x﹣a|=|x+a|恒成立,
两边平方得:x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2
所以4ax=0,因为x为任意实数,所以a=0…(5分)
解法二(特殊值法):因为函数y=f(x)为偶函数,
所以f(﹣1)=f(1),得|1﹣a|=|1+a|,得:a=0
所以f(x)=﹣x2+2|x|,
故有f(﹣x)=f(x),即f(x)为偶函数…(5分)
(2)若,则.…(8分)
由函数的图像可知,函数的单调递增区间为及………………10分
(3)不等式化为
即: (*)对任意的恒成立
因为,所以分如下情况讨论:
①0≤x≤a时,不等式(*)化为﹣4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1,
即x2+4x+1﹣2a≥0对任意的x∈[0,a]恒成立,
因为函数g(x)=x2+4x+1﹣2a在区间[0,a]上单调递增,
则g(0)最小,所以只需g(0)≥0即可,得,
又a>0所以…(12分)
②a<x≤1+a时,不等式(*)化为4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1,
即x2﹣4x+1+6a≥0对任意的x∈(a,1+a]恒成立,
由①,,知:函数h(x)=x2﹣4x+1+6a在区间(a,1+a]上单调递减,
则只需h(1+a)≥0即可,即a2+4a﹣2≥0,得或.
因为所以,由①得.…(14分)
③x>1+a时,不等式(*)化为4(x﹣a)﹣2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1,
即x2+2x﹣3≥0对任意的
x∈(a+1,+∞)恒成立,
因为函数φ(x)=x2+2x﹣3在区间(a+1,+∞)上单调递增,
则只需φ(a+1)≥0即可,
即a2+4a﹣2≥0,得或,由②得.
综上所述得,a的取值范围是.…(16分)
【思路点拨】(Ⅰ)因为函数y=f(x)为偶函数,所以可由定义得f(﹣x)=f(x)恒成立,然后化简可得a=0;也可取特殊值令x=1,得f(﹣1)=f(1),化简即可,但必须检验.
(Ⅱ)分x≥,x,将绝对值去掉,注意结合图象的对称轴和区间的关系,写出单调增区间,注意之间用“和”. (Ⅲ)先整理f(x﹣1)≥2f(x)的表达式,有绝对值的放到左边,然后分①0≤x≤a②a<x≤1+a③x>1+a讨论,首先去掉绝对值,然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题,利用函数的单调性求出最值,从而求出a的范围,最后求它们的交集.