浙江省台州中学2015届高三上学期第二次统练数学(文)试题

定义,若,则(▲)A.          B.         C.         D.

答案解析:
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知识点:3.集合的基本运算

【知识点】补集及其运算.A1

【答案解析】C 解析:集合M={12345}N={236}

MN={145}.故选C

【思路点拨】根据题中的新定义,找出属于M不属于N的元素,即可确定出M﹣N

     

”是“”的(▲)

A.充分不必要条件              B.必要不充分条件

C.充要条件              D.既不充分也不必要条件

答案解析:
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知识点:5.充分条件与必要条件

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2

【答案解析】B 解析:log2alog2b0ab∴“ablog2alog2b的必要不充分条件,故选:B

【思路点拨】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

     

直线与圆相交于两点,则弦的长度等于(▲)

A.              B..              C.              D.1

答案解析:
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知识点:4.直线与圆的位置关系

【知识点】直线与圆相交的性质.H4

【答案解析】B 解析:圆心(00)到直线x+2=0的距离d=

由直线与圆相交的性质可知,故选B

【思路点拨】由直线与圆相交的性质可知,,要求AB,只要先求圆心(00)到直线x+﹣2=0的距离d,即可求解

     

.已知为等比数列,下面结论中正确的是(▲)

A.              B.

C.若,则              D.若,则

答案解析:
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知识点:4.等比数列及其性质

【知识点】等比数列的性质.D3

【答案解析】B 解析:设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2q同为正时,a1+a32a2成立,故A不正确;

,故B正确;

a1=a3,则a1=a1q2q2=1q=±1a1=a2a1=a2,故C不正确;

a3a1,则a1q2a1a4a2=a1qq21),其正负由q的符号确定,故D不正确

故选B

【思路点拨】a1+a3=,当且仅当a2q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2a1=﹣a2;若a3a1,则a1q2a1,而a4﹣a2=a1qq2﹣1),其正负由q的符号确定,故可得结论.

     

设点O是边长为1的正△ABC的中心(如图所示),

(▲)

A.          B.        C.         D.

答案解析:
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知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)

【知识点】平面向量数量积的运算.F3

【答案解析】D 解析:因为点O是边长为1的等边ABC的中心,DBC的中点,两两夹角为120°

所以==

所以(

=

=+++

==.故选D

【思路点拨】由题意求出的长度,推出夹角大小,直接利用向量的数量积求解即可.

     

已知直线与平面下列命题正确的是(▲)

A.       B.

C.    D.

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知识点:4.空间点、直线、平面之间的位置关系

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. G3 G4 G5

【答案解析】D 解析:A、由面面平行的判定定理知,mn可能相交,故A不对;

B、当mn都与αβ的交线平行时,也符合条件,但是mn,故B不对;

C、由面面垂直的性质定理知,必须有mnnβ时,n⊥α,否则不成立,故C不对;

D、由n⊥βα⊥β,得nαn∥α,又因m⊥α,则mn,故D正确.

故选D

【思路点拨】由面面平行的判定定理知A不对,用当mn都与αβ的交线平行时判断B不对,由面面垂直的性质定理知C不对,故D正确由面面垂直和线面垂直以及平行简单证明.

     

如果函数的图象关于点中心对称,那么的最小值为(▲)

A.              B.            C.           D.

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知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B

【知识点】函数y=Asinωx+φ)的图象变换;余弦函数的对称性.C4

【答案解析】A 解析:函数y=3cos2x+φ)的图象关于点中心对称.

由此易得

故选A

【思路点拨】先根据函数y=3cos2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.

     

对于函数,若存在非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有

,则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是(▲)

A.    B.    C.   D.

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知识点:15.函数的图像

【知识点】抽象函数及其应用.B10

【答案解析】D 解析:对于函数fx),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有fx=f2ax),则称fx)为准偶函数,函数的对称轴是x=aa0

选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴.

函数fx=cosx+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确.

故选:D

【思路点拨】由题意判断fx)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.

     

设定义在区间上的函数是奇函数(),则的取值范围是(▲)

A.                                          B.                             C.                            D.

答案解析:
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知识点:5.奇偶性与周期性

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质.B7B4

【答案解析】A 解析:定义在区间(bb)上的函数是奇函数

fx+fx=0

1a2x2=14x2a≠﹣2a=2

,可得

a=2ab的取值范围是故选A

【思路点拨】根据定义在区间(﹣bb)上的函数是奇函数,可确定a=2,及b的取值范围,从而可求ab的取值范围.

     

已知. 分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一动点,圆的延长线、的延长线以及线段相切,若为其中一个切点,则              (▲)

A.                                                                                      B.

C.                                                                                      D.的大小关系不确定

答案解析:
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知识点:1.椭圆

【知识点】圆与圆锥曲线的综合.H9

【答案解析】A 解析:由题意知,圆CAF1F2的旁切圆,

M是圆Cx轴的切点,设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点PQ

则由切线的性质可知:AP=AQF2Q=F2MF1P=F1M

MF2=QF2=AF1+AF2AF1+AQ=2aAF1AP=2aF1P=2aF1M

MF1+MF2=2at=a=2.故选A

【思路点拨】由题意知,圆CAF1F2的旁切圆,点M是圆Cx轴的切点,设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点PQ,则由切线的性质可知:AP=AQF2Q=F2MF1P=F1M,由此能求出t的值.

     

双曲线的两条渐近线的方程为    ▲    .

答案解析:
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知识点:2.双曲线

【知识点】双曲线的简单性质.H6

【答案解析】 解析:双曲线a=4b=3,焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x

双曲线的渐近线方程为

故答案为:

【思路点拨】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.

     

,,则的值是    ▲    .

答案解析:
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知识点:4.和角公式与倍(半)角公式

【知识点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正切.C2 C6

【答案解析】 解析:sin2α=2sinαcosα=sinααπ),

cosα=sinα==

tanα=

tan2α===

故答案为:

【思路点拨】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值.

     

已知某个几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则这个几何体的体积是    ▲    cm3.

答案解析:
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知识点:2.空间几何体的三视图和直观图

【知识点】由三视图求面积、体积.G2

【答案解析】 解析:三视图复原的几何体是上部为长方体三度为:432

下部为放倒的四棱柱,底面是等腰梯形其下底为9,上底为3高为2,棱柱的高为4

几何体的体积为:4×3×2+=72 cm3

故答案为:72

【思路点拨】利用三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求出几何体的体积即可.

     

已知等比数列中,公比,且,     

=     ▲    .

答案解析:
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知识点:4.等比数列及其性质

【知识点】等比数列的性质.D3

【答案解析】3 解析:由题意可得:数列{an}为等比数列,

所以=q5.因为数列{an}为等比数列,a3a4=12,所以a3a4=a1a6=12

因为a1+a6=8,公比q1,解得a1=2a6=6,所以q5==3.故答案为:3

【思路点拨】根据等比数列的性质对所求进行化简可得:=q5.结合题中条件a1+a6=8a3a4=12可得a1=2a6=6,进而得到答案.

     

已知点的坐标满足,设,则为坐标原点)的最大值为    ▲    .

答案解析:
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知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划

【知识点】简单线性规划的应用.E5

【答案解析】2 解析:满足的可行域如图所示,

由图可知,平面区域内x值最大的点为(23

故答案为:2

【思路点拨】先画出满足的可行域,再根据平面向量的运算性质,对进行化简,结合可行域,即可得到最终的结果.

     

若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为  ▲  .

答案解析:
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知识点:2.一元二次不等式及不等式的解法

【知识点】一元二次不等式的解法.E3

【答案解析】 解析:fx=x2+ax2,则f0=2

顶点横坐标0,要使关于x的不等式

x2+ax20在区间[15]上有解,则应满足

f5)>0,解得

时,要使关于x的不等式x2+ax20在区间[15]上有解,也应满足f5)>0,解得

综上可知:实数a的取值范围是

故答案为:

【思路点拨】fx=x2+ax﹣2,则f0=﹣2,无论顶点横坐标≤0,还是时,要使关于要使关于x的不等式x2+ax﹣20在区间[15]上有解,则应满足f5)>0,解出即可.

     

若正实数满足,且不等式恒成立,则实数的取值范围是    ▲    _.

答案解析:
答案及解析:

知识点:4.基本不等式

【知识点】基本不等式.E6

【答案解析】 解析:正实数xy满足x+2y+4=4xy,可得

x+2y=4xy4不等式(x+2ya2+2a+2xy340恒成立,

即(4xy4a2+2a+2xy340恒成立,变形可得2xy2a2+14a22a+34恒成立,

xy恒成立,x0y0x+2y24xy=x+2y+44+2

220,解不等式可得,或≤﹣(舍负)

可得xy2,要使xy恒成立,只需2恒成立,

化简可得2a2+a150,即(a+3)(2a50,解得a≤﹣3a

故答案为:

【思路点拨】原不等式恒成立可化为xy≥恒成立,由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2,故只需2≥恒成立,解关于a的不等式可得.

     

(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

(1)求角C的值;             

(2)若,且△ABC的面积为,求的值.

答案解析:
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知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)

【知识点】正弦定理;余弦定理.C8

【答案解析】12

解析:1asinAsinB+bsinB=csinC

由正弦定理得a2ab+b2=c2,故cosC===

0Cπ,所以C=

2absinC=a=1,所以b=4,则由余弦定理得

c2=a2+b22abcosC=1+162×1×4×cos=13,即c=

【思路点拨】1)已知asinAsinB+bsinB=csinC由正弦定理化简得a2ab+b2=c2,由余弦定理得cosC=0Cπ,所以C=.(2)若a=1,且ABC的面积为=absinC,求出b的值,从而由余弦定理求出c的值.

     

(本小题满分14分)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,且S5=30,又a1,a3,a9成等比数列.

(Ⅰ)求Sn;

(Ⅱ)若对任意n>t,n∈N•,都有++…+,求t的最小值.

答案解析:
答案及解析:

知识点:3.等差数列的前n项和

【知识点】数列与不等式的综合;等比数列的性质.D3D5

【答案解析】;48

解析:)设公差为d,由条件得,得a1=d=2

an=2n

的最小值为48…………………………………………14

【思路点拨】)由a1a3a9成等比数列列方程组求出首项和公差,则Sn可求;

)把anSn代入,整理后列项,求和后得到使++…+成立的t的最小值.

     

(本小题满分14分)如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE

(1)设M为线段A1C的中点,求证: BM // 平面A1DE;

(2)当平面A1DE⊥平面BCD时,求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值.

 

答案解析:
答案及解析:

知识点:5.直线、平面平行的判定及其性质

【知识点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.G4 G11

【答案解析】1)见解析;2

解析:(1的中点F,连结MF,则MF//CD,且MFCD

MF∕∕BEMF= BE,故四边形BEFM是平行四边形,则BM//EF

BM平面A1DEEF平面A1DE,所以BM // 平面A1DE…………………………7

2)由矩形ABCD中,AB=2BC=4E为边AB的中点,可得ED2=22+22=8=CE2CD2=42=16CE2+ED2=CD2∴∠CED=90°CEED

平面A1DE平面BCDCE平面A1DECEDA1

DA1A1EA1EEC=EDA1平面A1CE

∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角.

RtA1CD中,sinA1CD

直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为……………………………14

【思路点拨】1)取CD中点N,并连接MNBN,容易证明平面BMN平面A1DE,所以便得到BM平面A1DE;(2)容易说明CE平面A1DE,所以DA1CE,又DA1A1E,所以DA1平面A1CE,所以A1CD便是直线CD与平面A1CE所成角,所以该角的正弦值为

     

(本小题满分15分)已知动圆过定点,且与直线相切

(1)求动圆圆心的轨迹的方程;

(2)过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时,证明直线恒过定点,并求出该定点坐标.

答案解析:
答案及解析:

知识点:4.直线与圆的位置关系

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程. B12

【答案解析】12直线经过这个定点.

解析:(1)设圆心, 则由题意得 ,化简得,即动圆圆心的轨迹的方程………………………………7

(2) 解法一:由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设的方程为,

并设,联立:

代入整理得 从而有 ①, ② …………9

,

………………11

Þ

展开即得,将①②代入得,

………………………………………………………………14

故直线经过这个定点. ………………………………………………………15

解法二:设

,与联立,得

,同理

,即

①②:

代入,整理得恒成立

故直线经过这个定点.………………15

【思路点拨】1设出圆心坐标,由题意列,整理后得到动圆圆心的轨迹C的方程;(2)由题意可知直线AB的斜率存在且不为零,可设AB的方程为x=my+a,和(1)中求得轨迹联立后利用根与系数关系得到AB两点的横纵坐标的和,结合k1+k2=1求得直线方程,由线系方程得答案.

     

(本小题满分15分)已知函数.

(1)若函数为偶函数,求实数的值;

(2)若,求函数的单调递增区间;

(3)当时,若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

答案解析:
答案及解析:

知识点:3.单调性与最大(小)值

【知识点】函数恒成立问题.B14

【答案解析】1a=023

解析:1解法一:因为函数fx=x2+2|xa|

又函数y=fx)为偶函数,

所以任取xR,则fx=fx)恒成立,

x2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立.3分)

所以|xa|=|x+a|恒成立,

两边平方得:x22ax+a2=x2+2ax+a2

所以4ax=0,因为x为任意实数,所以a=05分)

解法二(特殊值法):因为函数y=fx)为偶函数,

所以f1=f1),得|1a|=|1+a|,得:a=0

所以fx=x2+2|x|

故有fx=fx),即fx)为偶函数5分)

2,则8分)

由函数的图像可知,函数的单调递增区间为………………10

(3)不等式化为

即: (*)对任意的恒成立

因为,所以分如下情况讨论:

0xa时,不等式(*)化为4xa+2[x1+a]x2+2x1

x2+4x+12a0对任意的x[0a]恒成立,

因为函数gx=x2+4x+12a在区间[0a]上单调递增,

g0)最小,所以只需g00即可,得

a0所以12分)

ax1+a时,不等式(*)化为4xa+2[x1+a]x2+2x1

x24x+1+6a0对任意的xa1+a]恒成立,

,知:函数hx=x24x+1+6a在区间(a1+a]上单调递减,

则只需h1+a0即可,即a2+4a20,得

因为所以,由14分)

x1+a时,不等式(*)化为4xa2[x1+a]x2+2x1

x2+2x30对任意的

xa+1+)恒成立,

因为函数φx=x2+2x3在区间(a+1+)上单调递增,

则只需φa+10即可,

a2+4a20,得,由

综上所述得,a的取值范围是16分)

【思路点拨】)因为函数y=fx)为偶函数,所以可由定义得fx=fx)恒成立,然后化简可得a=0;也可取特殊值令x=1,得f1=f1),化简即可,但必须检验.

)分xx,将绝对值去掉,注意结合图象的对称轴和区间的关系,写出单调增区间,注意之间用)先整理fx12fx)的表达式,有绝对值的放到左边,然后分0xaax1+ax1+a讨论,首先去掉绝对值,然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题,利用函数的单调性求出最值,从而求出a的范围,最后求它们的交集.