已知集合A=x|x2﹣2x﹣3>0},集合B={x|0<x<4},则(∁RA)∩B=( )
A.(0,3] B.[﹣1,0) C.[﹣1,3] D.(3,4)
知识点:3.集合的基本运算
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】化简集合A,根据补集与交集的定义进行计算即可.
【解答】解:集合A=x|x2﹣2x﹣3>0}={x|x<﹣1或x>3},
集合B={x|0<x<4},
∴∁RA={x|﹣1≤x≤3},
∴(∁RA)∩B={x|0<x≤3}=(0,3].
故选:A.
复数z满足z(3i﹣4)=25(i是虚数单位),则z的共轭复数=( )
A.4+3i B.4﹣3i C.﹣4+3i D.﹣4﹣3i
知识点:3.复数代数形式的四则运算
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:z(3i﹣4)=25,∴z(3i﹣4)(﹣3i﹣4)=25(﹣3i﹣4),
∴z=﹣4﹣3i
则z的共轭复数=﹣4+3i.
故选:C.
在等差数列{an}中,a3+a6+a9=54,设数列{an}的前n项和为Sn,则S11=( )
A.18 B.99 C.198 D.297
知识点:3.等差数列的前n项和
B
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】根据题意,由等差数列的性质求出a1+a11=a3+a9=2a6,将其代入等差数列前n项和公式即可得出答案
【解答】解:根据题意,等差数列{an}中,a3+a6+a9=27,
所以a1+a11=a3+a9=2a6=18,
则S11===99;
故选:B.
已知双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,若双曲线C的一条渐近线与直线平行,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.2
知识点:2.双曲线
A
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设双曲线方程为=1,(a>0,b>0),由双曲线C的一条渐近线与直线平行,得到=,由此能求出双曲线C的离心率.
【解答】解:∵双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,
∴设双曲线方程为=1,(a>0,b>0),
∵双曲线C的一条渐近线与直线平行,
∴=,即a=b,
c==2b,
∴双曲线C的离心率e===.
故选:A.
设f(x)=,则f(x)dx的值为( )
A. + B. +3 C. + D. +3
知识点:6.微积分的基本定理
A
【考点】定积分.
【分析】根据定积分性质可得f(x)dx=+,然后根据定积分可得.
【解答】解:根据定积分性质可得f(x)dx=+,
根据定积分的几何意义,是以原点为圆心,以1为半径圆面积的,
=,
∴f(x)dx=+(),
=+,
故答案选:A.
已知的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1﹣x2|的最小值为( )
A. B. C. D.
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
B
【考点】三角函数的化简求值;正弦函数的图象.
【分析】根据题意,利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值,即可求出 A|x1﹣x2|的最小值.
【解答】解:
=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin
=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x
=sin2017x+cos2017x
=2sin.
或
=
=2sin.
∴f(x) 的最大值为A=2;
由题意得,|x1﹣x2|的最小值为=,
∴A|x1﹣x2|的最小值为.
故选:B.
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A﹣BCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC
知识点:6.直线、平面垂直的判定及其性质
D
【考点】平面与平面垂直的判定.
【分析】由题意推出CD⊥AB,AD⊥AB,从而得到AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,可得平面ABC⊥平面ADC.
【解答】解:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°
∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD
故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,又AD⊥AB
∴AB⊥平面ADC,
又AB⊂平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ADC.
故选D.
若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为( )
A.2 B. C. D.﹣2
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出.
【解答】解:如图所示,
A(,0),B(0,),C(﹣,0),
∴=(,),=(3,0),
∴=(,)+(3,0)=(2,),
∴=+=(,),
∴=﹣=(﹣1,),=﹣=(﹣,),
∴=﹣1×(﹣)+×=2,
故选:A.
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )
A.36π B.8π C.π D.π
知识点:2.空间几何体的三视图和直观图
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥,且底面是等腰直角三角形,
根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,由外接球的结构特征,求出它的半径与表面积.
【解答】解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥;
如图所示;
则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,
设几何体外接球的半径为R,
∵底面是等腰直角三角形,∴底面外接圆的半径为1,
∴R2=1+1=2,
∴外接球的表面积是4πR2=8π.
故选:B.
若实数x,y满足不等式,且x+y的最大值为9,则实数m=( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
C
【考点】简单线性规划.
【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时,从而得到m值即可.
【解答】解:先根据约束条件画出可行域,
设z=x+y,
将最大值转化为y轴上的截距,
当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A(4,5)时,z最大,
将m等价为斜率的倒数,
数形结合,将点A的坐标代入x﹣my+1=0得
m=1,
故选C.
已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( )
A. B. C.1 D.2
知识点:3.抛物线
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设A(x1,y1)B(x2,y2),根据抛物线方程可求得准线方程,所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A,B,F三点共线时取等号求得S的最小值.
【解答】解:设A(x1,y1)B(x2,y2)
抛物线准线y=﹣1,
根据梯形的中位线定理,得所求的距离为:
S==
由抛物线定义
=﹣1(两边之和大于第三边且A,B,F三点共线时取等号)
≥﹣1=2
故选D.
已知S=(x﹣a)2+(lnx﹣a)2(a∈R),则S的最小值为( )
A. B. C. D.2
知识点:1.变化率与导数
B
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】由题意可得S的几何意义为两点(x.lnx),(a,a)的距离的平方,求得与直线y=x平行且与曲线y=lnx相切的切点的坐标,运用点到直线的距离公式计算即可得到所求最小值.
【解答】解:S=(x﹣a)2+(lnx﹣a)2(a∈R)的几何意义为:
两点(x.lnx),(a,a)的距离的平方,
由y=lnx的导数为y′=,
点(a,a)在直线y=x上,
令=1,可得x=1,
即有与直线y=x平行的直线且与曲线y=lnx相切的切点为(1,0),
由点到直线的距离可得d==,
即有S的最小值为()2=,
故选:B.
已知向量满足,与的夹角为,则= .
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
2
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】由条件进行数量积的运算便可求出的值,从而得出的值.
【解答】解:根据条件,
=
=
=4;
∴.
故答案为:2.
我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是“今有蒲草第一天长高3尺,菀草第一天长高1尺.以后蒲草每天长高前一天的一半,而菀草每天长高前一天的2倍,问多少天蒲草和菀草高度相同?”根据上述已知条件,可求得第 天,蒲草和菀草高度相同.(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到0.1)
知识点:5.等比数列的前n项和
2.6
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由题意可利用等比数列的求和公式可得: =,化为:2n+=7,解出即可得出.
【解答】解:由题意可得: =,化为:2n+=7,
解得2n=6,2n=1(舍去).
∴n==1+≈2.6.
∴估计2.6日蒲、莞长度相等,
故答案为:2.6.
已知函数,若正实数a,b满足f(4a)+f(b﹣9)=0,则的最小值为 .
知识点:3.导数在研究函数中的应用
1
【考点】函数奇偶性的性质;基本不等式.
【分析】根据题意,由f(x)的解析式分析f(x)与f(﹣x)的关系,可得函数f(x)为奇函数,又由f(4a)+f(b﹣9)=0,分析可得4a+b=9,对于,将其变形可得=(4a+b)()=(5++),由基本不等式的性质分析可得的最小值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,对于函数,
则有=﹣=﹣f(x),
则函数f(x)为奇函数,
y=x+sinx的导数为y′=1+cosx≥0,函数y单调递增,又=1﹣在R上递增,
则f(x)在R上递增,
若正实数a,b满足f(4a)+f(b﹣9)=0,必有4a+b=9,
则=(4a+b)()=(5++)≥(5+4)=1;
即的最小值为1;
故答案为:1.
在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则的最大值为 .
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
2
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】建立适当的平面直角坐标系,设角度为参数,利用坐标表示与参数方程建立•的解析式,利用三角函数求出它的最值.
【解答】解:建立如图所示平面直角坐标系,
设∠BOC=x,则∠BOD=x+;
∴C(2cosx,2sinx),D(2cos(x+),2sin(x+)),
且A(﹣2,0),B(2,0);
∴=(2cosx+2,2sinx),
=(2cos(x+)﹣2,2sin(x+));
∴•=(2cosx+2)×(2cos(x+)﹣2)
+2sinx×2sin(x+)
=4cosxcos(x+)﹣4cosx+4cos(x+)
﹣4+4sinxsin(x+)
=4cos﹣4cosx+4cos(x+)﹣4
=﹣4cos(x﹣)﹣2;
当cos(x﹣)=﹣1时, •取得最大值2.
故答案为:2.
已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Sn.
知识点:3.等差数列的前n项和
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)根据数列的递推公式求出公差d,即可求出数列{an}的通项公式,
(2)根据错位相减法即可求出前n项和.
【解答】解:∵(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1),①
∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an﹣1+an)=2n(n﹣1),②
由①﹣②可得,an+an+1=4n,③,
令n=n﹣1,可得an+an﹣1=4(n﹣1),④,
由③﹣④可得2d=4,
∴d=2,
∵a1+a2=4,
∴a1=1,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,
(2)=(2n﹣1)•()n﹣1,
∴Sn=1•()0+3•()1+5•()2+…+(2n﹣1)•()n﹣1,
∴Sn=1•()1+3•()2+5•()3+…+(2n﹣3)•()n+(2n﹣1)•()n,
∴Sn=1+2•()1+2•()2+2•()3+…+2•()n﹣1﹣(2n﹣1)•()n=1+2﹣(2n﹣1)•()n=3﹣(2n+3)•()n,
∴Sn=6﹣(2n+3)•()n﹣1.
在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若
(1)求角A;
(2)若4(b+c)=3bc,,求△ABC的面积S.
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
【考点】正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理化简已知可得:,结合三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得,结合A为内角,即可求A的值.
(2)由余弦定理及已知可解得:b+c=6,从而可求bc=8,根据三角形面积公式即可得解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)由正弦定理得:…
又∵sinB=sin(A+C)
∴
即…
又∵sinC≠0
∴
又∵A是内角
∴A=60°…
(2)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc…
∴(b+c)2﹣4(b+c)=12得:b+c=6
∴bc=8…
∴S=…
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面ABB1A1,且AA1=AB=2.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为,请问在线段A1C上是否存在点E,使得二面角A﹣BE﹣C的大小为,请说明理由.
知识点:6.直线、平面垂直的判定及其性质
【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)连接AB1交AB1于点D,则可通过证明BC⊥平面ABB1A1得出得出BC⊥AB;
(2)以B为原点建立坐标系,设=λ,求出平面ABE的法向量,令|cos<,>|=,根据解的情况判断E点是否存在.
【解答】(1)证明:连接AB1交AB1于点D,
∵AA1=AB,∴AD⊥A1B
又平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,
∴AD⊥平面A1BC,又BC⊂平面A1BC,
∴AD⊥BC.
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥底面ABC,
∴AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,AA1⊂平面A1ABB1,AD⊂平面A1ABB1,
∴BC⊥平面A1ABB1,又AB⊂侧面A1ABB1,
∴AB⊥BC.
(2)由(1)得AD⊥平面A1BC,
∴∠ACD直线AD与平面AA1=AB所成的角,
即,又AD==,∴,BC==2.
假设在线段A1C上是否存在一点E,使得二面角A﹣BE﹣C的大小为
以点B为原点,以BC、BA,AA1所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,如图所示,
则A(0,2,0),B(0,0,0),A1(0,2,2),C(2,0,0),B1(0,0,2).
∴=(0,﹣2,0),=(2,﹣2,﹣2),=(0,﹣2,2),=(0,0,2).
假设A1C上存在点E使得二面角A﹣BE﹣C的大小为,且=λ=(2λ,﹣2λ,﹣2λ),
∴=+=(2λ,﹣2λ,2﹣2λ),
设平面EAB的法向量为,则,,
∴,令x=1得=(1,0,),
由(1)知AB1⊥平面A1BC,∴=(0,﹣2,2)为平面CEB的一个法向量.
∴cos<,>==,
∴||=|cos|=,解得
∴点E为线段A1C中点时,二面角A﹣BE﹣C的大小为.
已知椭圆过点,且焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过点P(﹣2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点,如果|GA|=|GB|,求直线l的方程.
知识点:1.椭圆
【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由椭圆的性质,将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)将直线代入椭圆方程,由△>0,求得k的取值范围,由|GA|=|GB|,则GM⊥AB,根据直线的斜率公式,即可求得k的值.
【解答】解:(1)由2c=2,c=1,由a2=b2+c2=b2+1,
则,解得:b2=1,a2=2,
∴椭圆的标准方程为:;
(2)由题意可知设直线l的斜率为k,直线l的方程为y=k(x+2),
,整理得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣2=0,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
则x1+x2=﹣,x1x2=,
则y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=,
△=(8k2)2﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)>0,解得:﹣<k<,
则x0=﹣,y0=,
由|GA|=|GB|,则GM⊥AB,
则kGM===﹣,(k≠0),
解得:k=或k=(舍),
当k=0时,显然满足题意;
∴直线l的方程为:y=(x+2)或y=0.
设函数f(x)=ex﹣ax﹣1,对∀x∈R,f(x)≥0恒成立.
(1)求a的取值集合;
(2)求证:1+.
知识点:3.导数在研究函数中的应用
【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)通过对函数f(x)求导,讨论f(x)的单调性可得函数f(x)的最小值;根据条件可得g(a)=a﹣alna﹣1≥0,讨论g(a)的单调性即得结论;
(2)由(1)得ex≥x+1,即ln(x+1)≤x,通过令x=(k∈N*),即>ln=ln(1+k)﹣lnk,(k=1,2,…,n),然后累加即可得证.
【解答】解:(1)函数f(x)的导数为f′(x)=ex﹣a,
令f′(x)=0,解得x=lna,
当x>lna时,f′(x)>0;当x<lna时,f′(x)<0,
因此当x=lna时,f(x)min=f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1.
因为f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,所以f(x)min≥0,
∴f(x)min=a﹣alna﹣1,
所以a﹣alna﹣1≥0,
令g(a)=a﹣alna﹣1,
函数g(a)的导数为g′(a)=﹣lna,
令g′(a)=0,解得a=1.
当a>1时,g′(a)<0;当0<a<1时,g′(a)>0,
所以当a=1时,g(a)取得最大值,为0.
所以g(a)=a﹣alna﹣1≤0.
又a﹣alna﹣1≥0,因此a﹣alna﹣1=0,
解得a=1;
故a的取值集合是{a|a=1}.
(2)由(1)得ex≥x+1,即ln(x+1)≤x,
当且仅当x=0时,等号成立,
令x=(k∈N*),则>ln(1+),
即>ln=ln(1+k)﹣lnk,(k=1,2,…,n),
累加,得1+++…+>ln(n+1)﹣lnn+lnn﹣ln(n﹣1)+…+ln2﹣ln1,
则有1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).
在直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若直线(t为参数)与圆C交于A,B两点,且,求m的值.
知识点:2.坐标系与参数方程
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(1)求出圆C的普通方程,可得圆C的极坐标方程;
(2)求出直线l的普通方程,利用勾股定理,建立方程,即可求出m的值.
【解答】解:(1)圆C的参数方程为(φ为参数),普通方程为(x﹣2)2+y2=4,极坐标方程为ρ=4cosθ;
(2)直线(t为参数),消去参数可得y﹣x+m=0,
圆心C到直线的距离d=,
|AB|=2=,∴m=0或4.
已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣3|.
(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≥2;
(2)若存在实数x,使得成立,试求a的取值范围.
知识点:3.不等式选讲
【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.
【分析】(1)若a=﹣1,则f(x)=|x+1|﹣|x﹣3|,运用函数的零点分区间,讨论当x≥3时,当﹣1≤x<3时,当x<﹣1时,化简不等式求解,最后求并集即可;
(2)由题意知这是一个存在性的问题,须求出不等式左边的最大值,可运用绝对值不等式的性质可得最大值,再令其大于等于,即可解出实数a的取值范围.
【解答】解:(1)若a=﹣1,则f(x)=|x+1|﹣|x﹣3|,
若x≥3,由f(x)≥2,
得(x+1)﹣(x﹣3)≥2不等式显然成立,
若﹣1≤x<3,由f(x)≥2,
得(x+1)+(x﹣3)≥2,解得x≥2.
又﹣1≤x<3,∴2≤x<3.
若x<﹣1,由f(x)≥2,
得﹣(x+1)+(x﹣3)≥2不等式不成立.
∴不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥2}.
综上所述,不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥2};
(2)不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|.
|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|(x﹣a)﹣(x﹣3)|=﹣|a﹣3|,
若a>3,等号成立当且仅当x≥3,
若a=3,等号成立当且仅当x∈R,
若a<3,等号成立当且仅当x≤3.
∴﹣|a﹣3|,即|a﹣3|,
若a≥3,则(a﹣3),解得a≥6.
若a<3,则﹣(a﹣3),解得a≤2.
∴a的取值范围是(﹣∞,2]∪[6,+∞).
综上所述,a的取值范围是(﹣∞,2]∪[6,+∞).