湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考数学(理)试题

已知集合A=x|x2﹣2x﹣3>0},集合B={x|0<x<4},则(∁RA)∩B=(  )

A.(0,3]              B.[﹣1,0)              C.[﹣1,3]              D.(3,4)

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知识点:3.集合的基本运算

A

【考点】交、并、补集的混合运算.

【分析】化简集合A,根据补集与交集的定义进行计算即可.

【解答】解:集合A=x|x2﹣2x﹣30}={x|x﹣1或x3}

集合B={x|0x4}

RA={x|﹣1x3}

RA)B={x|0x3}=(0,3]

故选:A.

     

复数z满足z(3i﹣4)=25(i是虚数单位),则z的共轭复数=(  )

A.4+3i              B.4﹣3i              C.﹣4+3i              D.﹣4﹣3i

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知识点:3.复数代数形式的四则运算

C

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.

【解答】解:z(3i﹣4)=25,z(3i﹣4)(﹣3i﹣4)=25(﹣3i﹣4),

z=﹣4﹣3i  

则z的共轭复数=﹣4+3i.

故选:C.

     

在等差数列{an}中,a3+a6+a9=54,设数列{an}的前n项和为Sn,则S11=(  )

A.18              B.99              C.198              D.297

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知识点:3.等差数列的前n项和

B

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】根据题意,由等差数列的性质求出a1+a11=a3+a9=2a6,将其代入等差数列前n项和公式即可得出答案

【解答】解:根据题意,等差数列{an}中,a3+a6+a9=27,

所以a1+a11=a3+a9=2a6=18,

则S11===99;

故选:B.

     

已知双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,若双曲线C的一条渐近线与直线平行,则双曲线C的离心率为(  )

A.              B.              C.              D.2

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知识点:2.双曲线

A

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】设双曲线方程为=1,(a0,b0),由双曲线C的一条渐近线与直线平行,得到=,由此能求出双曲线C的离心率.

【解答】解:双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,

设双曲线方程为=1,(a0,b0),

双曲线C的一条渐近线与直线平行,

=,即a=b,

c==2b,

双曲线C的离心率e===

故选:A.

     

设f(x)=,则f(x)dx的值为(  )

A. +              B. +3              C. +              D. +3

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知识点:6.微积分的基本定理

A

【考点】定积分.

【分析】根据定积分性质可得f(x)dx=+,然后根据定积分可得.

【解答】解:根据定积分性质可得f(x)dx=+

根据定积分的几何意义,是以原点为圆心,以1为半径圆面积的

=

f(x)dx=+

=+

故答案选:A.

     

已知的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1﹣x2|的最小值为(  )

A.              B.              C.              D.

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知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B

B

【考点】三角函数的化简求值;正弦函数的图象.

【分析】根据题意,利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值,即可求出 A|x1﹣x2|的最小值.

【解答】解:

=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin

=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x

=sin2017x+cos2017x

=2sin.

=

=2sin.

f(x) 的最大值为A=2;

由题意得,|x1﹣x2|的最小值为=

A|x1﹣x2|的最小值为

故选:B.

     

如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A﹣BCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是(  )

A.平面ABD⊥平面ABC              B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC              D.平面ADC⊥平面ABC

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知识点:6.直线、平面垂直的判定及其性质

D

【考点】平面与平面垂直的判定.

【分析】由题意推出CDAB,ADAB,从而得到AB平面ADC,又AB平面ABC,可得平面ABC平面ADC.

【解答】解:在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°

BDCD

又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD

故CD平面ABD,则CDAB,又ADAB

AB平面ADC,

又AB平面ABC,

平面ABC平面ADC.

故选D.

     

若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为(  )

A.2              B.              C.              D.﹣2

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知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)

A

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出.

【解答】解:如图所示,

A(,0),B(0,),C(﹣,0),

=(),=(3,0),

=+(3,0)=(2,),

=+=(),

==(﹣1,),==(﹣),

=﹣1×(﹣+×=2,

故选:A.

     

一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(  )

A.36π              B.8π              C.π              D.π

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知识点:2.空间几何体的三视图和直观图

B

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥,且底面是等腰直角三角形,

根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,由外接球的结构特征,求出它的半径与表面积.

【解答】解:根据几何体的三视图,得;

该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥;

如图所示;

则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,

设几何体外接球的半径为R,

底面是等腰直角三角形,底面外接圆的半径为1,

R2=1+1=2,

外接球的表面积是4πR2=8π.

故选:B.

     

若实数x,y满足不等式,且x+y的最大值为9,则实数m=(  )

A.﹣2              B.﹣1              C.1              D.2

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知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划

C

【考点】简单线性规划.

【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时,从而得到m值即可.

【解答】解:先根据约束条件画出可行域,

设z=x+y,

将最大值转化为y轴上的截距,

当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A(4,5)时,z最大,

将m等价为斜率的倒数,

数形结合,将点A的坐标代入x﹣my+1=0得

m=1,

故选C.

     

已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(  )

A.              B.              C.1              D.2

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知识点:3.抛物线

D

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】设A(x1,y1)B(x2,y2),根据抛物线方程可求得准线方程,所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A,B,F三点共线时取等号求得S的最小值.

【解答】解:设A(x1,y1)B(x2,y2

抛物线准线y=﹣1,

根据梯形的中位线定理,得所求的距离为:

S==

由抛物线定义

=﹣1(两边之和大于第三边且A,B,F三点共线时取等号)

﹣1=2

故选D.

     

已知S=(x﹣a)2+(lnx﹣a)2(a∈R),则S的最小值为(  )

A.              B.              C.              D.2

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知识点:1.变化率与导数

B

【考点】函数的最值及其几何意义.

【分析】由题意可得S的几何意义为两点(x.lnx),(a,a)的距离的平方,求得与直线y=x平行且与曲线y=lnx相切的切点的坐标,运用点到直线的距离公式计算即可得到所求最小值.

【解答】解:S=(x﹣a)2+(lnx﹣a)2(aR)的几何意义为:

两点(x.lnx),(a,a)的距离的平方,

由y=lnx的导数为y′=

点(a,a)在直线y=x上,

=1,可得x=1,

即有与直线y=x平行的直线且与曲线y=lnx相切的切点为(1,0),

由点到直线的距离可得d==

即有S的最小值为(2=

故选:B.

     

已知向量满足的夹角为,则=     .

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知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)

2

【考点】数量积表示两个向量的夹角.

【分析】由条件进行数量积的运算便可求出的值,从而得出的值.

【解答】解:根据条件,

=

=

=4;

故答案为:2.

     

我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是“今有蒲草第一天长高3尺,菀草第一天长高1尺.以后蒲草每天长高前一天的一半,而菀草每天长高前一天的2倍,问多少天蒲草和菀草高度相同?”根据上述已知条件,可求得第  天,蒲草和菀草高度相同.(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到0.1)

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知识点:5.等比数列的前n项和

2.6

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】由题意可利用等比数列的求和公式可得: =,化为:2n+=7,解出即可得出.

【解答】解:由题意可得: =,化为:2n+=7,

解得2n=6,2n=1(舍去).

n==1+2.6.

估计2.6日蒲、莞长度相等,

故答案为:2.6.

     

已知函数,若正实数a,b满足f(4a)+f(b﹣9)=0,则的最小值为        .

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知识点:3.导数在研究函数中的应用

1

【考点】函数奇偶性的性质;基本不等式.

【分析】根据题意,由f(x)的解析式分析f(x)与f(﹣x)的关系,可得函数f(x)为奇函数,又由f(4a)+f(b﹣9)=0,分析可得4a+b=9,对于,将其变形可得=(4a+b)()=(5++),由基本不等式的性质分析可得的最小值,即可得答案.

【解答】解:根据题意,对于函数

则有=﹣=﹣f(x),

则函数f(x)为奇函数,

y=x+sinx的导数为y′=1+cosx0,函数y单调递增,又=1﹣在R上递增,

则f(x)在R上递增,

若正实数a,b满足f(4a)+f(b﹣9)=0,必有4a+b=9,

=(4a+b)()=(5++(5+4)=1;

的最小值为1;

故答案为:1.

     

在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则的最大值为  .

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知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)

2

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】建立适当的平面直角坐标系,设角度为参数,利用坐标表示与参数方程建立的解析式,利用三角函数求出它的最值.

【解答】解:建立如图所示平面直角坐标系,

BOC=x,则BOD=x+

C(2cosx,2sinx),D(2cos(x+),2sin(x+)),

且A(﹣2,0),B(2,0);

=(2cosx+2,2sinx),

=(2cos(x+)﹣2,2sin(x+));

=(2cosx+2)×(2cos(x+)﹣2)

+2sinx×2sin(x+

=4cosxcos(x+)﹣4cosx+4cos(x+

﹣4+4sinxsin(x+

=4cos﹣4cosx+4cos(x+)﹣4

=﹣4cos(x﹣)﹣2;

当cos(x﹣)=﹣1时,取得最大值2.

故答案为:2.

     

已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{}的前n项和Sn.

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知识点:3.等差数列的前n项和

【考点】数列的求和;数列递推式.

【分析】(1)根据数列的递推公式求出公差d,即可求出数列{an}的通项公式,

(2)根据错位相减法即可求出前n项和.

【解答】解:(a1+a2+(a2+a3++(an+an+1)=2n(n+1),

(a1+a2+(a2+a3++(an﹣1+an)=2n(n﹣1),

可得,an+an+1=4n,

令n=n﹣1,可得an+an﹣1=4(n﹣1),

可得2d=4,

d=2,

a1+a2=4,

a1=1,

an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,

(2)=(2n﹣1)•(n﹣1

Sn=1•(0+3•(1+5•(2++(2n﹣1)•(n﹣1

Sn=1•(1+3•(2+5•(3++(2n﹣3)•(n+(2n﹣1)•(n

Sn=1+2•(1+2•(2+2•(3++2•(n﹣1﹣(2n﹣1)•(n=1+2﹣(2n﹣1)•(n=3﹣(2n+3)•(n

Sn=6﹣(2n+3)•(n﹣1

     

在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若

(1)求角A;

(2)若4(b+c)=3bc,,求△ABC的面积S.

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知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)

【考点】正弦定理.

【分析】(1)由正弦定理化简已知可得:,结合三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得,结合A为内角,即可求A的值.

(2)由余弦定理及已知可解得:b+c=6,从而可求bc=8,根据三角形面积公式即可得解.

【解答】(本题满分为12分)

解:(1)由正弦定理得:

sinB=sin(A+C)

sinC0

A是内角

A=60°…

(2)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc…

(b+c)2﹣4(b+c)=12得:b+c=6

bc=8…

S=

     

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面ABB1A1,且AA1=AB=2.

(1)求证:AB⊥BC;

(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为,请问在线段A1C上是否存在点E,使得二面角A﹣BE﹣C的大小为,请说明理由.

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知识点:6.直线、平面垂直的判定及其性质

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】(1)连接AB1交AB1于点D,则可通过证明BC平面ABB1A1得出得出BCAB;

(2)以B为原点建立坐标系,设,求出平面ABE的法向量,令|cos>|=,根据解的情况判断E点是否存在.

【解答】(1)证明:连接AB1交AB1于点D,

AA1=AB,ADA1B

又平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,

AD平面A1BC,又BC平面A1BC,

ADBC.

三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,AA1底面ABC,

AA1BC.

又AA1AD=A,AA1平面A1ABB1,AD平面A1ABB1

BC平面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1

ABBC.

(2)由(1)得AD平面A1BC,

∴∠ACD直线AD与平面AA1=AB所成的角,

,又AD==,BC==2.

假设在线段A1C上是否存在一点E,使得二面角A﹣BE﹣C的大小为

以点B为原点,以BC、BA,AA1所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,如图所示,

则A(0,2,0),B(0,0,0),A1(0,2,2),C(2,0,0),B1(0,0,2).

=(0,﹣2,0),=(2,﹣2,﹣2),=(0,﹣2,2),=(0,0,2).

假设A1C上存在点E使得二面角A﹣BE﹣C的大小为,且=(2λ,﹣2λ,﹣2λ),

=+=(2λ,﹣2λ,2﹣2λ),

设平面EAB的法向量为,则

,令x=1得=(1,0,),

由(1)知AB1平面A1BC,=(0,﹣2,2)为平面CEB的一个法向量.

cos==

∴||=|cos|=,解得

点E为线段A1C中点时,二面角A﹣BE﹣C的大小为

     

已知椭圆过点,且焦距为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设过点P(﹣2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点,如果|GA|=|GB|,求直线l的方程.

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知识点:1.椭圆

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.

【分析】(1)由椭圆的性质,将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;

(2)将直线代入椭圆方程,由△>0,求得k的取值范围,由|GA|=|GB|,则GMAB,根据直线的斜率公式,即可求得k的值.

【解答】解:(1)由2c=2,c=1,由a2=b2+c2=b2+1,

,解得:b2=1,a2=2,

椭圆的标准方程为:

(2)由题意可知设直线l的斜率为k,直线l的方程为y=k(x+2),

,整理得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣2=0,

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),

则x1+x2=﹣,x1x2=

则y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=

=(8k22﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)0,解得:﹣k

则x0=﹣,y0=

|GA|=|GB|,则GMAB,

则kGM===﹣,(k0),

解得:k=或k=(舍),

当k=0时,显然满足题意;

直线l的方程为:y=(x+2)或y=0.

     

设函数f(x)=ex﹣ax﹣1,对∀x∈R,f(x)≥0恒成立.

(1)求a的取值集合;

(2)求证:1+

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知识点:3.导数在研究函数中的应用

【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.

【分析】(1)通过对函数f(x)求导,讨论f(x)的单调性可得函数f(x)的最小值;根据条件可得g(a)=a﹣alna﹣10,讨论g(a)的单调性即得结论;

(2)由(1)得exx+1,即ln(x+1)x,通过令x=(kN*),即ln=ln(1+k)﹣lnk,(k=1,2,…,n),然后累加即可得证.

【解答】解:(1)函数f(x)的导数为f′(x)=ex﹣a,

令f′(x)=0,解得x=lna,

当xlna时,f′(x)0;当xlna时,f′(x)0,

因此当x=lna时,f(x)min=f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1.

因为f(x)0对任意的xR恒成立,所以f(x)min0,

f(x)min=a﹣alna﹣1,

所以a﹣alna﹣10,

令g(a)=a﹣alna﹣1,

函数g(a)的导数为g′(a)=﹣lna,

令g′(a)=0,解得a=1.

当a1时,g′(a)0;当0a1时,g′(a)0,

所以当a=1时,g(a)取得最大值,为0.

所以g(a)=a﹣alna﹣10.

又a﹣alna﹣10,因此a﹣alna﹣1=0,

解得a=1;

故a的取值集合是{a|a=1}

(2)由(1)得exx+1,即ln(x+1)x,

当且仅当x=0时,等号成立,

令x=(kN*),则ln(1+),

ln=ln(1+k)﹣lnk,(k=1,2,…,n),

累加,得1++++ln(n+1)﹣lnn+lnn﹣ln(n﹣1)++ln2﹣ln1,

则有1++++ln(n+1)(nN*).

     

在直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)若直线(t为参数)与圆C交于A,B两点,且,求m的值.

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知识点:2.坐标系与参数方程

【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】(1)求出圆C的普通方程,可得圆C的极坐标方程;

(2)求出直线l的普通方程,利用勾股定理,建立方程,即可求出m的值.

【解答】解:(1)圆C的参数方程为(φ为参数),普通方程为(x﹣2)2+y2=4,极坐标方程为ρ=4cosθ;

(2)直线(t为参数),消去参数可得y﹣x+m=0,

圆心C到直线的距离d=

|AB|=2=m=0或4.

     

已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣3|.

(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≥2;

(2)若存在实数x,使得成立,试求a的取值范围.

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知识点:3.不等式选讲

【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.

【分析】(1)若a=﹣1,则f(x)=|x+1||x﹣3|,运用函数的零点分区间,讨论当x3时,当﹣1x3时,当x﹣1时,化简不等式求解,最后求并集即可;

(2)由题意知这是一个存在性的问题,须求出不等式左边的最大值,可运用绝对值不等式的性质可得最大值,再令其大于等于,即可解出实数a的取值范围.

【解答】解:(1)若a=﹣1,则f(x)=|x+1||x﹣3|

若x3,由f(x)2,

得(x+1)﹣(x﹣3)2不等式显然成立,

若﹣1x3,由f(x)2,

得(x+1)+(x﹣3)2,解得x2.

又﹣1x3,2x3.

若x﹣1,由f(x)2,

得﹣(x+1)+(x﹣3)2不等式不成立.

不等式f(x)2的解集为{x|x2}

综上所述,不等式f(x)2的解集为{x|x2}

(2)不等式|x﹣a||x﹣3|

|x﹣a||x﹣3|≥|(x﹣a)﹣(x﹣3)|=﹣|a﹣3|

若a3,等号成立当且仅当x3,

若a=3,等号成立当且仅当xR,

若a3,等号成立当且仅当x3.

|a﹣3|,即|a﹣3|

若a3,则(a﹣3),解得a6.

若a3,则﹣(a﹣3),解得a2.

a的取值范围是(﹣,2]∪[6,+∞).

综上所述,a的取值范围是(﹣,2]∪[6,+∞).