湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二数学(理)试题

已知集合A

【分析】

解集合A与集合B,求得集合的交集即可。

【详解】解集合A可得

集合B}

所以AB

所以选A

 

     

设x,y是两个实数,则“x,y中至少有一个数大于1”是“x2+y2>2”成立的

A.充分非必要条件                   B.必要非充分条件

C.充分必要条件                     D.既非充分又非必要条件

答案解析:
答案及解析:

知识点:5.充分条件与必要条件

D

【分析】

根据充分、必要条件的判断,分别作为条件推理即可。

【详解】若xy中至少有一个数大于1(如x=1.1y=0.1),则x2y22不成立

x2y22(如x=-2y=-2)则xy中至少有一个数大于1不成立

所以xy中至少有一个数大于1”x2y22”成立的既非充分又非必要条件

所以选D

 

     

已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则

A.n⊥β    B.n∥α   C.n∥β或nD

【分析】

根据空间几何的垂直平行关系,找出反例即可。

【详解】根据条件,画出示意图反例如下图

可分别排除ABC

所以选D

 

     

△ABC中,点D在AB上,满足B

【分析】

利用向量的线性运算,化简即可。

【详解】根据向量的线性加法与减法运算,化简得

所以选B

 

     
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B

因为,所以,那么

所以.

 

     
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现有四个函数:①D

因为为偶函数,为奇函数,为非奇非偶函数,所以从左至右第一个图对应的函数为,第二个图像对应的函数为.因为当,恒成立,所以第四个图对应的函数为.那么第三个图对应的函数为

 

     
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数列{an}满足:a1=1,a2=-1,a3=-2,an+2=an+1-an(B

【分析】

根据递推公式,求得数列的前几项,发现数列的规律,进而求得前2019项的和。

【详解】因为a11a2=-1a3=-2

代入依次求得

可知,数列T=6的周期数列,每个周期内的和为0

所以数列的前2019项的和等于a1a2a3=-2

所以选B

 

     
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若直线y=x+b与曲线y=3-C

直线表示斜率为的直线,而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆,如图

由图可知,当直线与曲线相切时取到最小值,则有,解得;当直线经过点取到最大值,此时。所以

 

     
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A

【分析】

根据函数意义,画出函数图像,根据图像求得a的值,进而求得f(2a)

【详解】画出图像如下图所示

由图像可得,则

所以选A

 

     
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已知圆O的半径为2,A,B是圆上两点且∠AOBA

由图可知: ,又因为是圆的一条直径,故是相反向量,且,因为点在圆内且满足 三点共线,当的中点时,取得最小值,故的最小值为.

 

     
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正三棱锥S-ABC的外接球半径为2,底边长AB=3,则此棱锥的体积为

A.B

【分析】

画出空间几何体,讨论球心的位置,结合球的性质求得棱锥的高,可求得棱锥的体积。

【详解】设正三棱锥的高为h,球心在正三棱锥的高所在的直线上,H为底面正三棱锥的中心

因为底面边长AB=3,所以

当顶点S与球心在底面ABC的同侧时,如下图

此时有 ,即

可解得h=3

因而棱柱的体积

当顶点S与球心在底面ABC的异侧时,如下图

,即

可解得h=1

所以

综上,棱锥的体积为

所以选B

 

     
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已知函数A

 

     
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已知实数x,y,z满足5

由题意可得可行域为如图所示(含边界),

则在点处取得最小值.

联立,解得:

代入得最小值5.

答案为:5.

 

     
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三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为_____。

由已知中的三视图可得SC平面ABC

且底面ABC为等腰三角形,

ABCAC=4AC边上的高为2

BC=4

RtSBC中,由SC=4

可得SB=4

故答案为:4

 

     
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等差数列{an}的公差d≠0,a1是a2,a5的等比中项,已知数列a2,a4,

【分析】

根据等差数列及等比中项的定义,求得首项;由等比数列前两项求得公比,进而利用等比数列通项公式与等差数列通项公式求得;利用等比数列及等差数列求和公式即可求得Tn,代入即可求得2Tn9

【详解】因为数列是等差数列,且a3a2a5的等比中项

所以

因为公差d≠0,解得

公比

所以

是等差数列可知

所以

所以

所以

所以

 

     
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三次函数

【分析】

解方程组,求得mn的值,代入函数解析式求得p的取值范围;由三个零点即可求得abc的取值范围。

【详解】解方程组得,回代解不等式得

根据条件设三次函数的零点式为

比较系数得

 

     
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(本小题满分12分)

如图所示,扇形AOB中,圆心角∠AOB=1(舍负);

2

,此时

 

     
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(本小题满分12分)

如图,在三棱锥S-ABC中,SA=AB=AC=BC=1OBC的中点,

,则

平面ABC

2)以O为原点,以OA所在射线为x轴正半轴,以OB所在射线为y轴正半轴,

OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系.

则有

假设存在点E满足条件,设

设平面SCE的法向量为

,得,故可取

易得平面SBC的一个法向量为

所以,,解得(舍).

所以,当时,二面角的余弦值为

     
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(本小题满分12分)

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(1)设椭圆C的方程为,则左焦点为

在直角三角形中,可求

故椭圆C的方程为

2)假设存在符合题意的直线l,其方程为,由原点到l的距离为得:

联立方程,得

解得

当斜率不存在时,l的方程为,易求得

综上,不存在符合条件的直线.

 

     
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(本小题满分12分)

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶3元,售价每瓶5元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为350瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

 

最高气温

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天数

4

14

36

21

10

5

 

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值,最大值为多少?

 

答案解析:
答案及解析:

知识点:9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

     

(本小题满分12分)

已知函数1.由题意知

时,的单调递减区间为

时,的单调递减区间为

时,的单调递减区间为

2)由区间.设

i)当时,,由题意得上单调递减.

在区间上恒成立.

上单调递增,故,解得

ii)当时,,由(1)知上单调递减.

上单调递减,即在区间上恒成立.

由前述可知,上单调递减,在上单调递增,

化简得,判别式小于0,恒成立.

另一方面,由,解得

综上,当时,上为减函数.

 

     
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(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为1

2,联立极坐标方程

 

     
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(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知1

解得

2)由

,当时取等.

m的最小值为

 

     
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