一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为
A．1 B．
C．
D．
知识点：2.空间几何体的三视图和直观图
B
由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为
，是边长为2的正三角形，
，且
，底面
为等腰直角三角形，
，所以体积为
，故选B．
下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是
A．
B．
C．
D．
知识点：5.奇偶性与周期性
D
根据奇偶性定义知，A、B为偶函数，C为奇函数，D定义域为
不关于原点对称，故选D．
下列说法正确的是
A．命题“若
，则
”的否命题为：“若，则
”
B．若命题
，则命题
C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题
D．“
”是“
”的必要不充分条件
知识点：4.命题及其关系
C
选项A，否命题为“若
”；选项B，命题
R，
；选项D，“
”是“
”的充分不必要条件，故选C．
实数对
满足不等式组
若目标函数
的最大值与最小值之和为
A．6 B．7 C．9 D．10
知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划
C
不等式组所表示的区域如图 所示，
则
故选C．
记集合
和集合
表示的平面区域分别为
若在区域
内任取一点
，则点
落在区域
的概率为
A．
B．
C．
D．
知识点：3.几何概型
A
区域
为圆心在原点，半径为4的圆，区域
为等腰直角三角形，两腰长为4，所以
，故选A．
对于函数
，则下列说法正确的是
A．该函数的值域是
B．当且仅当
时，
C．当且仅当
时，该函数取得最大值1
D．该函数是以
为最小正周期的周期函数
知识点：6.三角函数的图像与性质
B
由图象知，函数值域为
，A错；当且仅当
时，该函数取得最大值
，C错；最小正周期为
，D错．故选B．
已知
为
上的可导函数，且
，均有
，则有
A．
，
B．，
C．
，
D．，
知识点：3.导数在研究函数中的应用
D
构造函数
则
，
因为
均有
并且
，所以
，故函数
在R上单调递减，所以
，
即
也就是
，故选D．
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组
，第二组
，……，第五组
．图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于
．
知识点：2.用样本估计总体
27
．
．正三棱锥
内接于球
，且底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为 ．
知识点：3.空间几何体的表面积与体积
如图，设三棱锥
的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=
，AB=AC=AD=2，
，M为正
的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以
，解得
，所以
．
如图4，椭圆的中心在坐标原点，
为左焦点，
、
分别为长轴和短轴上的一个顶点，当
时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为
．
知识点：1.椭圆
由图知，
，整理得
，即
，解得
，故
．
（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，且有
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前项和为
．
知识点：7.数列的通项
解：（Ⅰ）
，
，
．
又
，
，
． …………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）
，
，
．
两式相减得：
，
，
． ……………………………………………………………（12分）
（本小题满分12分）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
喜欢统计课程
不喜欢统计课程
合计
男生
20
5
25
女生
10
20
30
合计
30
25
55
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
，其中
）
知识点：5.独立性检验的基本思想及其初步运用
解：（Ⅰ）由公式
，
所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ………………………（6分）
（Ⅱ）设所抽样本中有m个男生，则
人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作
从中任选2人的基本事件有
，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有
，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为
． ………（12分）
（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥
中，
⊥
，为
的中点，
为
的中点，且△
为正三角形．
（1）求证：⊥平面
；
（2）若
，
，求点到平面
的距离．
知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质
（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD//AP，∴AP⊥PB．
图4
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，
，
∴BC⊥平面APC， …………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有
.
∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，
，
，
∴
．
又
，
．
在
中，
，
又
，
，
，
即点B到平面MDC的距离为
． ……………………………………………（12分）
（本小题满分12分）已知
，
．
（1）求在
上的最小值；
（2）若对一切
，
成立，求实数
的取值范围．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
解：（Ⅰ）
，令
．
当
单调递减；
当
单调递增．
，
（1）当
；
（2）当
所以
…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由
得
.
设
，则
. 令
，得
或
（舍），当
时，
，h(x)单调递减；当
时，
，h(x)单调递增，所以
所以
…………………………………（12分）
（本小题满分12分）已知直线
与椭圆
相交于、两点．
（1）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段的长；
（2）若向量
与向量
互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．
知识点：1.椭圆
解：（Ⅰ）
,
,
,
，
则
. ……………………………………………（6分）
（Ⅱ）设
.
，
，
，整理得
，
，
，
，
，
，
由此得
，
故长轴长的最大值为
. …………………………………………………………（12分）
（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】
如图6，在正△
中，点
分别在边
上，且
，
，
相交于点．
（1）求证：
四点共圆；
（2）若正△的边长为2，求所在圆的半径．
知识点：1.几何证明选讲
（Ⅰ）证明：
在正中，
又
，
，
≌
，
，
即
，
所以
，
，
，
四点共圆． …………………………………………………（5分）
（Ⅱ）解：如图5，取
的中点
，连结
，
则
图5
，
.
，
，
为正三角形，
即
所以点是
外接圆的圆心，且圆的半径为
．
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为．
………………………………………………………………………（10分）
（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）．
（1）求直线
的直角坐标方程；
（2）求点到曲线上的点的距离的最小值．
知识点：2.坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由点M的极坐标为
，得点M的直角坐标为(4，4)，
所以直线OM的直角坐标方程为
． ……………………………………（4分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
(
为参数)，
化成普通方程为：
，
圆心为A(1，0)，半径为
．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为
． ………………………………………………………………（10分）
，
，则
＝
B．
C．
D．
对应的点位于
，
，若
，则
＝
，
，则当
、
、
，若
，
且
，则△
．
的解集；
的解集非空，求实数
