已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P⊕Q={x|x=p﹣q,p∈P,q∈Q},则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )
A.32 B.31 C.30 D.以上都不对
知识点:2.集合间的基本关系
B
【考点】子集与真子集.
【分析】由所定义的运算先求出P⊕Q,然后再求集合P⊕Q的所有真子集的个数.
【解答】解:由所定义的运算可知P⊕Q={1,2,3,4,5},
∴P⊕Q的所有真子集的个数为25﹣1=31.
故选B.
关于复数Z=的四个命题:
p1:|Z|=2
p2:Z2=2i
p3:Z的共轭复数为1+i
p4:Z的虚部为﹣1.
其中的真命题为( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
知识点:1.数系的扩充和复数的概念
C
【考点】复数相等的充要条件.
【分析】复数Z==﹣1﹣i,再利用复数的有关概念及其运算即可判断出结论.
【解答】解:复数Z===﹣1﹣i.
p1:|Z|==≠2,因此不正确;
p2:Z2=2i,正确;
p3:Z的共轭复数为﹣1+i,因此不正确;
p4:Z的虚部为﹣1.正确.
其中的真命题个数为2.
故选:C.
如图所示的程序框图,其功能是输入x的值,输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识点:1.算法与程序框图
A
【考点】程序框图.
【分析】由已知的程序框图,我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值,结合输入的x值与输出的y值相等,我们分类讨论后,即可得到结论.
【解答】解:由题意得该程序的功能是:
计算并输出分段函数y=的值,
又∵输入的x值与输出的y值相等,
当|x|≤1时,x=x2,解得x=0,或x=1,
当|x|>1时,x=ln|x|,无解.
故满足条件的x值共有2个.
故选:A.
已知函数f(x)=sinπx和函数g(x)=cosπx在区间[0,2]上的图象交于A,B两点,则△OAB面积是( )
A. B. C. D.
知识点:6.三角函数的图像与性质
A
【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象.
【分析】由sinπx=cosπx=sin(),x∈[0,2],可解得πx=+2kπ,k∈Z,可解得坐标:A(,),B(,﹣),求得直线AB所在的方程为:y﹣=﹣(x﹣),联立方程y=0,可解得OC=,即可求得△OAB面积.
【解答】解:如图所示:∵sinπx=cosπx=sin(),x∈[0,2],
∴可解得:πx=π﹣()+2kπ,k∈Z(无解),或πx=+2kπ,k∈Z
∴可解得:x=+k,k∈Z,且x∈[0,2],
∴x=,或,
∴解得坐标:A(,),B(,﹣).
∴解得直线AB所在的方程为:y﹣=﹣(x﹣),联立方程y=0,可解得:x=,及OC=.
∴S△OAB=S△OAC+S△COB==.
故选:A.
设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=成立的是( )
A. =﹣ B.∥ C. =2 D.⊥
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
A
【考点】平行向量与共线向量.
【分析】根据向量共线定理,可得若+=成立,则向量、共线且方向相反,对照各个选项并结合数乘向量的含义,可得本题答案.
【解答】解:由+=得若=﹣=,即,则向量、共线且方向相反,
因此当向量、共线且方向相反时,能使+=成立,
对照各个选项,可得B项中向量、的方向相同或相反,
C项中向量向量、的方向相同,
D项中向量、的方向互相垂直.
只有A项能确定向量、共线且方向相反.
故选:A
设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a1=0,则下列式子中数值不能确定的是( )
A. B. C. D.
知识点:5.等比数列的前n项和
D
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】根据已知的等式变形,利用等比数列的性质求出公比q的值,然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式,即可找出四个选项中数值不能确定的选项.
【解答】解:由8a2+a1=0,得到.
∴,故A不正确;
=,故B不正确;
,故C不正确;
不是定值,故D正确.
故选:D.
若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为( )
A.1 B.2 C. D.3
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
D
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对于的平面区域,根据z=2x+y的最小值为4,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对于的平面区域如图:
∵z=2x+y的最小值为4,即2x+y=4,
且y=﹣2x+z,则直线y=﹣2x+z的截距最小时,z也取得最小值,
则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方,
由;,解得,
即A(1,2),
此时A也在直线y=﹣x+b上,
即2=﹣1+b,
解得b=3,
故选:D
一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点:2.空间几何体的三视图和直观图
B
【考点】球内接多面体;由三视图求面积、体积;球的体积和表面积.
【分析】由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.
【解答】解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则
8﹣r+6﹣r=,
∴r=2.
故选:B.
函数y=4cosx﹣e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是( )
A. B. C. D.
知识点:15.函数的图像
A
【考点】函数的图象.
【分析】先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性,排除一些选项,在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案.
【解答】解:∵函数y=4cosx﹣e|x|,
∴f(﹣x)=4cos(﹣x)﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f(x),
函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数,图象关于y轴对称,排除BD,
又f(0)=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3,
只有A适合,
故选:A.
若将圆x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M,则在网内随机放一粒豆子,落入M的概率是( )
A. B. C. D.
知识点:3.几何概型
B
【考点】几何概型;定积分在求面积中的应用.
【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积,再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积,代入几何概率的计算公式可求.
【解答】解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为π3,正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M,
根据图形的对称性得:面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4,
由几何概率的计算公式可得,随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率P=,
故选:B.
已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax,(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|:|MN|=1:,则a的值等于( )
A. B. C.1 D.4
知识点:3.抛物线
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】作出M在准线上的射影,根据|KM|:|MN|确定|KN|:|KM|的值,进而列方程求得a.
【解答】解:抛物线C:y2=ax,(a>0)的焦点,
设M在准线上的射影为K,
由抛物线的定义知|MF|=|MK|,
∴|KM|:|MN|=1:,
则|KN|:|KM|=2:1,
∴kFN==﹣=﹣2,
∴a=4.
故选:D.
设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
知识点:3.导数在研究函数中的应用
C
【考点】正弦函数的定义域和值域.
【分析】由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,k∈z,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得m2 >m2+3,由此求得m的取值范围.
【解答】解:由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,k∈z,即 x0=m.
再由x02+[f(x0)]2<m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,
∴m2 >m2+3,∴m2>4.
求得 m>2,或m<﹣2,
故选:C.
在等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n﹣1,则a12+a22+…+an2= .
知识点:5.等比数列的前n项和
【考点】数列的求和;等比数列的前n项和.
【分析】根据条件等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n﹣1,可知a1=1,公比为2,从而有{an2}是以1为首项,4为公比的等比数列,故可求.
【解答】解:由等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n﹣1,可知a1=1,公比为2
∴{an2}是以1为首项,4为公比的等比数列
∴a12+a22+…+an2==
故答案为:.
一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),则ab的最大值为 .
知识点:9.离散型随机变量的分布列、均值与方差
【考点】离散型随机变量的期望与方差.
【分析】利用数学期望的概念,建立等式,再利用基本不等式,即可求得ab的最大值.
【解答】解:由题意,投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1)),
∴3a+2b=2,
∴2≥2,
∴ab≤(当且仅当a=,b=时取等号)
∴ab的最大值为.
故答案为:.
(﹣x)9展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 .
知识点:3.二项式定理
5377
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项展开式中的通项公式,求出展开式的常数项,再令x=1可得展开式中各项系数和,由此求出展开式中除常数项外的其余项的系数和.
【解答】解:(﹣x)9展开式中的通项公式为
Tr+1=•()9﹣r•(﹣1)r•xr=(﹣1)r••29﹣r•,
令=0,求得r=3,
所以展开式中常数项为(﹣1)3••26=﹣5376,
令x=1可得展开式中各项系数之和为(2﹣1)9=1,
所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为1+5376=5377.
故答案为:5377.
如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是C1D的中点,P是棱CC1所在直线上的动点.则下列三个命题:
(1)CD⊥PE
(2)EF∥平面ABC1
(3)V=V
其中正确命题的个数有 .
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
①②③
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】根据标榜的结构特征,结合线面垂直的判定与性质,面面平行的判定与性质,锥体的体积公式等知识点,分别判断3个结论的真假,可得答案.
【解答】解:由CD⊥平面BCC1B1,PE⊂平面BCC1B1,故①CD⊥PE正确;
连接ED1,则EF∥BD1,故EF∥平面ABC1D1,故②EF∥平面ABC1正确;
③V=,V=,故③V=V
正确;
故正确命题的序号为:①②③,
故答案为:①②③.
已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若f(A)=,a=,求△ABC面积的最大值.
知识点:4.和角公式与倍(半)角公式
【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦定理.
【分析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣),由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的单调递增区间.
(2)由题意可解得:sin(2A﹣)=,结合范围0,解得A的值.由余弦定理可得:3≥bc,利用三角形面积公式即可得解.
【解答】解:(1)∵f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+
=cosx(sinx+cosx)﹣cos2x+
=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+
=sin2x﹣×+
=sin(2x﹣),
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的单调递增区间为:[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
(2)∵f(A)=sin(2A﹣)=,解得:sin(2A﹣)=,
∵0,﹣<2A﹣<,
∴解得:2A﹣=,即A=.
∴由余弦定理可得:3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc,
∴S△ABC=bcsinA=bc≤=.
某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,原理毒品”的电视公益广告,期望让更多的市民知道毒品的危害性,禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄阶段性在[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;
(Ⅱ)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人,求[50,60)年龄段抽取的人数;
(Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者,记X为年龄在[50,60)年龄段的人数,求X的分布列及数学期望.
知识点:8.统计与概率的综合问题
【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(I)由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率,由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数.
(II)由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人,由此能求出在[50,60)年龄段抽取的人数.
(III)由已知X=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列及数学期望.
【解答】解:(I)由频率分布直方图知,随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率为:
1﹣10×(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3,
即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为100×0.3=30人. …
(II)由(I)知,年龄段在[40,50),[50,60)的人数分别为100×0.15=15人,100×0.1=10人,
即不小于40岁的人的频数是25人,
∴在[50,60)年龄段抽取的人数为10×=2人. …
(III)由已知X=0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
∴EX=0×+1×+2×=. …
已知矩形ABCD中,,BC=1,现沿对角线BD折成二面角C﹣BD﹣A,使AC=1
(I)求证:DA⊥面ABC
(II)求二面角A﹣CD﹣B的大小.
知识点:6.直线、平面垂直的判定及其性质
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出∠DAB=90°,DA⊥AC,由此能证明DA⊥面ABC.
(Ⅱ)取AB,DB的中点O,N,则直线OC,ON,OA两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的大小.
【解答】证明:(Ⅰ)∵矩形ABCD中,,BC=1,现沿对角线BD折成二面角C﹣BD﹣A,使AC=1,
∴∠DAB=90°,,
∴DC2=AC2+DA2,则DA⊥AC,
又AB∩AC=A,
∴DA⊥面ABC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知DA⊥面ABC,则平面CAB⊥平面ABD,
又AC=BC,∠DAB=90°,取AB,DB的中点O,N,
则直线OC,ON,OA两两垂直,建立如图所示的直角坐标系,
则, ,,
则,,,
设平面BCD的法向量=(x,y,z),
则,取x=,得=(,﹣1,﹣1),
设平面ACD的法向量=(a,b,c),
则,取b=1,得=(0,1,﹣1),
∵=0﹣1+1=0,
∴平面ACD⊥平面BCD,
∴二面角A﹣CD﹣B的大小为.
已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论.
知识点:1.椭圆
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)依题意得=, •2a•2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a,b.即可得出.
(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.分析如下:
方法1:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x0,y0).又点M异于顶点A、B,可得﹣2<x0<2.由P、A、M三点共线可以得P.可得•>0,即可证明.
方法2:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差.|BQ|2﹣|MN|2=(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2,两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,可得=,化简后可得|BQ|2﹣|MN|2<0,即可证明.
【解答】解:(Ⅰ)依题意得=, •2a•2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a=2,b=.
所以椭圆E的方程为=1.
(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.证明如下:
方法1:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x0,y0).
∵M点在椭圆上,∴y02=(4﹣x02). ①
又点M异于顶点A、B,∴﹣2<x0<2.
由P、A、M三点共线可以得P.
从而=(x0﹣2,y0),=.
∴•=2x0﹣4+=(x02﹣4+3y02). ②
将①代入②,化简得•=(2﹣x0).
∵2﹣x0>0,∴•>0,于是∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,
故点B在以MN为直径的圆内.
方法2:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则﹣2<x1<2,﹣2<x2<2,又MN的中点Q的坐标为,
依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差
|BQ|2﹣|MN|2=+﹣ [(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2]
=(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2 ③
直线AP的方程为y=(x+2),直线BP的方程为y=(x﹣2),
而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,
∴=,即y2= ④
又点M在椭圆上,则=1,即y12=(4﹣x12) ⑤
于是将④、⑤代入③,化简后可得|BQ|2﹣|MN|2=(2﹣x1)(x2﹣2)<0.
已知函数f(x)=mx﹣﹣lnx,m∈R函数g(x)=+lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(﹣,).
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)当m=0时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅲ)若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求m的取值范围.
知识点:3.导数在研究函数中的应用
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性得得到cosθ﹣1≥0,求出θ的值即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极大值即可;
(Ⅲ)令F(x)=f(x)﹣g(x),通过讨论m的范围,结合函数的单调性求出F(x)的最大值,从而确定m的范围即可.
【解答】解(Ⅰ)∵g′(x)=,又g(x)在[1,+∞)递增,
只需cosθ﹣1≥0,且θ∈(﹣,),
∴θ=0;
(Ⅱ)当m=0时,f(x)=﹣lnx(x>0),
f′(x)=,
当0<x<2e﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增,
当x>2e﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减,
∴f(x)极大值=f(2e﹣1)=﹣1﹣ln(2e﹣1);
(Ⅲ)令F(x)=f(x)﹣g(x)=mx﹣﹣2lnx,x∈[1,e],
(1)m≤0时,∵x∈[1,e],
∴F(x)=m(x﹣)﹣﹣2lnx<0,
∴在[1,e]上不存在x0,使得f(x0)>g(x0),
(2)m>0时,F′(x)=,
∵x∈[1,e],∴mx2+m>0,2e﹣2x≥0,
∴F′(x)>0,F(x)递增,
∴F(x)max=F(e)=me﹣﹣4>0,
∴m>.
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
知识点:2.坐标系与参数方程
【考点】简单曲线的极坐标方程;轨迹方程.
【分析】(I)先设出点P的坐标,然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程;
(II)根据(I)将求出曲线C1的极坐标方程,分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1,以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求.
【解答】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(,).由于M点在C1上,
所以即
从而C2的参数方程为
(α为参数)
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=.
已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R,且=m,求证:a+2b+3c≥9.
知识点:3.不等式选讲
【考点】带绝对值的函数;不等式的证明.
【分析】(Ⅰ)由条件可得 f(x+2)=m﹣|x|,故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故m=1.
(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)()=1++++1++++1,利用基本不等式证明它大于或等于9.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,故 f(x+2)=m﹣|x|,由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],
即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故m=1.
(Ⅱ)由a,b,c∈R,且=1,
∴a+2b+3c=(a+2b+3c)()
=1++++1++++1
=3++++++≥3+6=9,当且仅当 ======1时,等号成立.
所以a+2b+3c≥9