贵州省遵义市航天高中2017届上学期第五次模拟数学(理)试题

已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P⊕Q={x|x=p﹣q,p∈P,q∈Q},则集合P⊕Q的所有真子集的个数为(  )

A.32              B.31              C.30              D.以上都不对

答案解析:
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知识点:2.集合间的基本关系

B

【考点】子集与真子集.

【分析】由所定义的运算先求出PQ,然后再求集合PQ的所有真子集的个数.

【解答】解:由所定义的运算可知PQ={1,2,3,4,5}

PQ的所有真子集的个数为25﹣1=31.

故选B.

     

关于复数Z=的四个命题:

p1:|Z|=2

p2:Z2=2i

p3:Z的共轭复数为1+i

p4:Z的虚部为﹣1.

其中的真命题为(  )

A.p2,p3              B.p1,p2              C.p2,p4              D.p3,p4

答案解析:
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知识点:1.数系的扩充和复数的概念

C

【考点】复数相等的充要条件.

【分析】复数Z==﹣1﹣i,再利用复数的有关概念及其运算即可判断出结论.

【解答】解:复数Z===﹣1﹣i.

p1|Z|==2,因此不正确;

p2:Z2=2i,正确;

p3:Z的共轭复数为﹣1+i,因此不正确;

p4:Z的虚部为﹣1.正确.

其中的真命题个数为2.

故选:C.

     

如图所示的程序框图,其功能是输入x的值,输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有(  )

A.2个              B.3个              C.4个              D.5个

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知识点:1.算法与程序框图

A

【考点】程序框图.

【分析】由已知的程序框图,我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值,结合输入的x值与输出的y值相等,我们分类讨论后,即可得到结论.

【解答】解:由题意得该程序的功能是:

计算并输出分段函数y=的值,

输入的x值与输出的y值相等,

|x|≤1时,x=x2,解得x=0,或x=1,

|x|>1时,x=ln|x|,无解.

故满足条件的x值共有2个.

故选:A.

     

已知函数f(x)=sinπx和函数g(x)=cosπx在区间[0,2]上的图象交于A,B两点,则△OAB面积是(  )

A.              B.              C.              D.

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知识点:6.三角函数的图像与性质

A

【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象.

【分析】由sinπx=cosπx=sin(),x∈[0,2],可解得πx=+2kπ,kZ,可解得坐标:A(),B(,﹣),求得直线AB所在的方程为:y﹣=﹣(x﹣),联立方程y=0,可解得OC=,即可求得OAB面积.

【解答】解:如图所示:sinπx=cosπx=sin(),x∈[0,2]

可解得:πx=π﹣(+2kπ,kZ(无解),或πx=+2kπ,kZ

可解得:x=+k,kZ,且x∈[0,2]

x=,或

解得坐标:A(),B(,﹣).

解得直线AB所在的方程为:y﹣=﹣(x﹣),联立方程y=0,可解得:x=,及OC=

SOAB=SOAC+SCOB==

故选:A.

     

都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=成立的是(  )

A. =﹣              B.              C. =2              D.

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知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)

A

【考点】平行向量与共线向量.

【分析】根据向量共线定理,可得若+=成立,则向量共线且方向相反,对照各个选项并结合数乘向量的含义,可得本题答案.

【解答】解:由+=得若=﹣=,即,则向量共线且方向相反,

因此当向量共线且方向相反时,能使+=成立,

对照各个选项,可得B项中向量的方向相同或相反,

C项中向量向量的方向相同,

D项中向量的方向互相垂直.

只有A项能确定向量共线且方向相反.

故选:A

     

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a1=0,则下列式子中数值不能确定的是(  )

A.              B.              C.              D.

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知识点:5.等比数列的前n项和

D

【考点】等比数列的通项公式.

【分析】根据已知的等式变形,利用等比数列的性质求出公比q的值,然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式,即可找出四个选项中数值不能确定的选项.

【解答】解:由8a2+a1=0,得到

,故A不正确;

=,故B不正确;

,故C不正确;

不是定值,故D正确.

故选:D.

     

若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为(  )

A.1              B.2              C.              D.3

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知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划

D

【考点】简单线性规划.

【分析】作出不等式组对于的平面区域,根据z=2x+y的最小值为4,利用数形结合即可得到结论.

【解答】解:作出不等式组对于的平面区域如图:

z=2x+y的最小值为4,即2x+y=4,

且y=﹣2x+z,则直线y=﹣2x+z的截距最小时,z也取得最小值,

则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方,

;,解得

即A(1,2),

此时A也在直线y=﹣x+b上,

即2=﹣1+b,

解得b=3,

故选:D

     

一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(  )

A.1              B.2              C.3              D.4

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知识点:2.空间几何体的三视图和直观图

B

【考点】球内接多面体;由三视图求面积、体积;球的体积和表面积.

【分析】由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.

【解答】解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则

8﹣r+6﹣r=

r=2.

故选:B.

     

函数y=4cosx﹣e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(  )

A.              B.              C.              D.

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知识点:15.函数的图像

A

【考点】函数的图象.

【分析】先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性,排除一些选项,在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案.

【解答】解:函数y=4cosx﹣e|x|

f(﹣x)=4cos(﹣x)﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f(x),

函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数,图象关于y轴对称,排除BD,

又f(0)=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3,

只有A适合,

故选:A.

     

若将圆x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M,则在网内随机放一粒豆子,落入M的概率是(  )

A.              B.              C.              D.

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知识点:3.几何概型

B

【考点】几何概型;定积分在求面积中的应用.

【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积,再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积,代入几何概率的计算公式可求.

【解答】解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为π3,正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M,

根据图形的对称性得:面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4,

由几何概率的计算公式可得,随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率P=

故选:B.

     

已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax,(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|:|MN|=1:,则a的值等于(  )

A.              B.              C.1              D.4

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知识点:3.抛物线

D

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】作出M在准线上的射影,根据|KM||MN|确定|KN||KM|的值,进而列方程求得a.

【解答】解:抛物线C:y2=ax,(a0)的焦点

设M在准线上的射影为K,

由抛物线的定义知|MF|=|MK|

∴|KM||MN|=1:

|KN||KM|=2:1,

kFN==﹣=﹣2,

a=4.

故选:D.

     

设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是(  )

A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)              B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)              C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)              D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

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知识点:3.导数在研究函数中的应用

C

【考点】正弦函数的定义域和值域.

【分析】由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,kz,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得m2 m2+3,由此求得m的取值范围.

【解答】解:由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,kz,即 x0=m.

再由x02+[f(x0]2m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|

m2 m2+3,m24.

求得 m2,或m﹣2,

故选:C.

     

在等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n﹣1,则a12+a22+…+an2=  .

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知识点:5.等比数列的前n项和

【考点】数列的求和;等比数列的前n项和.

【分析】根据条件等比数列{an}中,已知a1+a2++an=2n﹣1,可知a1=1,公比为2,从而有{an2}是以1为首项,4为公比的等比数列,故可求.

【解答】解:由等比数列{an}中,已知a1+a2++an=2n﹣1,可知a1=1,公比为2

∴{an2}是以1为首项,4为公比的等比数列

a12+a22++an2==

故答案为:

     

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),则ab的最大值为  .

答案解析:
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知识点:9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

【考点】离散型随机变量的期望与方差.

【分析】利用数学期望的概念,建立等式,再利用基本不等式,即可求得ab的最大值.

【解答】解:由题意,投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c(0,1)),

3a+2b=2,

22

ab(当且仅当a=,b=时取等号)

ab的最大值为

故答案为:

     

﹣x)9展开式中除常数项外的其余项的系数之和为  .

答案解析:
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知识点:3.二项式定理

5377

【考点】二项式系数的性质.

【分析】利用二项展开式中的通项公式,求出展开式的常数项,再令x=1可得展开式中各项系数和,由此求出展开式中除常数项外的其余项的系数和.

【解答】解:(﹣x)9展开式中的通项公式为

Tr+1=•(9﹣r•(﹣1)r•xr=(﹣1)r•29﹣r

=0,求得r=3,

所以展开式中常数项为(﹣1)3•26=﹣5376,

令x=1可得展开式中各项系数之和为(2﹣1)9=1,

所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为1+5376=5377.

故答案为:5377.

     

如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是C1D的中点,P是棱CC1所在直线上的动点.则下列三个命题:

(1)CD⊥PE          

(2)EF∥平面ABC1

(3)V=V

其中正确命题的个数有  .

答案解析:
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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

①②③

【考点】棱柱的结构特征.

【分析】根据标榜的结构特征,结合线面垂直的判定与性质,面面平行的判定与性质,锥体的体积公式等知识点,分别判断3个结论的真假,可得答案.

【解答】解:由CD平面BCC1B1,PE平面BCC1B1,故CDPE正确;

连接ED1,则EFBD1,故EF平面ABC1D1,故EF平面ABC1正确;

V=,V=,故V=V

正确;

故正确命题的序号为:①②③

故答案为:①②③

     

已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若f(A)=,a=,求△ABC面积的最大值.

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知识点:4.和角公式与倍(半)角公式

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦定理.

【分析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣),由2kπ﹣2x﹣2kπ+,kZ,解得f(x)的单调递增区间.

(2)由题意可解得:sin(2A﹣)=,结合范围0,解得A的值.由余弦定理可得:3bc,利用三角形面积公式即可得解.

【解答】解:(1)f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+

=cosx(sinx+cosx)﹣cos2x+

=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+

=sin2x﹣×+

=sin(2x﹣),

由2kπ﹣2x﹣2kπ+,kZ,解得f(x)的单调递增区间为:[kπ﹣,kπ+],kZ.

(2)f(A)=sin(2A﹣)=,解得:sin(2A﹣)=

0,﹣2A﹣

解得:2A﹣=,即A=

由余弦定理可得:3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc2bc﹣bc=bc,

SABC=bcsinA=bc=

     

某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,原理毒品”的电视公益广告,期望让更多的市民知道毒品的危害性,禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄阶段性在[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;

(Ⅱ)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人,求[50,60)年龄段抽取的人数;

(Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者,记X为年龄在[50,60)年龄段的人数,求X的分布列及数学期望.

答案解析:
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知识点:8.统计与概率的综合问题

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.

【分析】(I)由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率,由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数.

(II)由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人,由此能求出在[50,60)年龄段抽取的人数.

(III)由已知X=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列及数学期望.

【解答】解:(I)由频率分布直方图知,随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率为:

1﹣10×(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3,

即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为100×0.3=30人. …

(II)由(I)知,年龄段在[40,50),[50,60)的人数分别为100×0.15=15人,100×0.1=10人,

即不小于40岁的人的频数是25人,

[50,60)年龄段抽取的人数为10×=2人. …

(III)由已知X=0,1,2,

P(X=0)=

P(X=1)=

P(X=2)=

X的分布列为

X

0

1

2

P

EX=0×+1×+2×=. …

     

已知矩形ABCD中,,BC=1,现沿对角线BD折成二面角C﹣BD﹣A,使AC=1

(I)求证:DA⊥面ABC

(II)求二面角A﹣CD﹣B的大小.

答案解析:
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知识点:6.直线、平面垂直的判定及其性质

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.

【分析】(Ⅰ)推导出DAB=90°,DAAC,由此能证明DA面ABC.

(Ⅱ)取AB,DB的中点O,N,则直线OC,ON,OA两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的大小.

【解答】证明:(Ⅰ)矩形ABCD中,,BC=1,现沿对角线BD折成二面角C﹣BD﹣A,使AC=1,

∴∠DAB=90°,

DC2=AC2+DA2,则DAAC,

又ABAC=A,

DA面ABC.

解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知DA面ABC,则平面CAB平面ABD,

又AC=BC,DAB=90°,取AB,DB的中点O,N,

则直线OC,ON,OA两两垂直,建立如图所示的直角坐标系,

设平面BCD的法向量=(x,y,z),

,取x=,得=(,﹣1,﹣1),

设平面ACD的法向量=(a,b,c),

,取b=1,得=(0,1,﹣1),

=0﹣1+1=0,

平面ACD平面BCD,

二面角A﹣CD﹣B的大小为

     

已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论.

答案解析:
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知识点:1.椭圆

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(Ⅰ)依题意得= •2a•2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a,b.即可得出.

(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.分析如下:

方法1:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x0,y0).又点M异于顶点A、B,可得﹣2x02.由P、A、M三点共线可以得P.可得0,即可证明.

方法2:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差.|BQ|2|MN|2=(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2,两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,可得=,化简后可得|BQ|2|MN|20,即可证明.

【解答】解:(Ⅰ)依题意得= •2a•2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a=2,b=

所以椭圆E的方程为=1.

(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.证明如下:

方法1:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x0,y0).

M点在椭圆上,y02=(4﹣x02). 

又点M异于顶点A、B,﹣2x02.

由P、A、M三点共线可以得P

从而=(x0﹣2,y0),=

=2x0﹣4+=(x02﹣4+3y02). 

代入,化简得=(2﹣x0).

2﹣x00,0,于是MBP为锐角,从而MBN为钝角,

故点B在以MN为直径的圆内.

方法2:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),

则﹣2x12,﹣2x22,又MN的中点Q的坐标为

依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差

|BQ|2|MN|2=+ [(x1﹣x22+(y1﹣y22]

=(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2 

直线AP的方程为y=(x+2),直线BP的方程为y=(x﹣2),

而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,

=,即y2= 

又点M在椭圆上,则=1,即y12=(4﹣x12) 

于是将代入,化简后可得|BQ|2|MN|2=(2﹣x1)(x2﹣2)0.

     

已知函数f(x)=mx﹣﹣lnx,m∈R函数g(x)=+lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(﹣).

(Ⅰ)求θ的值;

(Ⅱ)当m=0时,求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅲ)若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求m的取值范围.

答案解析:
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知识点:3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性得得到cosθ﹣10,求出θ的值即可;

(Ⅱ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极大值即可;

(Ⅲ)令F(x)=f(x)﹣g(x),通过讨论m的范围,结合函数的单调性求出F(x)的最大值,从而确定m的范围即可.

【解答】解(Ⅰ)g′(x)=,又g(x)在[1,+∞)递增,

只需cosθ﹣10,且θ(﹣),

θ=0;

(Ⅱ)当m=0时,f(x)=﹣lnx(x0),

f′(x)=

当0x2e﹣1时,f′(x)0,f(x)递增,

当x2e﹣1时,f′(x)0,f(x)递减,

f(x)极大值=f(2e﹣1)=﹣1﹣ln(2e﹣1);

(Ⅲ)令F(x)=f(x)﹣g(x)=mx﹣﹣2lnx,x∈[1,e]

(1)m0时,x∈[1,e]

F(x)=m(x﹣)﹣﹣2lnx0,

[1,e]上不存在x0,使得f(x0g(x0),

(2)m0时,F′(x)=

x∈[1,e]mx2+m0,2e﹣2x0,

F′(x)0,F(x)递增,

F(x)max=F(e)=me﹣﹣40,

m

     

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程;

(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.

答案解析:
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知识点:2.坐标系与参数方程

【考点】简单曲线的极坐标方程;轨迹方程.

【分析】(I)先设出点P的坐标,然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程;

(II)根据(I)将求出曲线C1的极坐标方程,分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1,以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求.

【解答】解:(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上,

所以

从而C2的参数方程为

(α为参数)

(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.

射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin

射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=

     

已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)若a,b,c∈R,且=m,求证:a+2b+3c≥9.

答案解析:
答案及解析:

知识点:3.不等式选讲

【考点】带绝对值的函数;不等式的证明.

【分析】(Ⅰ)由条件可得 f(x+2)=m﹣|x|,故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故m=1.

(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)()=1++++1++++1,利用基本不等式证明它大于或等于9.

【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=m﹣|x﹣2|,mR,故 f(x+2)=m﹣|x|,由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1]

|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故m=1.

(Ⅱ)由a,b,cR,且=1,

a+2b+3c=(a+2b+3c)(

=1++++1++++1

=3++++++3+6=9,当且仅当 ======1时,等号成立.

所以a+2b+3c9