集合P={x|>0},Q={x|y=},则P∩Q=( )
A.(1,2] B.[1,2] C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) D.[1,2)
知识点:3.集合的基本运算
A
【考点】其他不等式的解法;交集及其运算.
【分析】利用不等式的解法求出集合P,函数的定义域求出集合Q,然后求解交集即可.
【解答】解:集合P={x|>0}={x|x>1或x<﹣3},
Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2},
P∩Q={x|1<x≤2}=(1,2].
故选:A.
下面四个条件中,使x>y成立的充分不必要的条件是( )
A. B.x>y﹣1 C.x2>y2 D.x3>y3
知识点:5.充分条件与必要条件
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:由>>0,得:x>y>0,是x>y的充分不必要条件,正确;
由x>y﹣1,推不出x>y,错误;
由x2>y2,得:|x|>|y|,推不出x>y,错误;
由x3>y3能得到x>y,反之也成立,是充分必要条件,错误;
故选:A.
已知f(1+logax)=.若f(4)=3,则a=( )
A. B. C. D.2
知识点:13.函数与方程
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用函数的解析式,转化为方程组,求解即可.
【解答】解:f(1+logax)=.f(4)=3,
可得:,解得x=2,a=,
故选:C.
已知直线l1:(a+1)x+y+4=0与直线l2:2x+ay﹣8=0平行.则a=( )
A.1或﹣2 B. C.1 D.﹣2
知识点:1.直线的倾斜角、斜率与方程
C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】利用l1∥l2,可得a(a+1)﹣2=0,求出a,再进行验证即可.
【解答】解:因为l1∥l2,所以a(a+1)﹣2=0,解得a=1或a=﹣2,当a=﹣2时,l1与l2重合,
故选C.
若向量,满足:,,,则,的夹角为( )
A. B. C. D.
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】利用两组训练的数量积为0,转化求解向量的夹角即可.
【解答】解:由条件得:,
∴,故,的夹角为,
故选:D.
已知圆M:x2+y2﹣2ax=0(a<0)截直线x﹣y=0所得线段的长度是,则圆M与圆N:(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
知识点:4.直线与圆的位置关系
B
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可.
【解答】解:圆M圆心坐标为(a,0),由题意得且a<0,解得a=﹣2,
则,
故选B.
已知点P(0,3),抛物线C:y2=4x的焦点为F,射线FP与抛物线c相交于点A,与其准线相交于点B,则|AF|:|AB|=( )
A. B. C.1:2 D.1:3
知识点:3.抛物线
B
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用抛物线的简单性质以及抛物线的定义,化简求解即可.
【解答】解:过A作AA'垂直于C的准线,设直线PF的倾斜角为α,则tanα=﹣3,
由抛物线的定义得|AF|=|AA'|,
所以,
故选:B.
△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,则S△ABC的最大值为( )
A. B. C. D.
知识点:9.正弦定理和余弦定理(解三角形)
D
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由正弦定理化简已知等式可求,进而可求B,由余弦定理,基本不等式可求,进而利用三角形面积公式即可得解.
【解答】解:由正弦定理知:,即,
故,
所以,又,
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2+ac≥3ac,
∴,
故,
故选:D.
设f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3﹣1,则f(1﹣x)>0的解集为( )
A.(﹣∞,0)∪(1,2) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(0,1)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
知识点:5.奇偶性与周期性
A
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】当x>0时,f(x)=x3﹣1,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0.利用f(x)为R上的奇函数,函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(﹣1)=0,即可得出f(1﹣x)>0的解集.
【解答】解:当x>0时,f(x)=x3﹣1,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0
∵f(x)为R上的奇函数,∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(﹣1)=0
∵f(1﹣x)>0,
∴﹣1<1﹣x<0或1﹣x>1,
∴x<0或1<x<2,
故选A.
若一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的表面积为( )
A.34π B. C. D.114π
知识点:2.空间几何体的三视图和直观图
C
【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.
【分析】作出直观图,求出三棱锥的外接球的半径,即可求出几何体的外接球的表面积.
【解答】解:如图,设底面正△BCD外接圆的圆心O1,其半径;
设侧面等腰△ACD外接圆的圆心O2,
则在Rt△O2CH中,r2=O2A=O2C=4﹣O2H,
由得,
所以,
则此三棱锥的外接球的表面积为,
故选C.
甲、乙、丙、丁、戊5名学生各自在3门数学选修课:数学史、数学建模和几何画板中任选一门学习,则这三门课程都有同学选修且甲不选修几何画板的概率为( )
A. B. C. D.
知识点:2.古典概型
D
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】求出5名学生任选一门的做法,根据条件概率求出三门课程都有同学选修的做法以及三门课程都有同学选修且甲不选几何画板的做法,求出满足条件的概率即可.
【解答】解:5名学生任选一门的做法为35=243,
三门课程都有同学选修的做法为,
三门课程都有同学选修且甲不选几何画板的做法为:,
所求的概率为,故选D.
设函数f(x)=exsinπx,则方程xf(x)=f'(x)在区间(﹣2014,2016)上的所有实根之和为( )
A.2015 B.4030 C.2016 D.4032
知识点:3.导数在研究函数中的应用
B
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用函数的导数,转化方程的根为个函数的图象的交点,利用对称性求解即可.
【解答】解:由f'(x)=ex(sinπx+πcosπx)及xf(x)=f'(x)
得xexxinπx=ex(sinπx+πcosπx)⇒(x﹣1)sinπx=πcosπx,
由此方程易知sinπx≠0,cosπx≠0,则有,
由于y=tanπx与的图象均关于点(1,0)对称,
则在区间(﹣2014,2016)上的所有实根之和为2015×2=4030,
故选:B.
已知,,则tanα= .
知识点:3.三角函数的诱导公式
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】由已知求出sinα的值,结合α的范围可求出cosα的值,则答案可求.
【解答】解:由,得,又,
∴,故.
故答案为:.
设x,y满足约束条件,则4x•2y的最大值为 .
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
16
【考点】简单线性规划.
【分析】画出可行域,利用目标函数转化为2x+y的最大值,利用几何意义求解即可.
【解答】解:作出可行域易知目标函数z=2x+y过两直线x﹣y+1=0,4x﹣y﹣2=0的交点A时取最大值,
由
可得A(1,2)则2x+y的最大值为4,4x•2y=22x+y的最大值为16.
故答案为:16.
的展开式各项系数的和为﹣3,则展开式中x2的系数为 .
知识点:3.二项式定理
﹣80
【考点】二项式定理的应用.
【分析】令x=1,得各项系数的和为(a+1)(1﹣2)5=﹣(a+1)=﹣3,解得a.再利用二项式定理的通项公式即可得出.
【解答】解:令x=1,得各项系数的和为(a+1)(1﹣2)5=﹣(a+1)=﹣3,则a=2,
的展开式的通项为Tr+1==x2r﹣5(r=0,1,2,3,4,5).
要得到x2,中的2x与相乘,得到﹣160x2;与相乘,得到80x2;
x2的系数为﹣160+80=﹣80.
故答案为:﹣80.
双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,A,B是C左支上两点且,∠ABF2=90°,则双曲线C的离心率为 .
知识点:2.双曲线
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设,则,在Rt△ABF2中,由勾股定理解得x=a,在Rt△F1BF2中,x2+(2a+x)2=(2c)2,将x=a即可求出离心率.
【解答】解:设,则,在Rt△ABF2中,|AB|=4x,|BF2|=2a+x,|AF2|=2a+3x,
由勾股定理得(4x)2+(2a+x)2=(2a+3x)2,解得x=a,
在Rt△F1BF2中,x2+(2a+x)2=(2c)2,将x=a代入得10a2=4c2,
即.
故答案为:.
已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足a1=1,Sn+1=4Sn+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:<2n﹣1.
知识点:7.数列的通项
【考点】数列递推式.
【分析】(1)由Sn+1=4Sn+1,Sn=4Sn﹣1+1,n≥2时,可得:an+1=4an,又可得a2=4a1.因此利用等比数列的通项公式即可得出.
(2)利用.再利用等比数列的求和公式即可得出.
【解答】(1)解:由Sn+1=4Sn+1,Sn=4Sn﹣1+1,n≥2时,可得:an+1=4an,
又a1=1,a2+a1=4a1+1,可得a2=4,∴a2=4a1.
∴对于n∈N*,an+1=4an,因此数列{an}是等比数列,首项为1,公比为4.
∴an=4n﹣1.
(2)证明:∵.
∴<1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1.
因此<2n﹣1.
如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E,M分别是线段BC,CC1,AB的中点,AA1=2AB=4.
(1)求证:DE∥平面A1MC;
(2)在线段AA1上是否存在一点P,使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
知识点:5.直线、平面平行的判定及其性质
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)连接AC1,设O为A1C,AC1的交点,连接OM,OE,MD,推导出四边形MDEO为平行四边形,从而DE∥MO.由此能证明DE∥平面A1MC.
(2)以D为原点,DA为x轴,DB为y轴,过D作平面ABC的垂线为z轴,建系,利用向量法能求出存在点P,使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为,此时PA=1.
【解答】证明:(1)如图,连接AC1,设O为A1C,AC1的交点,
由题意可知O为AC1的中点,连接OM,OE,MD,
∵MD,OE分别为△ABC,△ACC1中的AC边上的中位线,
∴,,∴,
∴四边形MDEO为平行四边形,∴DE∥MO.
又∵DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,
∴DE∥平面A1MC.
解:(2)以D为原点,DA为x轴,DB为y轴,过D作平面ABC的垂线为z轴,建系,
设PA=a,则D(0,0,0),,,,B(0,1,0),
则,,
设平面PBC的法向量为,
则解得.
同理,,,
设平面BCA1的法向量为,
则解得.
如图易得所求二面角为锐角,设为θ,
则,
解得a=1或(舍),
所以存在点P,使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为,此时PA=1.
为了了解培训讲座对某工厂工人生产时间(生产一个零件所用的时间,单位:分钟)的影响.从工厂随机选取了200名工人,再将这200名工人随机的分成A,B两组,每组100人.A组参加培训讲座,B组不参加.培训讲座结束后A,B两组中各工人的生产时间的调查结果分别为表1和表2.
表1:
生产时间
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
人数
30
40
20
10
表2
生产时间
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
人数
10
25
20
30
15
(1)甲、乙两名工人是随机抽取到的200名工人中的两人,求甲、乙分在不同组的概率;
(2)完成图3的频率分布直方图,比较两组的生产时间的中位数的大小和两组工人中个体间的差异程度的大小;(不用计算,可通过直方图直接回答结论)
(3)完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“工人的生产时间”与参加培训讲座有关?
生产时间小于70分钟
生产时间不小于70分钟
合计
A组工人
a=
b=
B组工人
c=
d=
合计
n=
下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
.
知识点:5.独立性检验的基本思想及其初步运用
【考点】独立性检验;频率分布直方图.
【分析】(1)利用组合知识,可得甲、乙分在不同组的概率;
(2)根据所给数据完成图3的频率分布直方图,比较两组的生产时间的中位数的大小和两组工人中个体间的差异程度的大小;
(3)根据所给数据得出列联表,即可得出结论.
【解答】解:(1)甲、乙两工人分在不同组的概率为.
(2)如图5.
A组生产时间的中位数小于B组生产时间的中位数.A组工人个体间的差异程度小于B组.
(3)列联表如下:
| 生产时间小于70分钟 | 生产时间不小于70分钟 | 合计 |
A组工人 | a=70 | b=30 | 100 |
B组工人 | c=35 | d=65 | 100 |
合计 | 105 | 95 | n=200 |
.
由于K2>10.828,所以有99.9%的把握认为“工人的生产时间”与参加培训讲座有关.
已知椭圆E:中,a=b,且椭圆E上任一点到点的最小距离为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)如图4,过点Q(1,1)作两条倾斜角互补的直线l1,l2(l1,l2不重合)分别交椭圆E于点A,C,B,D,求证:|QA|•|QC|=|QB|•|QD|.
知识点:1.椭圆
【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)设M(x,y)为椭圆E上任一点,由,椭圆E的方程可化为,通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为.即可求出椭圆的方程.
(2)直线l1,l2不重合,则直线l1,l2的斜率均存在,设直线l1:y=k(x﹣1)+1,点A(x1,y1),C(x2,y2).
直线l2:y=﹣k(x﹣1)+1.联立消去y,由韦达定理以及弦长公式化简,可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|.
【解答】(1)解:设M(x,y)为椭圆E上任一点,由,
则椭圆E的方程可化为,
从而.
由于a>b>1,则当x=﹣1时,,
故椭圆E的标准方程为.
(2)证明:由于直线l1,l2不重合,则直线l1,l2的斜率均存在,
设直线l1:y=k(x﹣1)+1,点A(x1,y1),C(x2,y2).
易知直线l2:y=﹣k(x﹣1)+1.,
由得(1+2k2)x2+4k(1﹣k)x+2(1﹣k)2﹣4=0,
由韦达定理有:,,
则;
同理可得,
从而有|QA|•|QC|=|QB|•|QD|.
设函数f(x)=k(x﹣1)﹣2lnx(k>0).
(1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;
(2)设函数g(x)=xe1﹣x(其中e为自然对数的底数),若对任意给定的s∈(0,e),均存在两个不同的ti∈()(i=1,2),使得f(ti)=g(s)成立,求实数k的取值范围.
知识点:3.导数在研究函数中的应用
【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)由题意可知:当f(x)=0,则k(x﹣1)﹣2lnx=0,即(x﹣1)=lnx,若k>0,当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点(1,0)时,则直线为曲线y=lnx在x=1处的切线,则,即可求得实数k的值;
(2)g(x)=xe1﹣x,求导知g'(x)=(1﹣x)e1﹣x,令g'(x)≥0,求得函数的单调递增区间,g'(x)<0,求得函数的单调递减区间,求得其值域,对任意m∈(0,1),方程f(x)=m在区间上有两个不等实根,根据函数的单调性求得函数的最小值,h(x)=﹣x+2lnx+2﹣2ln2,求导,利用导数求得其单调区间及最大值,则,即可求得实数k的取值范围.
【解答】解:(1)由于f(1)=0,则由题意,f(x)有且只有一个零点x=1,
令f(x)=0,k(x﹣1)﹣2lnx=0,则(x﹣1)=lnx
若k>0,当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点(1,0)时,
直线为曲线y=lnx在x=1处的切线,
则,即k=2,
综上,实数k的值为2.
(2)由g(x)=xe1﹣x可知g'(x)=(1﹣x)e1﹣x,
令g'(x)≥0,解得:x≤1,
g'(x)<0,解得:x>1,
即g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减,
从而g(x)在(0,e)上的值域为(0,1);
则原题意等价于:对任意m∈(0,1),方程f(x)=m在区间上有两个不等实根,
,
由于f(x)在上不单调,则,且f(x)在上单调递减,在上单调递增,
则函数f(x)的最小值为,
记h(x)=﹣x+2lnx+2﹣2ln2,则h′(x)=﹣1+=,
由h′(x)>0解得:x<2,
从而函数h(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,最大值为h(2)=0,即;
另一方面,由;
综上,实数k的取值范围为.
已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ,点P为圆O上任意一点.
(1)若射线OP交圆C于点Q,且其方程为θ=,求|PQ|得长;
(2)已知D(2,π),若圆O和圆C的交点为A,B,求证:|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值.
知识点:2.坐标系与参数方程
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)θ=代入ρ=4sinθ,可得ρ=2,即可求出|PQ|;
(2)求出A,B,D的直角坐标,利用两点间的距离公式,即可得出结论.
【解答】(1)解:θ=代入ρ=4sinθ,可得ρ=2,
∴|PQ|=2﹣2;
(2)证明:由题意,A(﹣,1),B(,1),D(0,﹣2),
设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PD|2=(x+)2+(y﹣1)2+(x﹣)2+(y﹣1)2+x2+(y+2)2=3(x2+y2)+12=24,为定值.
若a>0,b>0且2ab=a+2b+3.
(1)求a+2b的最小值;
(2)是否存在a,b使得a2+4b2=17?并说明理由.
知识点:4.基本不等式
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(1)利用已知条件用b表示的a,化简所求表达式,利用基本不等式求解最值即可.
(2)利用基本不等式求出表达式的最小值,判断是否存在a,b即可.
【解答】解:(1)由条件知a(2b﹣1)=2b+3>0,.所以.≥2
当且仅当2b﹣1=2,即,a=3时取等,所以a+2b的最小值为6.
(2)因为,当且仅当,a=3时取等,
所以a2+4b2≥18,故不存在a,b使得a2+4b2=17.