已知集合,则( )
A. B. C. D.
知识点:2.集合间的基本关系
【知识点】集合的包含关系判断及应用.A1
【答案解析】B 解析:∵集合M={x|y=lg(2﹣x)}=(﹣∞,2),
N={y|y=+}={0},故选B.
【思路点拨】由题意先化简集合M,N;再确定其关系.
下列说法正确的是( )
A.命题“若,则”的否命题为“若,则”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题“”的否定是“”
D.命题“若,则”的逆否命题为真命题
知识点:5.充分条件与必要条件
【知识点】四种命题.A2
【答案解析】D 解析:对于A,该命题的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,∴A错误;
对于B,x=﹣1时,x2﹣5x﹣6=0,充分性成立,x2﹣5x﹣6=0时,x=﹣1或x=6,必要性不成立,∴是充分不必要条件,B错误;
对于C,该命题的否定是:“x∈R,均有x2+x﹣1≥0,∴C错误.
对于D,x=y时,sinx=siny成立,∴它的逆否命题也为真命题,∴D正确.
故选:D.
【思路点拨】本题考查了四种命题之间的关系,也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断,是基础题.
若复数,则 ( )
A. B. C. D.不存在
知识点:3.复数代数形式的四则运算
【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4
【答案解析】B 解析:∵=
=i2014=(i2)1007=(﹣1)1007=﹣1.∴ln|z|=ln1=0.故选:B.
【思路点拨】利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式,然后利用虚数单位i的运算性质化简,代入ln|z|得答案.
在等差数列中,,则数列的前项和等于( )
A. B. C. D.
知识点:3.等差数列的前n项和
【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.D2
【答案解析】A 解析:在等差数列{an}中,∵2a3+a9=3,∴2(a1+2d)+(a1+8d)=3,
∴3a1+12d=3,∴a1+4d=1,∴数列{an}的前9项和:S9==9(a1+4d)=9.
故选:A.
【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.
已知,则的值为( )
A. B. C. D.
知识点:4.和角公式与倍(半)角公式
【知识点】二倍角的余弦.C6
【答案解析】A 解析:∵,∴sin2α=1﹣cos2α=,
则=1﹣2sin2α+sin2α=1﹣sin2α=1﹣=.故选:A.
【思路点拨】由cosα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值,原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简合并后,将sin2α的值代入计算即可求出值
的值为 ( )
A. B. C. D.
知识点:6.微积分的基本定理
【知识点】定积分.B13
【答案解析】C 解析:=(ex+)|=e=e+,
故选:C
【思路点拨】根据微积分定理直接求函数的积分.
已知是定义在上的奇函数,当时,,则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
知识点:5.奇偶性与周期性
【知识点】函数单调性的性质;二次函数的性质.B5
【答案解析】C 解析:,对称轴为x=﹣1,∴在[0,+∞)上单调递增;∵是奇函数,∴在(﹣∞,0]上也单调递增,∴在定义域R上单调递增;∴由原不等式得:2﹣x2<x,解得x<﹣2,或x>1;
∴实数x的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞).故选C.
【思路点拨】根据已知条件可得在R上单调递增,所以由得,2﹣x2<x,解该不等式即得原不等式中实数x的取值范围.
设函数,则下列关于函数的说法中正确的是( )
A.是偶函数 B.的最小正周期为
C.在区间上是增函数 D.的图象关于点对称
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
【知识点】复合函数的单调性;函数奇偶性的判断.B3 B4
【答案解析】C解析:∵f()=|sin[2×()+]|=,f()=|sin[2×()+]|=0,f()≠f(),∴f(x)不是偶函数,选项A错误;
∵f(x+)=|sin[2×(x+)+)|=|sin(2x+π+)|=|sin(2x+)|,
∴f(x)的最小正周期为,选项B错误;
当x∈时,2x∈,2x+∈,
∴g(x)=sin(2x+)在上为减函数,f(x)=|sin(2x+)|在上为增函数,选项C正确;
函数f(x)=|sin(2x+)|的图象恒在x轴上方,
∴f(x)的图象不关于点对称,选项D错误.
故选:C.
【思路点拨】举例说明A不正确;由f(x+)=f(x)说明B不正确;由x得范围得到相位的范围,说明g(x)=sin(2x+)在上为减函数,f(x)=|sin(2x+)|在上为增函数;由f(x)=|sin(2x+)|的图象恒在x轴上方说明f(x)的图象不关于点对称.
已知圆的半径为,为该圆的两条切线,为两切点,那么的最小值为 ( )
A. B. C. D.
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
【知识点】圆方程的综合应用;平面向量数量积的运算.F3 H4
【答案解析】D 解析:如图所示:设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α,
PO=,,
==x2(1﹣2sin2α)==,
令=y,则,即x4﹣(1+y)x2﹣y=0,由x2是实数,
所以△=[﹣(1+y)]2﹣4×1×(﹣y)≥0,y2+6y+1≥0,
解得或.故()min=﹣3+2.此时.
【思路点拨】要求的最小值,我们可以根据已知中,圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,结合切线长定理,设出PA,PB的长度,和夹角,并将表示成一个关于X的函数,然后根据求函数最值的办法,进行解答.
已知函数在定义域内有零点,则实数的取值范围
是 ( )
A. B. C. D.
知识点:13.函数与方程
【知识点】函数的零点.B9
【答案解析】B 解析:函数f(x)=+lnx﹣1(a>0)的定义域为(0,+∞),
∵函数f(x)=+lnx﹣1(a>0)在定义域内有零点,
∴方程+lnx﹣1=0有解,即a=x﹣xlnx的值域,a′=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,
则a≤1﹣1ln1=1,故0<a≤1,故选B.
【思路点拨】将函数的零点化为方程的解,进而转化为函数的值域,问题得解.
已知正实数满足,若对任意满足条件的都有恒成立,则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
知识点:4.基本不等式
【知识点】函数恒成立问题.B14
【答案解析】A 解析:因为正实数满足,而4xy≤(x+y)2,代入原式得(x+y)2﹣(x+y)﹣2≥0,解得(x+y)≥2或(x+y)≤﹣1(舍去)
由恒成立得恒成立,令t=x+y∈[2,+∞),
则问题转化为m时恒成立,因为函数y=在[1,+∞)递增,
所以要使原式成立只需m=2.故选A.
【思路点拨】由可得,再令t=x+y,则a恒成立,求出t的范围,问题即转化为求函数a=的最小值问题.
对于函数和区间,如果存在,使得,则称是函数与在区间上的“互相接近点”。现给出两个函数:
①; ②; ③;
④。
则在区间上存在唯一“相互接近点”的是 ( )
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
知识点:1.函数的概念及其表示
【知识点】函数的最值及其几何意义;命题的真假判断与应用.B3 A2
【答案解析】D 解析:对于①:由f(x)﹣g(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,显然,当x=1时,取得最小值1,符合题意,显然只有x=1符合“相互接近点”定义,所以①符合题意;
对于②:由f(x)﹣g(x)=﹣x﹣2=,则当x>0时,|f(x)﹣g(x)|恒成立,故x>0时不存在“相互接近点”,所以②不符合题意;
对于③:令h(x)=x﹣lnx,则h′(x)=1﹣,令h′(x)>0,则x>1,令h′(x)<0,得0<x<1,所以函数h(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)递增,所以x=1时,h(x)min=h(1)=1,故当x>0时,存在唯一的“相互接近点”,故③符合题意;
对于④:因为当x>0时,e﹣x>0,则e﹣x+1>1,而此时,故f(x)﹣g(x)>1当x>0时恒成立,故在(0,+∞)不存在“相互接近点”,所以④不符合题意.
故选D.
【思路点拨】由“互相接近点”的概念可知,只要是能找到一个x0,使得|f(x0)﹣g(x0)|≤1即可,因此只需构造函数h(x)=f(x)﹣g(x),利用单调性求其最大值或最小值和1比较,则问题即可解决.
已知向量,且三点共线,则= 。
知识点:3.平面向量的基本定理及其坐标表示
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;三点共线.F2
【答案解析】 解析:向量,
∴
又A、B、C三点共线,故(4﹣k,﹣7)=λ(﹣2k,﹣2),∴k=
故答案为
【思路点拨】利用三点共线得到以三点中的一点为起点,另两点为终点的两个向量平行,利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k.
数列满足,则通项 。
知识点:7.数列的通项
【知识点】数列递推式.D1
【答案解析】 解析:∵数列{an}满足a1=1,an+1=,n∈N*,
∴==,又,
∴{}是首项为1,公差为2的等差数列,∴=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,
∴an=.故答案为:.
【思路点拨】由已知得{}是首项为1,公差为2的等差数列,从而能求出an=.
已知集合表示的平面区域为,若在区域内任取一点,若,则的取值范围是 。
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
【知识点】简单线性规划.E5
【答案解析】 解析:作出其平面区域如图:
u==2+,可看成点P(x,y)与点A(﹣1,﹣1)构成的直线的斜率,
∵kAC=1,kAB==5,∴1≤≤5,∴3≤2+≤7,故答案为[3,7].
【思路点拨】作出其平面区域,化简u==2+,可看成点P(x,y)与点A
(﹣1,﹣1)构成的直线的斜率,从而求u的取值范围.
若函数为定义在上的减函数,函数的图象关于点对称, 满足不等式为坐标原点,则当时,的取值范围为 。
知识点:3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划
【知识点】平面向量数量积的运算;函数单调性的性质.B3 F3
【答案解析】 解析:设P(x,y)为函数y=f(x﹣1)的图象上的任意一点,关于(1,0)对称点为(2﹣x,﹣y),
∴f(2﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1),即f(1﹣x)=﹣f(x﹣1).
∴不等式f(x2﹣2x)+f(2y﹣y2)≤0化为f(x2﹣2x)≤﹣f(2y﹣y2)=f(1﹣1﹣2y+y2)=f(y2﹣2y),
∵函数y=f(x)为定义在R上的减函数,∴x2﹣2x≥y2﹣2y,化为(x﹣1)2≥(y﹣1)2,
即或.又∵1≤x≤4,画出可行域.
M(1,2),N(x,y),O为坐标原点,∴•=x+2y=t.化为.
由图可知:当直线经过点A(4,﹣2)时,t取得最小值0.
当直线经过点B(4,4)时t取得最大值4+2×4,即12.
综上可得:•的取值范围是[0,12].故答案为:[0,12].
【思路点拨】设P(x,y)为函数y=f(x﹣1)的图象上的任意一点,关于(1,0)对称点为(2﹣x,﹣y),可得f(2﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1),即f(1﹣x)=﹣f(x﹣1).由于不等式f(x2﹣2x)+f(2y﹣y2)≤0化为f(x2﹣2x)≤﹣f(2y﹣y2)=f(y2﹣2y),再利用函数y=f(x)为定义在R上的减函数,可得x2﹣2x≥y2﹣2y,即或.由于1≤x≤4,可画出可行域.由M(1,2),N(x,y),O为坐标原点,利用数量积运算可得•=x+2y=t.进而得出答案.
(本题10分)已知集合。
(1)求集合;
(2)若不等式的解集为,求的值。
知识点:3.集合的基本运算
【知识点】交集及其运算;一元二次方程的根的分布与系数的关系.A1B5
【答案解析】(1);(2).
解析:(1)A={x|x2<4}={x|﹣2<x<2},B=={x|<0}={x|﹣3<x<1},
∴A∩B={x|﹣2<x<1};
(2)由题意及(1)有﹣3,1是方程2x2+ax+b=0的两根
∴
∴.
【思路点拨】(1)分别求出集合A和集合B中的不等式的解集,然后求出两集合的交集即可;(2)由题意和(1)中的结论可知﹣3和1为方程的两个根,把﹣3和1分别代入方程中得到关于a与b的方程,求出方程的解即可得到a与b的值.
(本题12分)
已知函数。
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。
知识点:4.和角公式与倍(半)角公式
【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.C5 C3
【答案解析】(1);(2)当时,;当时,。
解析:(1)化简可得
=
=…(2分)
=…(4分)
所以…(7分)
(2)因为,所以…(9分)
所以,所以﹣1≤f(x)≤2,
当,即时,f(x)min=﹣1,
当,即时,f(x)max=2,…(14分)
【思路点拨】(1)由三角函数的公式化简可得f(x)=,由周期公式可得答案;(2)由x的范围可得的范围,进而可得的范围,可得f(x)的范围,结合三角函数在该区间的单调性,可得最值及对应的x值.
(本题12分)
已知等差数列的前项和为,且。
(1)求数列的通项公式;
(2)对任意,将数列中不大于的项的个数记为,求数列的前项和。
知识点:2.等差数列及其性质
【知识点】数列的求和;等差数列的前n项和;等差数列的性质.D2 D4
【答案解析】(1);(2)。
解析:(1)由已知得:解得a1=7,d=7,
所以通项公式为an=7+(n﹣1)•7=7n.
(2)由,得n≤72m﹣1,即.∵=49
∴{bm}是公比为49的等比数列,∴.
【思路点拨】(1)由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1,d,从而可求通项;2)由(1)及已知可得,则可得,可证{bm}是等比数列,代入等比数列的求和公式可求。
(本题12分)
已知向量
(1)若,求的值;
(2)设的三边满足,且边所对应的角为,若关于的方程有且仅有一个实数根,求的值。
知识点:4.平面向量的数量积(夹角、模)
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.C7F3
【答案解析】(1);(2)或。
解析:(1)∵,
∴
==
又∵,
∴;
由于,
可得,
∴,
由此可得:
==;
(2)∵b2=ac,
∴由余弦定理可得:,
∵B是三角形的内角,
∴,即
由(I)可得=,
∵由,可得,
∴,
当x∈(0,]时,y=为单调增函数;
当x∈(,]时,y=为单调减函数.
当时,y==1;
当时,y==﹣,此时只有一个x与y=对应,
即直线y=m和有一个公共点.
∴若关于x的方程有且仅有一个实数根,实数m的值为1或﹣.
【思路点拨】(1)根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简,得到,结合同角三角函数的关系算出,再进行配角,利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小.
(2)根据余弦定理与基本不等式算出,从而可得,即函数y==的定义域为.再利用正弦函数的图象研究y=的单调性,可得当或时,有唯一的x与y=对应,由此即可得到满足条件的实数m的值.
(本题12分)
已知数列是公差不为零的等差数列,,且成等比数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和,求证:。
知识点:2.等差数列及其性质
【知识点】数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合.D2 D3 D5
【答案解析】(1);(2)见解析
解析:(1)解:设数列{an}的公差为d(d≠0),由已知得:
即:﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
解之得:﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
所以an=2n﹣5,(n≥1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(2)证明:∵.
∴,①
.②
①﹣②得:=
得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
∵,
∴Tn<﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
∵,
∴Tn<Tn+1(n≥2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)
而T1>T2,所以T2最小
又,所以
综上所述,.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)
【思路点拨】(1)利用待定系数法,根据a10=15,且a3、a4、a7成等比数列,建立方程组,可求首项与公差,从而可得数列{an}的通项公式;(2)先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和为Tn,再确定其单调性,即可证得结论.
(本题12分)
已知函数。
(1)当时,求的极值;
(2)设,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围。
知识点:3.导数在研究函数中的应用
【知识点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.B12
【答案解析】(1)当时,有极大值,且极大值=;当时,有极小值,且极小值=。(2)。
解析:(1)
当时,有极大值,且极大值=;
当时,有极小值,且极小值=。
(2)其在上递减,在上递增,所以
对于任意的,不等式恒成立,则有即可。
即不等式对于任意的恒成立。
①当时,,由得;由得,所以在上是增函数,在上是减函数,,所以符合题意。
②当时,,由得;由得,所以在上是增函数,在上是减函数,,所以符合题意。
③当时,,由得;当时,,由得或;由得,所以在上是增函数,易知可取到正值,这与对于任意的时矛盾。同理当时也不成立。
综上,的取值范围为。
【思路点拨】(Ⅰ)当a=1时,函数f(x)=x2﹣3x+lnx,.令f'(x)=0得:.列出表格即可得出函数的单调性极值;(II)对于任意的x1∈(0,+∞),x2∈R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立,则有f(x)max≤g(x)min.利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可.