给出下列关于互不相同的直线
、
、
和平面
、
的四个命题：
①
若
，
，点
，则
与
不共面；
② 若
、
是异面直线，
，
，且
，
，则
；
③ 若
，
，
，则
；
④ 若
，
，
，
，，则，
其中为真命题的是
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质
C
定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，例如
是
上的平均值函数，
就是它的均值点．现有函数
是
上的平均值函数，则实数
的取值范围是 ．
知识点：新定义题
（本小题满分12分）设
是锐角三角形，三个内角
，
，
所对的边分别记为
，
，
，并且
.
（Ⅰ）求角
的值；
（Ⅱ）若
，
，求
，
（其中
）．
知识点：5.三角函数的求值、化简与证明
(Ⅰ)
，
，
． ………………………… 6分
(Ⅱ) 
，
，
又
，
，
，
，
．………………………… 12分
（本小题满分12分）
已知数列
满足
，
，令
.
（Ⅰ）证明：数列
是等差数列；
（Ⅱ）求数列
的通项公式．
知识点：2.等差数列及其性质
(Ⅰ) 
，
，即
，
是等差数列．………6分
(Ⅱ)
，
，………………………… 10分
，
．……………………
…… 12分
（本小题满分12分）
为等腰直角三角形，
，
，
、
分别是边
和
的中点，现将
沿
折起，使面
面
，
、
分别是边
和
的中点，平面
与
、
分别交于
、
两点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）求
的长．
知识点：10.空间角与距离
(Ⅰ)因为
、
分别是边
和
的中点，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
因为平面，
平面
，平面
平面
所以
又因为，
所以
. …………………………………… 4分
(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
，令
，解得
，
，则
设平面
的一个法向量为
，则
，
，令
，解得
，则
，
所以二面角
的余弦值为
…………………………… 8分
（Ⅲ）法（一）
，设
则
，解得
，
………………… 12分
法（二）取
中点
，连接
交
于点
，连接
，
与
相似，
得
，易证
，所以
…………… 12分
（本小题满分12分）如图，抛物线
：
与椭圆
：
在第一象限的交点为
，
为坐标原点，
为椭圆的右顶点，
的面积为
.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过
点作直线
交于
、
两点，射线
、
分别交于
、
两
点，记
和
的面积分别为
和
，问是否存在直线
，使得
？若存在，求出直线
的方程；
若不存在，请说明理由．
知识点：1.椭圆
(Ⅰ)因为
的面积为
,所以
，……………2分
代入椭圆方程得
，
抛物线的方程是：
……………4分
(Ⅱ) 存在直线
: 
符合条件
解：显然直线
不垂直于
轴，故直线的方程可设为
，
与联立得
.
设
,则
.
……………6分
由直线OC的斜率为
,故直线
的方程为
，与
联立得
，同理
，
所以
………8分
可得
要使
，只需
………10分
即
解得
，
所以存在直线: 符合条件………………………… 12分
（本小题满分12分）设函
数
，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）证明：当
时，
；
（Ⅲ）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
(Ⅰ)
，
，
，
． ………………………………4分
(Ⅱ)
，
设
，
，
，
在
上单调递增，
，
在上单调递增，
．
．………………………………8分
（Ⅲ）设
，
，
(Ⅱ) 中知
，
，
，
①当
即
时，
，
在单调递增，
，成立．
②当
即
时，
，
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减
，不成立．
综上，
．………………………………12分
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形
是⊙
的内接四边形，延长
和
相交于点
，
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
为⊙的直径，且
，
求
的长．
知识点：1.几何证明选讲
(Ⅰ)由
，
，得
与
相似，
设
则有
，
所以
………………………………5分
(Ⅱ)
，
………………………………10分
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
是参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程
.
（Ⅰ）判断直线
与曲线
的位置关系；
（Ⅱ）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围．
知识点：2.坐标系与参数方程
(Ⅰ)直线
的普通方程为
曲线
的直角坐标系下的方程为
圆心
到直线的距离为
所以直线与曲线
的位置关系为相离. ……………
5分
(Ⅱ)设
，
则
.……………1
0分
，
，则
B．
C．
D．
的前
项和为
，且
=
，
=
，则公差
等于
B．
C．
D．
中，
，
，
，则
，
B．
C．
D．
上为减函数的是
B．
C．
D．
的解所在的区间为
B．
C．
D．
的图象向左平移
个单位，所得到的函数图象关于
轴对称，则
的一个可能取值为
B．
C．
D．
、
满足条件
，则
的最小值为
B．
C．
D．
为等腰直角三角形，
，
为斜
边
的高，点
在射线
上，
的最小值为
B．
D．
中，
，
，
和
都是等边三角形，则异面直线
与
所成角
：
的焦点为
，准
线为
，
是
上一点，
是直线
与
的一个交点，若
，则
=
B． 
C． 
D． 
在
上存在导数
，
，有
，在
上
，若
，则实数
的取值范围为
B． 
C． 
D．
中，
，
，则数列
项和等于 ．
，
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率
，则
．
.
；
，使得
，求实数
的取值范围．
