(15分)如图所示,放在水平面上的质量为m的物体,与水平面间的动摩擦因数为μ,物体在水平恒力F1的作用下在水平面上做匀速直线运动。今若再对物体施加一个大小与F1相等的力F2。求:
(1)要使物体仍沿原方向做匀速直线运动,则力F2必须满足什么条件?
(2)又若物体运动的位移为s,要使合外力对物体做的功最多,则F2又需满足什么条件?
知识点:相互作用
解析:
要使物体在受到F2的作用后,仍能维持原速度方向做直线运动,所加力F2必与原速度方向在同一竖直平面内(否则物体将偏离原运动方向而运动),即F2应与F1在同一竖直平面内。加上力F2后,物体的受力如图所示,设F2与F1之间的夹角为θ,以F表示F1和F2的大小。由于竖直方向受力平衡,则有:
① 2分
依题意知,未加力F2时有: ② 2分
则物体此时所受的合力为: ③ 2分
由F1=F2=F联立①②③解得: ④ 3分
由数学知识可知:(其中) ⑤ 3分
(1)要使物体继续做匀速直线运动,则应有F合=0,结合本题情况,θ可在0°~360°范围内取值,故由⑤式可以得到满足F合=0的θ有两个值θ1和θ2,即
θ1和θ2的方位关系如图所示。
(2)对于一定的s,要合外力对物体所做的功最多,由于合外力与s在同一直线上,故可见只需合外力的值尽可能大即可。由⑤式可知,能使F合得到最大值的θ可以有两个值θ3和θ4,
θ3和θ4的方位关系如图所示,取θ3时,合外力对物体做正功,功值最大;取θ4时,合外力对物体做负功,功值也为最大。
(15分)在倾角α=30°的斜坡底端,一小石子以v0的初速抛出,初速度方向与水平面的夹角用θ表示,如图所示,则:
(1)若v0=10m/s,θ0=60°,求石子在斜坡上的落点离抛出点的距离;
(2)θ为多大时,石子沿斜坡方向的射程最大?
(3)θ为多大时,石子垂直落到斜坡上。
知识点:运动的合成和分解
(1)设石子在斜坡上的落点离抛出点的距离为s,则
在水平方向上 (2分)
在竖直方向上 (2分)
解得 (2分)
(2) (2分)
当时,射程最大
(3)设石子垂直落到斜坡上的速度为vt,则有速度关系式
水平方向上 (2分)
竖直方向上 (2分)
得 (2分)
由第(1)问中的位移关系式可得
解得 (4分)
(15分)用细杆把质量为M的圆环固定起来,其顶部套有两个质量均为m的小环,它们之间无摩擦。现给两小环一个微小扰动,令两小环分别从左、右两边下滑(不计初速)。试讨论:m和M满足何关系时,大环有上升或下降的趋势。
知识点:曲线运动
设小环滑到方位角θ时的瞬时速度为v。
隔离右环, 4分
解得:N=mg(2-3cosθ) ① 2分
要大环有上升的趋势,须满足 2Ncosθ ≥ Mg ② 2分
解①②得大环上升的条件 ≥ 2分
讨论:
再讨论:将①②联立后得不等式 6mcos2θ - 4mcosθ + M ≤ 0 ,其解为
≤ cosθ ≤ ③ 2分
当m<M时,大环只有下降趋势;当m=M时,大环在唯一位置(θ= arccos)有上升趋势,其它位置均只有下降趋势;当m>M时,大环在一个范围内(这范围由③决定)有上升趋势,其它位置则有下降趋势。 3分
(15分)如图所示,A物的质量为2×104kg,放在倾角为30º的斜面上,轮轴B的质量为1×104kg,放置在水平面上,A、B用绕过滑轮C的细线相连接,绳CE处于水平位置。现在轮轴的边缘上绕一细绳,绳的一端D施加一水平力F,设滑轮C和绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦不计。重物A与斜面间的动摩擦因数为0.7,轮轴B与水平面间的摩擦系数为0.5,图中R=2r。试求;欲使此系统保持平衡状态,力F的取值范围为多少?
知识点:相互作用
本题考查一般物体的平衡条件:同时满足力的平衡条件和力矩平衡条件。
(1)物A放在斜面上,摩擦角
故当沿斜面方向的绳的拉力T=0时A也能静止在斜面上,即作用在轮轴边缘D处的水平力最小值为
(2)当水平力F由零逐渐增大时,A有沿斜面上滑趋势,考虑当A受到最大静摩擦力时,由摩擦定律和力的平衡条件(受力如图)有:
所以
这时假设轮轴能平衡,以H为转轴由力矩平衡条件有
而 R=2r
所以
B受的静摩擦力 (3)
而
故轮轴B不能保持平衡,由此可见,欲使系统处于平衡状态,A不可能达到极限平衡状态。由(3)式有:
(4)
又 (5)
所以 ,
而
所以A能平衡。
综上所述,F的取值范围是
(15分)北京时间
(1)此卫星在围绕地球的椭圆轨道上从近地点A运动到远地点B的时间约为几天(设π2=10.保留两位数字)
(2)证明:VA·(L1+R)= VB(L2+R) 其中VA和VB分别是“亚太六号”通信卫星在近地点A和远地点B的速度;L1+R和L2+R分别是“亚太六号”通信卫星在近地点A和远地点B到地球球心的距离(提示:根据椭圆的对称性可知近地点A和远地点B所在轨道处的极小的弧形应是半径相等的圆弧的弧)
(3)试计算“亚太六号”通信卫星的发射速度V的大小是多少km/s(保留两位数字)
知识点:万有引力
(1)万有引力提供向心力
=mω2r=m()2r (1分)
整理得== (1分)
由开普勒定律及上面推证知任一椭圆中上式同样适用:k=== (1分)
由图知半长轴r=(209+2×6400+49991)/2 km (1分)
=31500km(或315×105m) (1分)
T= (1分)
=s=0.64天 (1分)
从近地点A运行到远地点B的时间t=T/2=0.32天 (1分)
(2)设近地点A和远地点B所在轨道处的极小圆弧的半径为ρ
依题意和万有引力提供向心力得:
fA==m(1分)
fB==m(1分)
联立解得VA·(L1+R)=VB(L2+R) (1分)
(3)由机械能守恒及上面的证明得:
mV-=mV-(1分)
mV-=mV-(1分)
VA·(L1+R)= VB(L2+R)
联立解得V=(2分)
代入数据得V0=10.6km/s (2分)
(20分)有一个摆长为l的摆(摆球可视为质点,摆线的质量不计),在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处(x<l)的C点有一固定的钉子,如图所示,当摆摆动时,摆线会受到钉子的阻挡.当l一定而x取不同值时,阻挡后摆球的运动情况将不同。现将摆拉到位于竖直线的左方(摆球的高度不超过O点),然后放手,令其自由摆动,如果摆线被钉子阻挡后,摆球恰巧能够击中钉子,试求x的最小值.
知识点:曲线运动
摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动,若摆球的质量为,则摆球受重力和摆线拉力的作用,设在这段时间内任一时刻的速度为,如图所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角,则有方程式
(1)
运动过程中机械能守恒,令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角,取点为势能零点,则有关系
(2)
摆受阻后,如果后来摆球能击中钉子,则必定在某位置时摆线开始松弛,此时=0,此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度,摆线与竖直线的夹角,由式(1)得
, (3)
代入(2)式,求出
(4)
要求作斜抛运动的摆球击中点,则应满足下列关系式:
, (5)
(6)
利用式(5)和式(6)消去,得到
(7)
由式(3)、(7)得到
(8)
代入式(4),求出
(9)
越大,越小,越小,最大值为,由此可求得的最小值:
,
所以
(10)
评分标准:本题20分。式(1)1分,式(2)3分,式(3)2分,式(5)、(6)各3分,式(8)3分,式(9)1分,式(10)4分。