一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进行质量检查．若某车间这一天生产128件产品，则从该车间抽取的产品件数为 ．
知识点：1.随机抽样
8
已知两条不同的直线
，两个不同的平面
，在下列条件中，可以得出
的是
．（填序号）
①
，
，
；
②，
，
；
③
，
，
；④，， ．
知识点：4.空间点、直线、平面之间的位置关系
④
定理：三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线（欧拉线）上，且
，其中外心O是三条边的中垂线的交点，重心G是三条边的中线的交点，垂心H是三条高的交点．如图，在△ABC中，
，
，M是边BC的中点，AH⊥BC（N是垂足），O是外心，G是重心，H是垂心，
，则根据定理可求得
的最大值是
．
知识点：5.平面向量应用举例
（本小题满分14分）
已知
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
知识点：2.任意角的三角函数
解：
（1）由
，
，得
，
所以
，……………………………………………………………4分
.
……………………………………………………………6分
（2）由
，…………………………………………8分
又，所以
，因此
，……………………………10分
，………………………………………………………………………………12分
.………………………………14分
（本小题满分14分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．
（1）根据频率分布直方图完成以上表格；
（2）用组中值估计这10 000人月收入的平均值；
（3）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2000，3500）（元）月收入段应抽出多少人？
知识点：2.用样本估计总体
解：（1）
………………………………………………………6分
（2）所求平均值为
1250×0.10＋1750×0.20＋2250×0.25＋2750×0.25＋3250×0.15＋3750×0.05=2400（元）．
……………………………………………………………………………………………10分
（3）应该抽出100×（0.25＋0.25＋0.15）=65（人）．………………………………14分
（本小题满分14分）
某种产品有一等品、二等品、次品三个等级，其中一等品和二等品都是正品．现有6件该产品，从中随机抽取2件来进行检测．
（1）若6件产品中有一等品3件、二等品2件、次品1件．
①抽检的2件产品全是一等品的概率是多少？
②抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少？
（2）如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于
，则6件产品中次品最多有多少件？
知识点：2.古典概型
解：（1）记“抽取的2件产品全是一等品”为事件
，
“抽取的2件产品中恰有1件是二等品”为事件
．
从6件产品中随机抽取2件，有5+4+3+2+1=15种抽法．……………………………4分
从3件一等品中随机抽取2件，有2+1=3种抽法，故
；……………6分
抽取的2件产品中恰有1件是二等品的抽法有8种，故
．………………8分
（2）设6件产品中有
件次品
，
N)．
当
或
时，抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率等于1；
当
时，则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为
；
当
时，则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为
；
当
时，则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为
；
当
时，则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为
．
…………………………………………………………………………………………………13分
于是，的最大值等于3．
答：抽检的2件产品全是一等品的概率是
；抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是
．若抽检的2件产品中至多有1件次品的概率不小于
，则6件产品中次品最多有3件．……………………………………………………………………………………………14分
（本小题满分16分）
已知函数
（其中
）的相邻对称轴之间的距离为
，且该函数图象的一个最高点为
．
（1）求函数
的解析式和单调增区间；
（2）若
，求函数
的最大值和最小值．
知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B
解：（1）由题意，
，
，得
，
所以
，………………………………………………………………2分
再由
，且
，
得
，所以
的解析式为
．……………………………4分
由
，……………………………………………………6分
得
，
所以的单调增区间为
．……………………………8分
（2）因为
，所以
，………………………………………10分
所以，
，……………………………………………………………12分
，
所以
，
．………………………………………………………16分
（本小题满分16分）
如图，点
是单位圆与
轴正半轴的交点，点
，
，
，
，
，
．
（1）若
，求点
的坐标；
（2）若四边形
为平行四边形且面积为
，求
的最大值．
知识点：4.和角公式与倍（半）角公式
解：（1）由点
，
，可知
，
．
又
，
，所以
，
于是由
可得
．………………………………………4分
，
，
因
，故点
的坐标为
．…………………………………………………8分
（2）
，
．因，故
．………………10分
因
为平行四边形，故
．
()．…………………14分
当
时，取最大值
．…………………………………………16分
（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：
，圆O1的圆心为O1
，且与圆O交于点
，过点P且斜率为k
的直线l分别交圆O，O1于点A，B．
（1）若
，且
，求圆O1的方程；
（2）过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O，O1于点C，D．当m为常数时，试判断
是否是定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
知识点：3.圆的方程
解：（1）
时，直线l：
，即
，
由题意得：
，………………………………………2分
整理得，
，解得
或
（舍去），………………………………4分
所以圆O1的方程为
．………………………………………………6分
（2）设
，
，
，
．
直线l：
，即
，
由
消去y得，
，
由韦达定理得
，
（法2即有
），
得
．………………………………………………………………………8分
由
消去y得，
，
由韦达定理得
，
（法2即有
）
得
．…………………………………………………………………10分
所以，
．…………12分
同理可得，
，…………………………………………………14分
所以，
为定值．…………………………………16分
．
，
，其中
R，若
，则实数
在幂函数
的图象上，则该函数的解析式
．
，则过点
且与直线
垂直的直线方程为 ．
，为了运行如图所示的伪代码后输出的y值为
，则应输入的
的扇形内画一个内切圆，若向扇形内任投一点，则该点落在该内切圆内的概率是 ．
中，若
，
，
，则
．
上一点
作圆
的两条切线
，
．若
对称，则点
的距离为
．
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，若
上为增函数，则
的最大值是
．
上至少有三个不同点到直线l：
的距离为
，则直线l的斜率的取值范围为 ．