四棱锥ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD的中点,若AC+BD=3,AC·BD=1,则EG2+FH2=___________.
解析:易知四边形EFGH是平行四边形,而平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和,
知识点:4.空间点、直线、平面之间的位置关系
略
在工程技术中,常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数,双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质,请类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 .
知识点:1.合情推理与演绎推理
略
已知函数,将其图象向左移个单位,并向上移个单位,得到函数的图象.
(1)求实数的值;
(2)设函数,求函数的单调递增区间和最值.
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
略
设,将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求.
知识点:6.数列的求和
(1),其极值点为, 2分
它在内的全部极值点构成以为首项,为公差的等差数列, 4分
所以; 6分
(2), 8分
所以,
,
相减,得,
所以. 12分
略
已知函数,其中.
(1)若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率 为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
知识点:2.定义域与值域
(1)若,则对一切,,
这与题设矛盾,又,故.
而令
当时,单调递减;当时,单调递增,故当时, 取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(2)由题意知,
令则
令,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
故当,即
从而,又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .
综上所述,存在使成立.且的取值范围为.
略
在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1.
(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实;
(2)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值.
知识点:5.直线、平面平行的判定及其性质
(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB//ED,
设F为线段CE的中点,H是线段CD的中点,
连接FH,则,∴, ……………3分
∴四边形ABFH是平行四边形,∴,
由平面ACD内,平面ACD,平面ACD;……………6分
(2)取AD中点G,连接CG、EG,则CGAD,
又平面ABED平面ACD,∴CG平面ABED,
∴即为直线CE与平面ABED所成的角,……………9分
设为,则在中,
有. ……………12分
略
(本小题满分14分)已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若在区间上单调递增,试求的取值或取值范围;
(3)设函数,,,如果存在,对任意都有成立,试求的最大值.
知识点:3.单调性与最大(小)值
解答:(1)当时,,∴,
令,则,, ………………2分
、和的变化情况如下表
+ | 0 | 0 | + | ||
极大值 | 极小值 |
即函数的极大值为1,极小值为; ………………5分
(2),
若在区间上是单调递增函数,
则在区间内恒大于或等于零,
若,这不可能,
若,则符合条件,
若,则由二次函数的性质知
,即,这也不可能,
综上可知当且仅当时在区间上单调递增; ……………10分
(3)由,,
∴,,
当时,令,………………①,
由,∴的图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得, ……………11分
又,
∴不等式①恒成立的充要条件是,即,
∵,∴,且,∴,
依题意这一关于的不等式在区间上有解,
∴,即,,
∴,又,故,
从而. ………………14分
略