已知二次函数
和“伪二次函数”
（
、
、
），
（I）证明：只要
，无论取何值，函数
在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数图象上任意取不同两点
，线段
中点的横坐标为
，记直线的斜率为
，
（i）求证：
；
（ii）对于“伪二次函数”
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.
知识点：3.导数在研究函数中的应用
解：（I）如果
为增函数,
则
(1)恒成立,
当
时恒成立, 
(2) 
由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.
则函数
不可能总为增函数. --------3分
（II）（i）
=
.
由
,
则
--------5分
（ii）不妨设
,对于“伪二次函数”:
=
,
(3) --------7分
由(ⅰ)中(1)
,如果有(ⅰ)的性质，则
,
(4)
比较(3)( 4)两式得
，
即：
，(4)
--------10分
不妨令
，
(5)
设
，则
，
∴
在
上递增， ∴
.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,
.
∴“伪二次函数”
不具有(ⅰ)的性质. -------12分
略