一个工厂有若干车间,今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进行质量检查.若某车间这一天生产128件产品,则从该车间抽取的产品件数为 .
知识点:1.随机抽样
8
已知两条不同的直线,两个不同的平面,在下列条件中,可以得出的是 .(填序号)
①,,; ②,,;
③,,;④,, .
知识点:4.空间点、直线、平面之间的位置关系
④
定理:三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线(欧拉线)上,且,其中外心O是三条边的中垂线的交点,重心G是三条边的中线的交点,垂心H是三条高的交点.如图,在△ABC中,,,M是边BC的中点,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心, ,则根据定理可求得的最大值是 .
知识点:5.平面向量应用举例
(本小题满分14分)
已知,.
(1)求的值; (2)求的值.
知识点:2.任意角的三角函数
解: (1)由,,得,
所以,……………………………………………………………4分
. ……………………………………………………………6分
(2)由,…………………………………………8分
又,所以,因此,……………………………10分
,………………………………………………………………………………12分
.………………………………14分
(本小题满分14分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图完成以上表格;
(2)用组中值估计这10 000人月收入的平均值;
(3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2000,3500)(元)月收入段应抽出多少人?
知识点:2.用样本估计总体
解:(1)………………………………………………………6分
(2)所求平均值为
1250×0.10+1750×0.20+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400(元).
……………………………………………………………………………………………10分
(3)应该抽出100×(0.25+0.25+0.15)=65(人).………………………………14分
(本小题满分14分)
某种产品有一等品、二等品、次品三个等级,其中一等品和二等品都是正品.现有6件该产品,从中随机抽取2件来进行检测.
(1)若6件产品中有一等品3件、二等品2件、次品1件.
①抽检的2件产品全是一等品的概率是多少?
②抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少?
(2)如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于,则6件产品中次品最多有多少件?
知识点:2.古典概型
解:(1)记“抽取的2件产品全是一等品”为事件,
“抽取的2件产品中恰有1件是二等品”为事件.
从6件产品中随机抽取2件,有5+4+3+2+1=15种抽法.……………………………4分
从3件一等品中随机抽取2件,有2+1=3种抽法,故;……………6分
抽取的2件产品中恰有1件是二等品的抽法有8种,故.………………8分
(2)设6件产品中有件次品,N).
当或时,抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率等于1;
当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为;
当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为;
当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为;
当时,则抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率为.
…………………………………………………………………………………………………13分
于是,的最大值等于3.
答:抽检的2件产品全是一等品的概率是;抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是.若抽检的2件产品中至多有1件次品的概率不小于,则6件产品中次品最多有3件.……………………………………………………………………………………………14分
(本小题满分16分)
已知函数(其中)的相邻对称轴之间的距离为,且该函数图象的一个最高点为.
(1)求函数的解析式和单调增区间;
(2)若,求函数的最大值和最小值.
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
解:(1)由题意,,,得,
所以,………………………………………………………………2分
再由,且,
得,所以的解析式为.……………………………4分
由,……………………………………………………6分
得,
所以的单调增区间为.……………………………8分
(2)因为,所以,………………………………………10分
所以,,……………………………………………………………12分
,
所以,.………………………………………………………16分
(本小题满分16分)
如图,点是单位圆与轴正半轴的交点,点,,,,,.
(1)若,求点的坐标;
(2)若四边形为平行四边形且面积为,求的最大值.
知识点:4.和角公式与倍(半)角公式
解:(1)由点,,可知,.
又,,所以,
于是由可得.………………………………………4分
, ,
因,故点的坐标为.…………………………………………………8分
(2),.因,故.………………10分
因为平行四边形,故.
().…………………14分
当时,取最大值.…………………………………………16分
(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:,圆O1的圆心为O1,且与圆O交于点,过点P且斜率为k的直线l分别交圆O,O1于点A,B.
(1)若,且,求圆O1的方程;
(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O,O1于点C,D.当m为常数时,试判断是否是定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由.
知识点:3.圆的方程
解:(1)时,直线l:,即,
由题意得:,………………………………………2分
整理得,,解得或(舍去),………………………………4分
所以圆O1的方程为.………………………………………………6分
(2)设,,,.
直线l:,即,
由消去y得,,
由韦达定理得,
(法2即有),
得.………………………………………………………………………8分
由
消去y得,,
由韦达定理得,
(法2即有)
得.…………………………………………………………………10分
所以,
.…………12分
同理可得,,…………………………………………………14分
所以,为定值.…………………………………16分