19. （本小题满分14分）已知椭圆
的左焦点为
,离心率为
，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆
截得的线段的长为c，
.
(I)求直线FM的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于
，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
知识点：数学
(I) 
； (II) 
；(III) 
.
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出
的关系，设直线直线
的方程为
，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率
的值； (II)由(I)设椭圆方程为
，直线与椭圆方程联立，求出点
的坐标，由
可求出
，从而可求椭圆方程.(III)设出直线
：
，与椭圆方程联立，求得
，求出
的范围，即可求直线
的斜率的取值范围.
试题解析：(I) 由已知有
，又由
，可得
，
，
设直线的斜率为
，则直线的方程为，由已知有
，解得
.
(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为
，两个方程联立，消去
，整理得
，解得
或
，因为点
在第一象限，可得
的坐标为
，由
，解得
，所以椭圆方程为
(III)设点
的坐标为
，直线
的斜率为
，得
，即
,与椭圆方程联立
，消去
，整理得
，又由已知，得，解得
或
，
设直线
的斜率为
，得
，即
，与椭圆方程联立，整理可得
.
①当
时，有
，因此
，于是
，得
②当
时，有
，因此
，于是
，得
综上，直线的斜率的取值范围是
考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.