已知z=(m+3)+(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） (－3,1) （B）(－1,3) （C）(1,+∞) （D）(－∞, －3)
知识点：1.数系的扩充和复数的概念
A
∴m+3＞0，m－1＜0，∴－3＜m＜1，故选A．
已知集合A={1,2,3}, B={x|(x+1)(x－2)＜0,x∈Z}，则A∪B=
（A）{1} （B）{1,2}
（C）{0,1,2,3} （D）{－1,0,1,2,3}
知识点：3.集合的基本运算
C
，
∴
，∴
，
故选C．
圆x2+y2－2x－8y+13=0的圆心到直线ax+y－1=0的距离为1，则a=
（A）
（B）
（C）
（D）2
知识点：4.直线与圆的位置关系
A
圆x2+y2－2x－8y+13=0化为标准方程为：(x－1)2+(y－4)2=4，
故圆心为(1,4)，
，解得
，
故选A．
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
知识点：1.两个计数原理
B
E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法,故选B．
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
若将函数y=2sin 2x的图像向左平移
个单位长度，则平移后图像的对称轴为
（A）
（B）
（C）
（D）
知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B
B
平移后图像表达式为
，
令
，得对称轴方程：
，
故选B．
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
知识点：1.算法与程序框图
C
第一次运算：
，
第二次运算：
，
第三次运算：
，
故选C．
从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…, xn,y1,y2,…,yn, 构成n个数对( x1, y1), ( x2, y2),…, ( xn, yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
（A）
（B）
（C）
（D）
知识点：3.几何概型
C
由题意得：
在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中
由几何概型概率计算公式知
，∴
，故选C．
已知F1，F2是双曲线E：
的左，右焦点，点M在E上，M F1与x轴垂直，
,则E的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）2
知识点：2.双曲线
A
离心率
，由正弦定理得
．
故选A．
已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)=2－f(x)，若函数
与y= f(x)图像的交点为( x1, y1), ( x2, y2),…, ( xm, ym),则
（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
知识点：15.函数的图像
B
由f(－x)=2－f(x)得f(x)关于(0,1)对称，
而
也关于(0,1)对称，
∴对于每一组对称点
，
∴
，故选B．
α,β是两个平面，m,n是两条线, 有下列四个命题：
①如果m⊥n, m⊥α, n∥β, 那么α⊥β．
②如果m⊥α, n∥α, 那么m⊥n．
③如果α∥β, 
, 那么m∥β．
④如果m∥n, α∥β, 那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有 .（填写所有正确命题的编号）
知识点：4.空间点、直线、平面之间的位置关系
②③④
有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
知识点：2.排列与组合
1和3
由题意得：丙不拿（2，3），
若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，
若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，
故甲（1，3），
若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，b= ．
知识点：1.直线的倾斜角、斜率与方程
1－ln2
的切线为：
（设切点横坐标为
）
的切线为：
∴
解得
∴
．
（本小题满分12分）
Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28．记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．
知识点：2.等差数列及其性质
(Ⅰ)设{an}的公差为d，据已知有7+21d=28，解得d=1.
所以{an}的通项公式为an =n.
∴
，
，
．
(Ⅱ)因为
所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.
（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
知识点：5.条件概率与相互独立事件同时发生的概率
（Ⅰ）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
（Ⅱ）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)= 0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B)，故
P(B|A)=
因此所求概率为
.
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X | 0.85a | a | 1.25a | 1.5 a | 1.75a | 2a |
P | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
EX=0.85a×0.30+ a×0.15+1.25a×0.20+1.5 a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23 a
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23
（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，
，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF折到△
的位置
.
（I）证明：D′ H⊥平面ABCD；
（II）求二面角B－D′ A－C的正弦值.
知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质
（I）由已知得AC⊥BD，AD=CD，又由AE=CF得
，故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′ H.由AB=5，AC=6得DO=BO=
=4.
由EF∥AC得
.所以OH=1，D′ H = DH =3.
于是D′H 2+OH2=32+12=10= D′O 2，
故D′ H⊥OH.
又D′ H⊥EF，而OH∩EF=H，
所以D′ H⊥平面ABCD.
（II）
如图，以H为坐标原点，
的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系H-xyz. 则H(0,0,0)，A(-3,-1,0)，B(0,-5,0)，C(3,-1,0)，D′(0,0,3)，
=(3,-4,0)，
=(6,0,0)，
=(3,1,3).
设m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量，则
即
所以可以取m=(4,3,-5).
设n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量，则
即
所以可以取n=(0, -3, 1).
于是
，
.
因此二面角B－D′ A－C的正弦值是
.
（本小题满分12分）
已知椭圆E:
的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（Ⅰ）当t=4，
时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当
时，求k的取值范围.
知识点：1.椭圆
(Ⅰ)设M(x1,y1)，则由题意知y1＞0.
当t=4时，E的方程为
，A(－2,0).
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为
.因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y－2代入
得7y2－12y=0.
解得y=0或y=
，所以y1=
.
因此△AMN的面积S△AMN=
.
（Ⅱ）由题意t＞3，k＞0，A(
, 0).
将直线AM的方程y=k(x+
)代入
得
(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2－3t=0.
由
得
，故
.
由题设，直线AN的方程为
，故同理可得
，
由2|AM|=|AN|得
，即
(k3－2)t=3k(2k－1).
当
时上式不成立，
因此
.
t＞3等价于
，即
.
由此得
或
，解得
.
因此k的取值范围是
.
（本小题满分12分）
(I)讨论函数
的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex+x+2＞0；
(II)证明：当a∈[0,1)时，函数
有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.
知识点：3.导数在研究函数中的应用
（Ⅰ）f(x)的定义域为(－∞, －2)∪(－2, +∞).
,
且仅当x=0时，f ′ (x)=0，所以f(x)在(－∞, －2), (－2, +∞)单调递增.
因此当x∈ (0, +∞)时，f(x)＞f(0)=－1.
所以(x－2)ex＞－(x+2), (x－2)ex+x+2＞0.
（II）
.
由（I）知，f(x)+a单调递增. 对任意a∈[0,1), f(0)+a=a－1＜0, f(2)+a=a ≥ 0.
因此，存在唯一xa∈(0,2]使得f(xa)+a=0即g′(xa) =0.
当0＜x＜xa时，f(x)+a＜0, g′(x)＜0, g(x)单调递减；
当x＞xa时，f(x)+a＞0, g′(x)＞0, g(x)单调递增.
因此g(x)在x=xa处取得最小值，最小值为
.
于是
，由
, 
单调递增.
所以，由xa∈(0,2], 得
.
因为单调递增，对任意
,存在唯一的xa∈(0,2], a=－f(xa) ∈[0,1),
使得h(a)=λ. 所以h(a)的值域是
.
综上，当a∈[0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是
.
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(I) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
知识点：1.几何证明选讲
（Ⅰ）因为DF⊥EC，所以
，则有
，
，
所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF=∠CBF.
因此∠CGF+∠CBF=180°，所以B，C，G，F四点共圆.
（II）由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连结GB.
由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF=GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，
因此四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍，即
S=2S△GCB=
.
（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为
．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是
（t为参数），l与C交于A、B两点，
，求l的斜率．
知识点：2.坐标系与参数方程
（I）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)
由A,B所对应的极径分别为ρ1, ρ2, 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
ρ2+12ρcosθ+11=0
于是ρ1+ ρ2=－12cosα, ρ1ρ2=11.
.
由
得
, 
，
所以l的斜率为
或
.
，且
，则m=
，则sin2α=
（B）
（C）
（D）
，
，a=1，
，M为不等式f(x)＜2的解集.
．
