知识点：3.集合的基本运算

A

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】由M，N，以及两集合的交集，确定出复数z即可．

【解答】解：∵M={0，2，zi}，i为虚数单位，N={1，3}，M∩N={1}，

∴zi=1，

则z=﹣i．

故选：A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

知识点：4.回归分析的基本思想及其初步应用

B

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】求出横标，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m．

【解答】解：∵ =5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，

∴=54，

∴55×4=20+40+60+70+m，

∴m=80，

故选：B．

【点评】本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数．

知识点：4.直线与圆的位置关系

C

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2，圆心为（1，0），半径r=，

若直线与圆有两个不同的交点，

则圆心到直线的距离d=，

即|1+m|＜2，得﹣2＜1+m＜2，得﹣3＜m＜1，

则﹣3＜m＜1的一个必要不充分条件是m＜1，

故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

D

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】根据即可得出，从而求出m=1，进而求出的坐标，从而可求出在上的投影．

【解答】解：；

∴；

∴m=1；

∴；

即；

，；

∴在上的投影为：

==．

故选D．

【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算，投影的定义及计算公式．

知识点：2.等差数列及其性质

A

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．

【分析】设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d，由条件可得a=4，再由等比数列中项的性质，可得d的方程，解得d=1，求得等比数列的公比为2，首项为2，即可得到数列{bn}的通项公式．

【解答】解：设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d，

可得3a=12，解得a=4，

即成等差数列的三个正数分别为4﹣d，4，4+d，

这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，

可得（4+4）2=（1+4﹣d）（4+d+11），

解方程可得d=1（﹣11舍去），

则b2=4，b3=8，b4=16，即有b1=2，

则bn=2•2n﹣1=2n，

故选：A．

【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质和通项公式，考查运算能力，属于基础题．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

D

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可．

【解答】解：由已知得到可行域如图：则的几何意义表示区域内的点与（0，﹣1）连接的直线斜率，所以与A连接的直线斜率最大，与O连接直线斜率最小，

故则的取值范围为（﹣∞，）；

故选D．

【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是前提，利用目标函数的几何意义求最值是关键，利用了数形结合的思想．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

C

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】该几何体是由一个球去掉．利用球与圆的表面积计算公式即可得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个球去掉．

∴该几何体的表面积=+=π．

故选：C．

【点评】本题考查了球的三视图与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

知识点：1.算法与程序框图

C

【考点】EF：程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，

当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，

当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，

当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，

故输出的b值为32．

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．

知识点：3.等差数列的前n项和

D

【考点】8E：数列的求和．

【分析】先求出等差数列{an}的通项公式，再根据裂项求和即可求出n的值．

【解答】解：设等差数列的公差为d，

则由题意可得a2=a1+d=3，S5=5a1+d=25，

联立解得a1=1，d=2，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

∴==（﹣），

∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），

∴（1﹣）=，

∴1﹣=，

∴2n+1=2017，

∴n=1008，

故选：B

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，以及裂项求和，属于中档题．

知识点：15.函数的图像

B

【考点】3O：函数的图象．

【分析】求出函数的导数，利用导函数的解析式，利用特殊值判断函数的图象即可．

【解答】解：函数f（x）=+sinx+2014，则f′（x）=x+cosx，当x=﹣时，f′（﹣）=﹣，排除C．

当x=时，f′（）=，排除选项D，

x=0时，f′（0）=1，排除A，

故选：B．

【点评】本题考查函数的导数，函数的图象的判断，函数经过的特殊点是解题常用方法．

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

A

【考点】HW：三角函数的最值．

【分析】由周期求得ω，根据角φ的终边经过点（3，），求得φ的值，可得函数的解析式，即可求出f（x）图象的一条对称轴．

【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．

∵角φ的终边经过点（3，），

∴tanφ=，

∵0＜φ＜π，

∴φ=

∴f（x）=sin（2x+），

∴f（x）图象的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，

当k=0时，f（x）图象的一条对称轴为x=，

故选：A．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，属于基础题．

知识点：2.排列与组合

A

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【分析】根据礼品的性质进行分类，若甲乙抽取的是一个笔记本电脑和一个山地车，若两个都是笔记本电脑或两个山地车，根据分类计数原理可得．

【解答】解：若甲乙抽取的一个笔记本电脑和一个山地车，剩下2个礼品，

被剩下的4人中的2个人抽取，有A22A42=24种，

若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两个山地车，剩下2个礼品，

被剩下的4人中的2个人抽取，有A22C42=12种，

根据分类计数原理可得，共有24+12=36种，

故选：A．

【点评】本题考查了分类计数原理，排列组合的实际应用，关键是分类，属于中档题．

知识点：12.绝对值函数与分段函数及其他函数

2

【考点】5B：分段函数的应用．

【分析】利用分段函数化简，由里及外列出方程求解即可．

【解答】解：f（x）=，f（4）=0，f（f（4））=f（0）=1+=，

解得a=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求解，考查计算能力．

知识点：6.微积分的基本定理

15

【考点】DC：二项式定理的应用；67：定积分．

【分析】利用查定积分求得n的值，再利用二项展开式的通项公式求得x2的系数．

【解答】解：n=3dx=3lnx=3，在（x+2+1）n=（x+2+1）3=（+1）6的展开式中，

通项公式为Tr+1=•，令6﹣r=4，可得x2的系数为=15，

故答案为：15．

【点评】本题主要考查定积分的求法，二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

知识点：2.双曲线

【考点】KI：圆锥曲线的综合．

【分析】利用抛物线方程求出双曲线的焦点坐标，通过离心率求出a，然后求解b，即可求解双曲线方程．

【解答】解：离心率是的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，

可得c=5， =，可得a=，则b==2．

所求的双曲线方程为：．

故答案为：．

【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．

知识点：3.空间几何体的表面积与体积

6

【考点】LR：球内接多面体．

【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积，从而得出棱柱的体积．

【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，

∴R=1．

∴正三棱柱的高h=2R=2．

设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为： a=1，

∴a=2，

∴该棱柱的体积为=6，

故答案为6．

【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．

【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，正弦函数的周期性，求得ω的值，可得f（x）的解析式．

（Ⅱ）根据等比数列的性质、正弦定理可得a2=bc，利用余弦定理求得A的范围，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的值域．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为=2π，

∴ω=，f（x）=sin（x﹣）．

（Ⅱ）在△ABC中，∵sinB，sinA，sinC成等比数列，∴sin2A=sinBsinC，∴a2=bc．

∵cosA==≥，∴A∈（0，]，∴A﹣∈（﹣，]，

求此时f（A）=sin（A﹣）∈（﹣，]．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，等比数列的性质，余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．

知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）由四边形ABCD是体积为8π的圆柱OQ的轴截面，求出AD=2，推导出AG⊥DP，BP⊥AG，由此能证明AG⊥平面DPB．

（2）由AG⊥平面DPB，知∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角，由此能求出二面角P﹣AG﹣B的正弦值．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是体积为8π的圆柱OQ的轴截面，

∴由题意知，

解得AD=2，

在Rt△AOP中，BP=OA=2，AB=4，

由勾股定理得AP=2，

∴AD=AP，

又∵G是DP的中点，∴AG⊥DP，①

∵AB为圆O的直径，∴AP⊥BP，

由已知得DA⊥底面DAP，

∴BP⊥AG，②

∵BP∩DP=P，∴由①②知：AG⊥平面DPB．

解：（2）由（1）知AG⊥平面DPB，

∴AG⊥BG，AG⊥PG，

∴∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角，

PG=，

BP=OP=2，∠BPG=90°，

∴BG==，

cos=，

sin∠PGB==．

∴二面角P﹣AG﹣B的正弦值为．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．

知识点：5.独立性检验的基本思想及其初步运用

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验．

【分析】（Ⅰ）由题意填列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论；

（Ⅱ）抽取自身经济收入超过2000元居民的频率视为概率，

由题意知X的可能取值有0，1，2，3，且X～B（3，），

计算P（X=2）与期望即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，填表如下；

计算X2=≈4.762，

对照临界值得4.762＞3.841，

∴有95%以上的把握认为捐款数额是否超过100元和居民每月平均的经济收入是否达到2000元有关；

（Ⅱ）抽取自身经济收入超过2000元居民的频率为0.3，

将频率视为概率，由题意知X的可能取值有0，1，2，3，

则X～B（3，），

∴P（X=2）=••=，

X的期望为EX=np=3×=0.9．

【点评】本题考查了独立性检验与n次独立实验的概率计算问题，也考查了数学期望的计算问题，是综合题．

知识点：1.椭圆

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）设Q（﹣m，﹣n），则n2=b2（1﹣），根据直线的斜率公式，即可求得直线PD和QD的斜率之积为定值；

（Ⅱ）求得椭圆方程，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t的值，则直线过直线MN恒过点（0，﹣）．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：P（m，n），则Q（﹣m，﹣n），

由，则n2=b2（1﹣），

由D（a，0）则kPD•kQD=•===﹣，

∴直线PD和QD的斜率之积﹣为定值；

（Ⅱ）直线MN过点（0，﹣），

由2a=4，a=2，b=1，则椭圆方程为：，

当直线MN的斜率k=0时，则M（﹣，﹣），N（，），直线MN的方程为y=﹣，

当直线斜率存在，且k≠0，则直线MN的方程：y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

则，整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

x1+x2=﹣，x1x2=，

由AM⊥AN，则•=0，（1+k2）x1x2+k（t﹣1）（x1+x2）+（t﹣1）2=0，

则（1+k2）×+k（t﹣1）（﹣）+（t﹣1）2=0，

整理得：5t2﹣2t﹣3=0，解得：t=﹣或t=1（舍去），

则直线MN的方程y=kx﹣，则直线MN恒过点（0，﹣），

综上可知：直线MN过点（0，﹣）．

【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）分离参数，问题转化为b＜有两个整数解，得到关于a的不等式组，解出即可．

【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=ex（bx+b﹣1），

b=0时，g′（x）＜0在R恒成立，

即g（x）在R递减，

b＞0时，g′（x）＞0的解集是{x|x＞﹣1}，

即g（x）在（﹣1，+∞）递增，在（﹣∞，﹣1）递减；

（Ⅱ）由不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，

b则a（xex﹣x+1）＜ex有两个整数解．

因为y=x（ex﹣1）+1，当x＞0时，ex﹣1＞0，x（ex﹣1）+1》＞0；

当x＜0时，ex﹣1＜0，x（ex﹣1）+1＞0，

所以，b＜有两个整数解，

设g（x）=，则g′（x）=，

令h（x）=2﹣x﹣ex，则h′（x）=﹣1﹣ex＜0，

又h（0）=1＞0，h（（1）=1﹣e＜0，

所以∃x0∈（0，1），使得h（x0）=0，

∴g（x）在为增函数，在（x0，+∞）为减函数，

∴b＜有两个整数解的充要条件是：

，

解得：≤b＜1．

【点评】本题考查了函数函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．

知识点：2.坐标系与参数方程

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．

【分析】（I）由曲线C的参数方程（φ为参数），消去参数可得曲线的普通方程：（x﹣2）2+y2=4，展开把互化公式代入可得极坐标方程．

（II）把直线θ=代入直线l的极坐标方程可得：ρ1．把直线θ=代入曲线C的极坐标方程可得：ρ2．可得|PQ|=|ρ1﹣ρ2|．

【解答】解：（I）由曲线C的参数方程（φ为参数），消去参数可得曲线的普通方程：（x﹣2）2+y2=4，展开为：x2+y2﹣4x=0，把互化公式代入可得：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．

（II）把直线θ=代入直线l的极坐标方程可得：ρ1==﹣4．

把直线θ=代入曲线C的极坐标方程可得：ρ2=4cos=2．

∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=6．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

知识点：3.不等式选讲

【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）若不等式f（x+）≤2m+1（m＞0）的解集为[﹣，]，不等式|2x|≤2m+1（m＞0）的解集为[﹣，]，解不等式，即可求实数m的值；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤|y|+|a﹣y|+|2x|，对任意的实数x，y∈R都成立，则|2x﹣1|﹣|2x|≤|y|+|a﹣y|，利用（|2x﹣1|﹣|2x|）max=1，（|y|+|a﹣y|）min=a，即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）若不等式f（x+）≤2m+1（m＞0）的解集为[﹣，]，

∴不等式|2x|≤2m+1（m＞0）的解集为[﹣，]，

由|2x|≤2m+1，可得﹣m﹣≤x≤m+，

∴m+=，∴m=1；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤|y|+|a﹣y|+|2x|，对任意的实数x，y∈R都成立，则|2x﹣1|﹣|2x|≤|y|+|a﹣y|，

∵（|2x﹣1|﹣|2x|）max=1，（|y|+|a﹣y|）min=a，∴a≥1，

∴正实数a的最小值为1．

【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．