设函数f（x）=lnx+
，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣
零点的个数；
（3）（理科）若对任意b＞a＞0，
＜1恒成立，求m的取值范围．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）当m=e时，
，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．
（2）由g（x）=
=
=0，得m=
，令h（x）=x﹣
，x＞0，m∈R，则h（1）=
，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣
零点的个数．
（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．
【解答】解：（1）当m=e时，
，x＞0，
解f′（x）＞0，得x＞e，
∴f（x）单调递增；
同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）只有极小值f（e），
且f（e）=lne+
=2，
∴f（x）的极小值为2．
（2）∵g（x）=
=
=0，
∴m=
，
令h（x）=x﹣
，x＞0，m∈R，
则h（1）=
，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），
令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；
同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，
∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．
∴当m≤0，或m=
时，g（x）只有一个零点；
当0＜m＜时，g（x）有2个零点；
当m＞时，g（x）没有零点．
（3）（理）对任意b＞a＞0，
＜1恒成立，
等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+
﹣x（x＞0），
则h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=
﹣
﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥﹣x2+x=﹣
+
（x＞0），
∴m≥；
对于m=，h′（x）=0仅在x=
时成立；
∴m的取值范围是[，+∞）．