知识点：2.复数的几何意义

D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：复数z满足z（1﹣i）=|+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=2（1+i），

∴z=1+i，

则在复平面内z的共轭复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．

故选：D．

知识点：1.直线的倾斜角、斜率与方程

A

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义，由已知切线方程建立条件关系，解方程即可得到结论．

【解答】解：∵函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x﹣y+b=0，

∴切线斜率k=3，即f′（1）=3，

∵函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x，

∴f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，

则f′（1）=2﹣4a﹣3=3，

解得a=﹣1，

则f（1）=﹣2a﹣3=﹣2×（﹣1）﹣3=﹣，

即m=﹣，

故选：A．

知识点：8.数学归纳法

C

【考点】数学归纳法．

【分析】根据等式1+2+3+…+n2=时，考虑n=k和n=k+1时，等式左边的项，再把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．

【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2++k2，

当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2，

所以增加的项数为：（k+1）2﹣（k2+1）+1=2k+1

即增加了2k+1项．

故选：C

知识点：1.变化率与导数

D

【考点】导数的几何意义．

【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

【解答】解：因为y′===，

∵，

∴ex+e﹣x+2≥4，

∴y′∈[﹣1，0）

即tanα∈[﹣1，0），

∵0≤α＜π

∴≤α＜π

故选：D．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

A

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．

【解答】解：观察函数y=f（x）的图象知，

f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y=f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，

f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增，故y=f′（x）在（﹣∞，0）从左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，

故选：A．

知识点：4.直线与圆的位置关系

A

【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．

【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．

【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．

故选A．

知识点：1.变化率与导数

B

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．

【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，

曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，

则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．

由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，

y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，

得ax2+ax+2=0，

又a≠0，两线相切有一切点，

所以有△=a2﹣8a=0，

解得a=8．

故选：B．

知识点：11.球

B

【考点】球的体积和表面积．

【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．

【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．

三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为： =．

∴球的半径为，

∴球的表面积为=6π．

故选：B．

知识点：1.变化率与导数

C

【考点】点到直线的距离公式．

【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．

【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，

当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，

点P到直线y=x﹣2的距离最小．

直线y=x﹣2的斜率等于1，

令y=x2﹣lnx，得 y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），

故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），

点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，

∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，

故选：C．

知识点：6.三角函数的图像与性质

C

【考点】函数单调性的性质．

【分析】由＜，可得，利用假设法，证明即可．设αsinα＞βsinβ，则α＞β，α，β∈（0，），可得，可得成立．可得结论．

【解答】解：由＜，可得，

∵α，β∈（0，），设αsinα＞βsinβ＞0，则α＞β，

∴，

∴成立．

故得α＞β，

故选C．

知识点：4.直线与圆的位置关系

A

【考点】点到直线的距离公式．

【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5﹣r|＜1，解此不等式求得半径r的取值范围．

【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于 =5，由|5﹣r|＜1得 4＜r＜6，

故选 A．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

D

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），

则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，

∵f（x）+f′（x）＜1，

∴f（x）+f′（x）﹣1＜0，

∴g′（x）＜0，

∴y=g（x）在定义域上单调递减，

∵f（x）＞，

∴exf（x）﹣ex＞10，

∴g（x）＞10，

又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=11﹣1=10，

∴g（x）＞g（0），

∴x＜0，

∴不等式的解集为（﹣∞，0）

故选：D．

知识点：7.定积分的简单应用

2

【考点】定积分；定积分的简单应用．

【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分．

【解答】解：曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是

=（x﹣）|+（）|=2；

故答案为：2．

知识点：1.合情推理与演绎推理

55

【考点】类比推理．

【分析】观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．

【解答】解：观察下列等式

=2， =3， =4，…，

照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，

∴a+b=55，

故答案为：55

知识点：3.抛物线

y=x

【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴的长，利用离心率求解c，得到b，即可得到双曲线的渐近线方程．

【解答】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0），可得a=1，离心率为2的双曲线，可得c=2，则b=，

双曲线的焦点坐标在x轴上，可得：双曲线的渐近线方程为：y=x．

故答案为：y=x．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

4

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．

【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，

当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，

①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，

②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，

③当x＞时，f（x）为递增函数．

所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可

由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，

由f（﹣1）≥0，可得a≤4，

由f（1）≥0解得2≤a≤4，

综上a=4为所求．

故答案为：4．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】函数恒成立问题．

【分析】（Ⅰ）利用导数可判断出：当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，故f（x）在区间[0，1]上单调递增，从而可求得f（x）max，由m≥f（x）max即可求得实数m的最小值；

（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使不等式f（x0）﹣m≤0成立⇔m≥f（x）min，由（Ⅰ）知f（x）在区间[0，1]上单调递增，可求得f（x）min，从而可求得实数m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2（1+x）﹣=，

当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，故f（x）在区间[0，1]上单调递增，

所以f（x）max=f（1）=4﹣2ln2，

不等式f（x0）﹣m≤0恒成立，等价于m≥f（x）max=4﹣2ln2，

所以m最小值为4﹣2ln2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x）在区间[0，1]上单调递增，

故当x0∈[0，1]，时f（x0）min=f（0）=1，

若存在x0∈[0，1]，使不等式f（x0）﹣m≤0成立，等价于m≥f（x）min=1，

所以m的取值范围为[1，+∞）．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）当a=﹣1时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得单调区间，根据最值情况可比较f（x）与f（1）的大小关系；

（2）由函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，可求出a值，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不单调，则g（x）在区间（t，3）内总存在极值点，由此可得到关于m的约束条件，解出即可．

【解答】解：（1）当a=﹣1时，，

解f'（x）＞0，得x∈（1，+∞）；解f'（x）＜0得x∈（0，1），

所以，f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），

可知f（x）min=f（1），所以f（x）≥f（1）．

（2）∵，函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，

∴，得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，

∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2，

∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2，∴，

由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，

所以有，，解得．

故m的取值范围为（，﹣9）．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．

（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．

（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．

【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，

解f′（x）＞0，得x＞e，

∴f（x）单调递增；

同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

∴f（x）只有极小值f（e），

且f（e）=lne+=2，

∴f（x）的极小值为2．

（2）∵g（x）===0，

∴m=，

令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，

则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），

令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，

∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；

同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，

∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．

∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；

当0＜m＜时，g（x）有2个零点；

当m＞时，g（x）没有零点．

（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，

等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；

设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），

则h（b）＜h（a）．

∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；

∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，

∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），

∴m≥；

对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；

∴m的取值范围是[，+∞）．

知识点：6.直线、平面垂直的判定及其性质

【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．

（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，

由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，

所以：A1O⊥平面ABC，

所以：A1O⊥BC，

又BC⊥AC，

所以：BC⊥平面A1AC，

又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，

所以：A1B⊥AC1．

（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，

A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），

则：，，

设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，

所以：，

求得：，

由E（1，0，0）

求得：，

直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值

sinθ=cos=．

知识点：4.直线与圆的位置关系

【考点】轨迹方程．

【分析】（1）确定PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；

（2）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线MA，MB的斜率之积为，即可证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标

【解答】解　（1）设动圆P的半径为r，由已知|PF1|=r+1，|PF2|=3﹣r，

则有|PF1|+|PF2|=4，化简得曲线E的方程为=1．

（2）由曲线E的方程得，上顶点M（0，），记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2，

因此，kMA•kMB==﹣=，

与已知不符，因此直线AB的斜率存在．

设直线AB：y=kx+m，代入椭圆E的方程=1，得

（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，①

因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，

所以x1+x2=﹣，x1•x2=，

又kAM=，kMB=

由kAM•kBM=得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2，

即（4k2﹣1）x1x2+4k（m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0，

所以4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2•（3+4k2）=0，

化简得m2﹣3+6=0，故m=或m=2．

结合x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点N（0，2）．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，

（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．

【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=2x+a﹣=，

令f′（x）＞0，得x＞，

f′（x）＜0，得0＜x＜，

∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，

（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，

∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，

∴F′（x）=﹣2x+a+，

即： =﹣（x1+x2）+a+，①

∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，

∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②

﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③

②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0

可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，

∴a﹣（x1+x2）=，

代入①得： =+= [ln+]= [ln+]，

令=t，则0＜t＜1，

∴h（t）=lnt+，

∴h′（t）=+=﹣=≥0

∴h（t）在（0，1）上为增函数，

∴h（t）＜h（1）=0，

∵x1＜x2，

∴＜0．