知识点：1.合情推理与演绎推理

D

【考点】V3：中国古代数学瑰宝．

【分析】利用笔记的记录方法直接求解．

【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确；

要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确；

用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确；

没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误．

故选：D．

知识点：1.数列的概念与表示方法

C

【考点】F1：归纳推理．

【分析】由题意可得从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，问题得以解决

【解答】解：从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，故x=8+13=21，

故选：C

知识点：2.等差数列及其性质

B

【考点】84：等差数列的通项公式．

【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．

【解答】解：∵等差数列{an}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，

∴a3+a7=2a5=8，

解得a5=4．

故选：B．

知识点：3.平面向量的基本定理及其坐标表示

A

【考点】9J：平面向量的坐标运算．

【分析】利用向量=即可得出．

【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．

故选：A．

知识点：7.数列的通项

C

【考点】8H：数列递推式．

【分析】数列{an}中，a1=2017，an+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．

可得an+4=an即可

【解答】解：数列{an}中，a1=2017，an+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．

可得an+4=an．∴a2017=2017，

故选：C

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

A

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】由⊥，得•=0，展开后代入数量积公式得答案．

【解答】解：∵ =1，||=2，

∴由⊥，得•=．

即，解得cos＜＞．

故选：A．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

B

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．

【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误；

对于②，•（•表示与共线的向量，（ •）•表示与共线的向量，显然•（•≠（•）•，故②错误；

对于③，若，则（）=0，即，

∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，

∴P是△ABC的垂心，故③正确．

故选B．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

D

【考点】GZ：三角形的形状判断．

【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．

【解答】解：∵cosB=，cosA=，

∴a2+c2﹣b2=2ac•cosB，b2+c2﹣a2=2bc•cosA，

∴===，又=，

∴==，即sinAcosA=sinBcosB，

∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，

∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，

则△ABC为等腰三角形或直角三角形．

故选D

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

A

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，结合范围0＜C＜π，可求C的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．

【解答】由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，

即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，

因为sinB≠0，所以cosC=，因为0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，

又…②，

将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=或ab=﹣1（舍去），

所以S△ABC=absinC=，

故选：A．

知识点：3.等差数列的前n项和

B

【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．

【分析】由等差数列的性质得a1008＞0，a1009＜0，由此能求出数列中值最小的项．

【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，

∴a1008＞0，a1009＜0，

∴数列中值最小的项是第1009项．

故选：B．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

C

【考点】93：向量的模．

【分析】作出向量示意图，用三角形ABC的边表示出，，根据等比三角形的性质判断．

【解答】解：取AB的中点D，BC的中点E，

∵，，

∴==， ==，

∴||=BC=2，故A正确；

==1×2×cos120°=﹣1，故B正确；

||=||=||=CD=，故C错误；

=2+，

∵，∴（2+）⊥，∴（4+）⊥，故D正确．

故选C．

知识点：7.数列的通项

C

【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性．

【分析】由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．

【解答】解：数列{an}的前n项和Sn=2an+p（n∈N*），

所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=﹣p，

n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=﹣p，∴a2=﹣2p，

n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，∴a3=﹣4p

n=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，∴a4=﹣8p，

n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，a4=﹣8p，∴a5=﹣16p，

∵S5=31，∴31=2a5+p=﹣31p，∴p=﹣1．

故选C．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

【考点】HP：正弦定理．

【分析】由正弦定理化简所求即可计算得解．

【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，

∴===．

故答案为：．

知识点：5.等比数列的前n项和

2

【考点】89：等比数列的前n项和．

【分析】设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．

【解答】解：设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，

则=510，

解得a1=2．

故答案为：2．

知识点：3.等差数列的前n项和

﹣2017

【考点】85：等差数列的前n项和．

【分析】求出﹣=﹣=d=2，由此能求出S2017．

【解答】解：S2009=，

S2007=，

∴﹣=﹣=d=2，

∵a1=﹣2017，

∴S2017=na1+d=﹣2017×2017+2017×2016=﹣2017．

故答案为：﹣2017．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

﹣18

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】利用垂径定理可得在上的投影为﹣3，利用定义求出的值．

【解答】解：∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，即DN⊥AC，

∴CN•cos∠ACN=CD=AC=3，

∴=AC•CN•cos=﹣6CNcos∠ACN=﹣6×3=﹣18．

故答案为：﹣18．

知识点：4.等比数列及其性质

【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．

【分析】（1）运用等差数列的性质和等比中项的定义，结合等差数列的通项公式，计算可得首项a1和公差d；

（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求和．

【解答】解：（1）在单调递增的等差数列{an}中，a1+a3=2a2=8，

即有a2=4，又因为a4为a2和a9的等比中项，

可得a42=a2a9，

即有4（4+7d）=（4+2d）2，

解得a1=1，d=3（0舍去）；

（2）由（1）可得，

则．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

【考点】9J：平面向量的坐标运算．

【分析】（1），可得﹣5+2t=1，解得t=2．k与垂直，可得（k）•（）=0，联立解得k．

（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．可得16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得k．

【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．

∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，

联立解得．

（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．

∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=即可

（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．

【解答】解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，

⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=

∵0＜A＜π∴A=

（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=b2+4﹣2b→b2﹣2b

⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，

s△ABC==2

知识点：6.数列的求和

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化简整理，即可得到数列{an}的通项公式；

（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

【解答】解：（1）当n=1时，．

当n≥2时，，

故所求；

（2）由，

Tn=b1+b2+b3+…+bn=

=．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；

（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围

【解答】解：（1）向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，

∴，

即：﹣cosB=，

∴cosB=﹣

∵0＜B＜π，

∴B=．

（2）由正弦定理，可得： =

= [sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA﹣sinA）

=sin（A+）

∵0＜A＜，

∴＜A+＜，

∴＜sin（A+）≤1，

∴1＜≤，

故的取值范围为（1，]．

知识点：6.数列的求和

【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．

【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证；

（2）求得an=2n﹣1，bn==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；

（3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A•qn（A、q为非零常数），即可求得λ的值．

【解答】解：（1）证明：由题知Sn=（an+1）2，

当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2．

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0．

∵an＞0，∴an﹣an﹣1﹣2=0．

即当n≥2时，an﹣an﹣1=2．

则数列{an}是等差数列．

（2）由（1）知数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列．

∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，

∵bn==．

则Tn=+++…++，①

∴Tn=+++…++，②

由①﹣②得

Tn=+2（++…+）﹣

=+2•﹣，

∴Tn=3﹣；

（3）∵=（3﹣+λ）•=﹣，

∴数列{}为等比数列的充要条件是=A•qn（A、q为非零常数），

∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列．