某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是 ．
知识点：1.随机抽样
6
略
已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ．
知识点：9.离散型随机变量的分布列、均值与方差
4
略
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为 6 ．
知识点：3.空间几何体的表面积与体积
6
略
若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当
时，数列{bn}也是等比数列；类比上述性质，若数列{cn}是等差数列，则当dn= 时，数列{dn}也是等差数列．
知识点：1.合情推理与演绎推理
略
已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是 ．
知识点：13.函数与方程
（﹣3，0）
略
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若向量
，
，且
∥
．
（1）求角A的大小；
（2）求函数
的值域．
知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B
解：（1）因为向量
，
，且
∥
．
所以（2b﹣c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
即2sinBcosA=sinB，所以cosA=
．A是三角形的内角，所以A=
．
（2）因为函数
=
sinB+cosB=2sin（B+
），
而
，所以函数y=2sin（B+
）的值域（1，2]．
略
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点．
（1）求证：BC1⊥平面AB1C；
（2）求证：BC1∥平面A1CD．
知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质
证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱
∴CC1⊥平面ABC；
又∵AC⊂平面ABC
∴CC1⊥AC
又∵AC⊥BC，CC1∩BC=C
∴AC⊥平面B1C1CB
又∵B1C⊂平面B1C1CB
∴B1C⊥AC
又∵BC=BB1，
∴平面B1C1CB为正方形，
∴B1C⊥BC1，又∵B1C∩AC=C
∴BC1⊥平面AB1C；
（2）连接BC1，连接AC1于E，连接DE，E是AC1中点，
D是AB中点，则DE∥BC1，
又DE⊂面CA1D1，BC1⊄面CA1D1∴BC1∥面CA1D
略
小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
知识点：14.函数的应用问题
解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5
＜x＜10+5
∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，
∴二手车出售后，小张的年平均利润为
=19﹣（x+
）≤19﹣10=9
当且仅当x=5时，等号成立
∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
略
已知椭圆C：
的离心率
，一条准线方程为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．
①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．
知识点：1.椭圆
解：（1）因为椭圆的离心率
，一条准线方程为
．
所以
，
，a2=b2+c2，…（2分）
解得
，
所以椭圆方程为
． …（4分）
（2）①由
，解得
，…（6分）
由
得
，…（8分）
所以
，所以
．…（10分）
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
因为OG2+OH2=GH2，故
，
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得
，
∴
同理可得
∴
，∴R=
当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得
故满足条件的定圆方程为x2+y2=
．
略
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列
的前n项和为Tn，且
，n∈N*．
（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若
对n∈N*恒成立，求λ的最小值；
（3）若
成等差数列，求正整数x，y的值．
知识点：7.数列的通项
解：（1）因为
，
其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列
的前n项和，且an＞0，
当n=1时，由
，
解得a1=1，…（2分）
当n=2时，由
，
解得
； …（4分）
由
，
知
，
两式相减得
，
即
，…（5分）
亦即2Sn+1﹣Sn=2，从而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），
再次相减得
，又
，
所以
所以数列{an}是首项为1，公比为
的等比数列，…（7分）
其通项公式为
，n∈N*．…（8分）
（2）由（1）可得
，
，…（10分）
若
对n∈N*恒成立，
只需
=3×
=3﹣
对n∈N*恒成立，
∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．
（3）若
成等差数列，其中x，y为正整数，
则
成等差数列，
整理，得2x=1+2y﹣2，
当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，
等式不能成立，
∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．
略
已知函数f（x）=lnx﹣x，
．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．
知识点：3.导数在研究函数中的应用
解：（1）因为
，所以
，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值
；…（6分）
（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即
对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
设
，因为
，
故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3． …（10分）
（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，
即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即
恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e时，
，…（12分）
而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，
故方程
=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=
，
即b=e2+﹣1；
略
，其中i是虚数单位，则|z|= ．
，若
，则sin（α﹣β）的值为 ．
，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则
与
夹角的余弦值为 ．