若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
知识点:5.充分条件与必要条件
A
略
设数列的前项和为,关于数列有下列三个命题:
①若数列既是等差数列,又是等比数列,则;
②若,则数列是等差数列;
③若,则数列是等比数列.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D. 3
知识点:2.等差数列及其性质
D
略
为纪念辛亥革命100周年,某电视剧摄制组为制作封面宣传画,将该剧组的7位身高各不相同的主要
演员以伞形(中间高,两边低)排列,则可制作不同的宣传画的种数为( )
A.20 B.40 C.10 D.42
知识点:2.排列与组合
A
略
把函数= sin(,)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的解析式是,则( )
A., B. ,
C. , D. ,
知识点:6.三角函数的图像与性质
C
略
给出下列命题:
①直线与平面不平行,则与平面内的所有直线都不平行;
②直线与平面不垂直,则与平面内的所有直线都不垂直;
③异面直线,不垂直,则过的任何平面与都不垂直;
④若直线和共面,直线和共面,则和共面.
其中错误命题的个数为( )
A.0 B. 1 C.2 D.3
知识点:4.空间点、直线、平面之间的位置关系
D
略
已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
知识点:2.双曲线
C
略
某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含个小正方形,则= .
知识点:7.数列的通项
61
略
如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 .
知识点:2.排列与组合
16
略
如图,设是单位圆和轴正半轴的交点,是单位圆上的两点,是坐标原点,,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)设函数,求的值域.
知识点:7.函数y=Asin(wx+@)+B
解:(Ⅰ)由已知可得
…………………………(6分)
(Ⅱ)
.
,.
的值域是………………………………………………(12分)
略
为了构建和谐社会建立幸福指标体系,某地决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
(Ⅰ)求研究小组的总人数;
相关人员数
抽取人数
公务员
32
教师
48
自由职业者
64
4
(Ⅱ)若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告,求其中恰好有1人来自公务员的概率.
知识点:1.随机事件的概率
解:(Ⅰ)依题意.解得,.
研究小组的总人数为(人).………………………………(4分)
(Ⅱ)设研究小组中公务员为,,教师为,,,从中随机选人,不同的选取结果有:
,,,,,,,,,共种.
其中恰好有1人来自公务员的结果有:,,,,,,共种.
所以恰好有1人来自公务员的概率为(或). …………12分)
略
如图(1)是一正方体的表面展开图, 和 是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将 和画出来,并就这个正方体解决下面问题.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:⊥平面;
(Ⅲ)求二面角 的大小.
知识点:10.空间角与距离
解:MN、PB的位置如下图示. …………………………………(2分)
(Ⅰ)∵ND//MB且ND=MB,∴四边形NDBM为平行四边形.
∴MN//DB.
∵BD平面PBD,MN,∴MN//平面PBD. ………………(5分)
(Ⅱ)∵QC⊥平面ABCD,BD平面ABCD,∴BD⊥QC.
又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面AQC.
∵AQ面AQC,∴AQ⊥BD.
同理可得AQ⊥PB.
∵BDPD=B,∴AQ⊥面PDB. …………………………(8分)
(Ⅲ)解法1:分别取DB、MN中点E、F,连结PE、EF、PF.
∵在正方体中,PB=PD,∴PE⊥DB.
∵四边形NDBM为矩形,∴EF⊥DB.
∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角.
∵EF⊥平面PMN,∴EF⊥PF.
设正方体的棱长为a,则在直角三角形EFP中,
∵,∴.
.…………………………(12分)
解法2:设正方体的棱长为a,以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图.
则点A(a,0,0),P(a,0,a),Q(0,a,a).
∴.
∵PQ⊥面DBM,由(2)知AQ⊥面PDB.
∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量.
∴.
∴.…………………………(12分)
略
随着国家政策对节能环保型小排量车的调整,两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2011年1月Q型车的销量为辆,通过分析预测,若以2011年1月为第1月,其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的增长率增长,而R型车前个月的销售总量满足关系式:
.
(Ⅰ)求Q型车前个月的销售总量的表达式;
(Ⅱ)比较两款车前个月的销售总量与的大小关系;
知识点:5.等比数列的前n项和
解:(Ⅰ)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1 = a,公比q = 1+1%= 1.01的等比数列.
前n个月的销售总量Sn==100a(1.01n-1),n∈N*,且n≤24. …………………(4分)
(Ⅱ) ∵Sn-Tn=100a(1.01n-1)-228a(1.012n-1)
=100a(1.01n-1)-228a(1.01n-1)(1.01n+1)
=-228a(1.01n-1)·(1.01n+).
又1.01n-1>0,1.01n+>0,
∴Sn<Tn. ……………………………………………………(12分)
略
如图,已知、为平面上的两个定点 ,,且,(为动点,是和的交点).
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;
(Ⅱ)若点的轨迹上存在两个不同的点、,且线段的中垂线与直线相交于一点,证明<(为的中点).
知识点:1.椭圆
解:(Ⅰ)以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.
由题设,,
∴,而.
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点的轨迹方程是.…………………………………(4分)
(Ⅱ)设,,.
∴,且,即.
又、在轨迹上,∴,.
即,.
代入整理,得
.
∵,∴.
∵,,∴.
∵,∴.
∴,即<.………………………………………………(13分)
略