圆面积公式

圆面积公式16篇

圆面积公式16篇

圆面积公式(1)

“用圆面积知识解决问题”教学设计

　　教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册第67页。

　　教学目标：

　　1　灵活应用圆面积的知识解决实际问题。

　　2　在解决问题中学习使用平移、旋转等数学方法。

　　3　培养学生学习数学的兴趣，感受数学的乐趣。

　　教学难点：利用图形变换(平移、旋转)，实现未知向已知的转化。

　　教具：多媒体课件、茶杯垫等。

　　设计思路：

　　本堂练习课本着“数学源于生活，最终服务于生活”的理念进行设计。通过层层深入、循序渐进的探究，让学生感受数学知识在生活中的广泛应用。第一，强化基础。学生利用手中的材料分组讨论并计算“茶杯垫”面积，有效复习圆面积的计算方法(半径一圆面积；直径一半径一圆面积；周长一半径一圆面积)。第二，变式练习。通过计算与圆有关的组合图形的面积，感受生活中“圆”的美，引导学生“通过平移、旋转等方法将不规则图形变为规则图形”，灵活运用圆面积的计算方法解决问题。第三，思考与发现。通过尝试验证，感悟数学规律，培养学生热爱数学的情感。

　　教学过程：

　　一、创设情境。强化练习

　　展示情境：今天某制造厂来了一位客户，他要求厂方为他们公司赶制一批圆形茶杯垫。但是他没有给出杯垫的具体大小，而是带来了样品，要求按照样品来制造。工人们很为难，同学们，你们能帮帮他们吗?

　　1　出示样品。

　　师：老师把茶杯垫样品带来了，要生产出这种茶杯垫需要用多大面积的材料，这要用到我们学过的哪些知识?

　　(学生讨论。师生小结：圆面积的计算。)

　　2　小组合作(每4人为一组活动)。你能用直尺、彩带等工具，按照大屏幕上的样品计算出这个圆形杯垫的面积吗?教师先请几个学生说一说，要计算这个圆形杯垫的面积自己是怎么想的。如，需要用到哪些数据，怎样得到它们，会测量吗?

　　(教师巡视，和同学们一起活动；发现问题，启发或指导学生讨论解决。)

　　3　师生小结：只要知道圆的半径、直径或周长中的任一条件都可以计算出圆的面积。

　　二、变式练习

　　师：同学们，这个制造厂还设计了其他款式新颖的产品，他们想知道做这些产品(阴影部分)各需要多大面积的材料，也请同学们帮他们算一算。

　　1　每组任选一题，完成后集体订正(得数保留两位小数)。

　　(订正时挑学生讲讲第(2)题的思考方法、计算过程与结果，其余两题核对结果。)

　　课件出示：

　　2　师：遇到这样的题目，要先从整体上观察，然后运用平移或旋转的知识，变不规则为规则，使计算更合理、简洁。

　　三、拓展训练

　　1　设疑。

　　师：同学们，通过刚才的练习，我们发现圆在生活中的应用是很广泛的，比如说(课件出示相关图片：蒙古包、水桶、碗、太阳伞、茶杯、锅)这些物体上都有一个面是圆形的，同学们有没有想过，这些物体的面为什么要设计成圆形?

　　2　验证。

　　(1)师：老师想用6.28米的绳子分别围成圆形、正方形与长方形，你认为围成的图形哪个面积最大?(在学生述说自己想法的基础上，提示：A.6.28米分别是三个图形的什么?B.不论如何围三个图形的面积都是唯一的吗?C.长方形的周长即使不变，但长、宽改变了面积也将随之而变。长、宽的大小越接近，长方形的面积越大。)请4人小组合作计算验证。

　　(2)各小组汇报交流。

　　(3)结论：周长相等的情况下，围成的三个图形中，圆的面积最大。

　　出示图形，巩固并深化认识。

　　师：现在同学们能解释这些物体的横截面为什么要设计成圆形了吗?

　　小结：正因为在周长相等的条件下，圆的面积是最大的(等周定律)，所以圆的应用在我们的生活中处处可见。

圆面积公式(2)

知道圆的周长及面积的意义，会利用圆的周长、面积公式解决简单的实际问题

掌握求圆周长和面积计算的基本方法：仔细观察，发现特点，找出内在联系，通过对图形割补、旋转、平移等方法解决问题。

判断问题求的是圆的哪部分。

基本概念——一条线段绕着它的固定的一端在平面内旋转一周，它的另一端在平面内画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线围成的图形就是圆。在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也相等，且

无论什么圆，它的周长除以直径的商总是一个固定的数，这个数叫圆周率。

或，即或

圆的面积

或

直径和半径之间有什么关系？（强调：同一圆或等圆）你还知道圆的那些知识？前面我们还学习了哪些对称图形？在这些对称图形中哪种图形的对称轴最少，哪种图形的对称轴最多？

怎样求圆的周长、圆面积（公式）？π是指什么？你还了解圆周率的那些历史？

圆面积的推导实际用到了什么思想？（转化思想）

把圆转化成平行四边形或长方形，什么变了？什么没变？

求圆面积有几种方法？

计算时应注意什么？（公式、单位）

指导练习

1、判断下列说法是否正确。

（1）半径是2厘米的圆的周长和面积相等。（）

（2）两个半圆一定能拼成一个圆。（）

（3）半圆形纸片的周长就是圆周长的一半。（）

（4）把半径3厘米的圆等分成十六份，拼成一个近似长方形，长方形的周长比圆的周长多。（）

（5）大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（）

走进生活，解决问题。

（1）车轮为什么设计成圆的？

（2）运动场上为什么运动员不在一个起跑线上。

（3）林业部门需要测量一棵古树树干横截面的面积，树干横截面是什么形状？可是又不知道它的半径或直径，总不能把这棵千年古树砍倒后量一量，你能不能帮他们想一个办法？

（4）一根长4米的绳子围了一圈后还剩0.86米，请你算算树干横截面面积大约是多少平方米？

（5）用篱笆靠墙围一个直径是4米的半圆形的养鸡场，求篱笆的长和占地的面积。

1、一个挂钟，时针长30厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？

2、李奶奶用篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡场。篱笆的全长为28.26米，鸡场的面积是多少平方米？

3、一个环形，外圆直径是30厘米，内圆直径是10厘米，这个环形的面积是多少平方厘米？

4、在一个直径是6米的圆形水池周围，修一条2米宽的石子路。这条石子路的面积是多少平方米？

5、用一根铁丝围成一个长为5米，宽为2.85米的长方形。如果把这根铁丝围成一个圆形，求这个圆的面积是多少？

6、一辆自行车车轮外直径为0.6米，小华骑自行车从家到学校，如果每分钟转动100周，他从家到学校出发10分钟到达学校，小华家距学校多少米？

7、一个木盆的底面是圆形。在它的底部箍一根长2.552米的铁丝，铁丝的接头处用了0.04米。这个木盆的底面直径是多少米？

8、一个圆的半径和正方形的边长相等，如果知道这个圆的面积是50.24平方米，那么这个正方形的面积是多少？

9、把一张长4分米、宽3分米的长放形纸板剪成一个最大的圆，这个圆的周长是多少分米？（使得圆最大，就要使得圆的直径最大。圆的直径最大为3分米——长方形的宽，其周长就是3.14×3=9.42分米）

10、有两个连在一起的皮带轮。大轮直径是1.5米，小轮的直径是0.5米。大轮转一转，小轮要转多少转？（大轮转一圈的路程就是大轮的周长，就是小轮的路程，小轮转的圈数就是大轮的周长除以小轮或者是大轮的直径比上小轮的直径得到的结果，因此是3圈）

11、上海外滩海关大钟钟面的直径是5.8米，钟面的面积是多少平方米？时针长2.7米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是多少米？（得数保留一位小数。钟面的面积是26.4平方米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是17.0米）

12、将两根直径都是1分米的圆木捆起来，至少需用铁丝多少分米？（不包括连接部分）

画示意图理解题意：

铁丝捆绑的形状，从这我们可以清楚地看到：铁丝的长是由两条线段和两段曲线组成的。两段线段是两根圆木直径之和，两段曲线是直径1分米圆木的周长（1*2=2，1*3.14=3.14，2+3.14=5.14，至少需用铁丝5.14分米）。

13、一块蔬菜田的自动旋转喷灌装置的射程是12米。它的喷灌面积有多少平方米？

自动旋转喷灌装置的射程是12米，首先应想到喷灌的面积是圆形，12米是圆的半径。(12*12*3.14 = 144 *3.14=452.16平方米)

14、计算图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

分析：图中的阴影部分是一个圆减去一个正方形，但正方形的边长是未知的，这样可以连接正方形中的两条对角线，把正方形分割成大小完全相等的四个直角三角形，这样圆的半径就变成了直角三角形的两条直角边。

解： （平方厘米）

（平方厘米）

（平方厘米）

15、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图，试求金属带的长度和阴影部分的面积。

提示：金属带的长度＝直径的4倍＋ ：（）

是边长1米的正方形面积减去半径米圆的面积：

16、一个底面为圆形的蓄水池，用尺量出它的周长是31.4米。这个蓄水池的占地面积是多少平方米？（78.5平方米）

17、【模拟试题】（答题时间：30分钟）

（1）看图在横线上填合适的数（单位：dm）。长方形的长_______分米，长方形的宽_______分米，扇形的半径_______分米，圆心角_______度。

（2）如图，这是一个运动场的平面图。已知中间长方形面积是6000平方米，整个运动场的面积是多少平方米？

（3）计算图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

（4）下图是一个活动场所的平面图，两边是半圆周。阴影部分的周长和面积各是多少？

（5）火车主动轮的半径是0.75米，如果它以平均每分转300周的速度前进，火车每小时前进多少千米？

（6）一个正方形与一个圆，周长都是62.8厘米。哪个图形面积大？面积大多少平方分米？

【试题答案】

（1）长方形的长60分米，长方形的宽40分米，扇形的半径40分米，圆心角90度。

（2）整个运动场的面积是8826平方米

（3）计算图中阴影部分的面积339.12平方厘米

（4）周长为451.2厘米，面积为8000平方厘米

（5）84.78千米

（6）圆的面积大，大0.6751平方分米

圆面积公式(3)

“外圆内方’’“外方内圆’’面积的计算

教学内容：六年级上册P69  例3

教学目标：1.通过尝试、探究、分析、反思等过程，引导学生理解“外方内圆”“内圆外方”之间面积的比例关系。

          2.在解决一些与“圆中方”有关的数学问题的过程中，提高解决问题的能力。

          3.通过生活实例，感受数学之美，了解数学文化，提高数学兴趣。

教学重点：了解并掌握外方内圆，外圆内方图形的特征，以及相关面积的计算方法。

教学难点：引导学生把特殊结论一般化，使学生看到不管圆的大小如何改变，“方中圆”面积比例关系不变。

教    具：多媒体

教学过程：

一、创设情境、谈话引入

   1、多媒体出示“外圆内方’’“外方内圆’’图片，生欣赏。

2、介绍关于中国建筑中常见的“外圆内方’’“外方内圆’’的设计，引出课题。

二、探究新知、解决问题

（一）、先引导学生观察这两个图形有什么联系和区别。

    （都是由正方形和圆形组成的，正方形和圆形的位置不同；圆是正方形内最大的圆，正方形也是圆内最大的正方形。）

  （二）、让学生回顾正方形和圆形的面积的计算方法以及圆环面积的计算方法。

      设图中两个圆的半径都是一米，那我们怎样计算正方形和圆形之间的那部分面积呢？这节课我们就来探索这类问题的解决方法。

  引入新课学习：求不规则图形的面积。

  （设计意图：（1）多媒体直观形象地展示了中国建筑典型的设计，激发学生学习新知识的兴趣；（2）通过回顾正方形、圆形、以及圆环的面积的计算方法，并类比圆环面积的计算方法，由旧知识引入新知识，寻找这类问题的规律及解决方法）

（三）、学： 探究“外方内圆”“外圆内方”的几何图形。

1、师：请同学们仔细观察两幅图，怎样求阴影部分的面积？

生：正方形面积减去圆形的面积，

圆面积减去正方形的面积。

2、自学要求：请你计算出左面正方形和圆之间阴影部分的面积。

学生之间相互讨论，鼓励学生说说自己的想法。特别是“外圆内方”中正方形的面积。

   师提示学生：正方形边长不好求，但是我们可以把图形中的正方形看成两个三角形，则两个三角形的面积和就是正方形的面积。

  3、小组合作，交流展示

（1）“外方内圆”

正方形和圆的面积都可以通过公式计算求得。

    圆的面积：3.14×1²=3.14㎡

    观察知正方形的边长等于圆的直径即2m。

S正=2×2=4㎡

    所以，阴影部分面积为4-3.14=0.86㎡

 （2）“外圆内方”：

阴影部分面积实际上是圆形面积比正方形多的面积，圆形面积大家都知道直接代入公式即

S圆=3.14×1²=3.14㎡

S正=（½×2×1）×2=2（㎡）

所以，阴影部分面积为

          S圆-S正=3.14-2=1.14（㎡）

（3）计算

师：如果两个圆的半径都是2m，10m时，这两个图形的面积是多少呢？

(4)师;如果两个圆的半径都是r，这两种图形的面积又怎样计算呢？

最后小结规律及方法：

     外方内圆：（2r）²-3.14×r²=0.86r²

     外圆内方：3.14×r²-（½×2r×r）×2=1.14r²

     指出当r =1时，代入和前面结果一致。

设计意图：本环节里面我主要采用启发式教学，让学生们在教师的启发下合作交流，探索新知，充分体现教师为主导，学生为主体的课堂教学。

三、巩固应用

1、右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24 cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

 (本题是例题的简单变式，巩固学生的基础知识和基本技能。要求学生先独立完成，指名学生板演，集体指正)

2、如何在一个正方形内画一个最大的圆？

如何在一个圆内画一个最大的正方形？

4、课堂小结

师：同学们，请问这节课你有什么收获？

圆面积公式(4)

圆面积公式(5)

一平方厘米，相当于指甲大小
一平方分米，大约是小手掌大小。
一平方米，吃饭的方桌（长一米，宽一米）
一公顷，100米×100米的球场。相当于200米跑道的球场。
一平方千米，相当于一个长宽都是一千米（即一公里）的村子

1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米
1公顷＝10000平方米

1平方千米=1000000平方米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方分米=100平方厘米

1M=10DM=100CM 1平方=100平方分米=10000平方厘米

1公顷=10000平方米

1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米

1平方千米=100公顷 1公顷=100公亩 1公亩=100平方米
画正方形图容易记住。1x1 10x10 100x100 1000x1000

1、 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率
6、 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 、正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a
2 、正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3 、长方形
C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 、长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒
小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式
1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 C=4a
3、长方形的面积=长×宽 S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高 S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径
定义定理公式
三角形的面积＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2
正方形的面积＝边长×边长 公式 S= a×a
长方形的面积＝长×宽 公式 S= a×b
平行四边形的面积＝底×高 公式 S= a×h
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2
内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=abh
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 公式：V=aaa
圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr
圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2
圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh
圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh
分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
单位换算
（1）1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米
（2）1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米
（3）1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米
（4）1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤 = 2市斤
（5）1公顷＝10000平方米 1亩＝666.666平方米
（6）1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米
数量关系计算公式方面
1．单价×数量＝总价
2．单产量×数量＝总产量
3．速度×时间＝路程
4．工效×时间＝工作总量
小学数学定义定理公式（二）
一、算术方面
1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第
三个数相加，和不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。
6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。
7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

圆面积公式(6)

一个横放的椭圆截面的圆柱容器，里面有液体，液体高度如果为任意值H，怎么算其中液体体积？？容器外部尺寸都可以测量

设椭圆方程为：

（1）当时，只算第一象限的阴影部分面积，然后根据对称性可得体积

则阴影部分面积为（其中）：

令，可得

此时液体体积为：

其中表示容器的长度

（2）当时，只算第一象限的阴影部分面积，然后根据对称性可得体积

图中两个阴影部分面积相等，因此需算上面那部分的面积即可得知下面那部分的面积。

此时令，

此部分面积为：

此时液体体积为：

其中表示容器的长度

圆面积公式(7)

椭圆面积公式的推导

韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000）

椭圆面积公式S=ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考.

定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .

注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略.

方法一：设椭圆C的方程为（a>b>0）,辅助圆C的方程为x2+y2=b2,且一直线L：y = m（）与两曲线相交,交点分别为M（x1 , m）、 N（x2 , m）及P（x3 , m）、Q(x, m)，如图1.

由解得 x=，

此时， =；

由解得x=±, （图1）

此时， =2.

、当,即b=|m|时，交点为（0，b）或（0，-b）；

、当，即b≠|m|时，有.

显然是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C 交于一点，此时与求椭圆C的面积无影响，故可忽略；在情况下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C的弦长|PQ|比恒为定值时，则当设椭圆C与圆C的面积分别为S、S时，由定理1得=，又圆C的面积S=πb，故有 S =S=πb=πab .

所以椭圆C的面积公式为S =πab （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.

定理2.若一平面图形M是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M所成角为, 则射影平面图形M的面积与凸平面图形M的面积比为cos.

证明：设平面图形M是平面图形M的射影 .1当平面图形M是凸曲边行时，如图2，将平面图形M的边缘进行n+1等分， 设分点分别为A、A、A、…、A、A、

…、A 、A，它们分别在平

面图形M上的射影为A、A

…、A、A、…、A、A ,

则分别连结点A、A、A、…

、A、A、…、A 、A，然

后再将点A分别与点 A、A、

…、A、A、…、A 、A (图2)

连结得△AAA、△AAA、…△AAA、…、△AAA.显然它们在平面图形M 上的射影分别是对应的△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 由于平面M与平面M所成角为，则△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 所在平面与△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 所在平面所成角均为，现分别记△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 及△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AA A 的面积为S 、S、…、S、…、S及 S、S、…、S、…、S. 则有S= Scon 、S = S con、…、 S= Scon、…、S = Scos .

当分点无限增加时, 则S 、S、…、S、…、S 及S、S、…、S、…、S 的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形M的面积， 故有

S= ( S +S +…+S +…+S)

= ( Scos + S cos+…S+cos+…+Scos)

= ( S +S+…+S+…+S) cos

=S cos.

2当平面图形M是凸多边形时，则在凸多边形M内取适当的点连结出不重叠的三角形，仿上易证，故略 .

方法二：我们知道，在一

圆柱上作一斜截面可得一椭圆面，

如图3. 设圆柱oo的底面直径

A B=2 b, 斜截面椭圆的长轴长

A B =2a, 椭圆面M与圆柱底面

M所成角为，将椭圆周n+1等

分，设其分点分别为P、P、…

、P、P、…、P、P, 在底 （图3）

面圆周上的 射影分别为P、P、…、P、P、…、P、P,分别连结点A、P、P；A、 P、P；、…；A、P、P；…;A 、 P、P及点A、P、P；A、P、P；…；A、P、P；…; A、P、 P。设椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S、S，因为圆柱底面面积S=b.且b =a cos,则仿定理2可证 S= = b =ab . 故椭圆的面积公式为 S=ab . （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

注：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间，当已知一曲面图形形成的侧面母线与其射影平面图形所成定角的大小时，则可利用定理2由一已知图形面积求另一图形面积（如圆锥、圆台的侧面面积亦可由底面面积求得）.

圆面积公式(8)

圆面积计算（图形部分）

1、求下列图形面积。（单位：厘米）

1、下图中，阴影部分的面积是25厘米，求圆环的面积。

2、在一个面积是5平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？

3、如图所示。OA、OB分别是小半圆的直径，且OA＝OB＝6厘米，∠BOA＝90º，阴影部分的面积是多少平方厘米？

AO

4、如图所示。正方形的边长是8厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

5、求下图阴影部分的面积，已知正方形边长是6厘米。

6、如下图，正方形的面积为20平方厘米，求圆的面积是多少平方厘米？

7、如下图，正方形的边长是10厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

8、求下图阴影部分的面积。

8cm

9、求下图阴影部分面积。

10、如下图，正方形的边长是4分米，阴影部分面积是多少平方分米？

11、如下图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

12、如下图，大、小两圆相交的部分是大圆面积的，是小圆面积的，已知小圆的半径是6厘米，大圆的半径是多少厘米？

13、求下图阴影部分面积。

10cm

圆面积公式(9)

圆面积公式的各种证明方法

证明方法1：转化（小学段）

（1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。

（2）拼成长方形。

近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。

长方形的面积 = 长 × 宽

圆的面积 = πr × r

所以，圆的面积公式是：S =πr²

（3）拼成两层平行四边形（两层）

近似平行四边形的面积 = 底 × 高

圆的面积 = C × 2r

= πr × 2r

所以，圆的面积公式是： S =πr²

（4）用三角形（小）拼

三角形的面积 = × 底 × 高

圆的面积 = ×（× C ）× r ×16

所以，圆的面积公式是：S =πr²

（5）拼成梯形

梯形的面积 = （上底+下底）× 高

圆的面积 = ×（+）× C × 2r

所以，圆的面积公式是：S =πr²

拼成三角形（大）

（6）三角形的面积 = 底 × 高

圆的面积 = ×（× C ）× 4r

所以，圆的面积公式是：S =πr²

证明方法2：

半径为r的圆的圆周长为2πr
1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n.
2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形.
3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式)
取极限:lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1
所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2

证明方法3：极限法（高中段:

以圆的正n边形表示圆的面积:

设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积:

Sn=(n/2)r²sin(2π/n)

当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限):

当x→0时,lim[(sinx)/x]=1

[题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]

把Sn变形:

Sn=πr²lim[sin(2π/n)/(2π/n)]

于是,当n→∞时,2π/n→0

lim[sin(2π/n)/(2π/n)]=1

Sn=πr²

证明方法4：极坐标法

设圆的极坐标方程R(θ)=R

圆心角为dθ扇形的面积dA=1/2R^2dθ.

则圆的面积为A=∫(0-2π)dA=∫(0-2π)1/2R^2dθ=πR^2

在极坐标系中，圆心在原点，圆的半径r。取一微小的圆心角dθ，对应的弧长rdθ，由于rdθ极短，可以看成直线，则这个微小的扇形可以看成是一直角三角形，面积ds=(1/2)*r*r*dθ。

对ds积分就得到圆面积：S=∫ds=(1/2)∫(r^2)dθ（积分下限为0，上限为2π），

所以S=πr^2

证明方法5：微积分

一个圆可以看成是无数个同心圆环组成，设所求圆的半径为R，任取某一个内径为r，外径为r+dr的同心圆环，由于dr很小，可以认为将圆环沿径向剪开后，展开得到的是一个长为2πr，宽为dr的矩形（近似的),易知其面积为2πrdr。设面积微元dA=2πrdr。A=∫2πrdr（积分下限是0，积分上限是R)=πR^2

证明方法6：见下图

圆面积公式(10)

半圆的面积=圆面积的一半

即： 半圆的面积公式S＝π r²÷2

半圆的周长=圆周长的一半+直径

即： 半圆的周长公式C＝2π r÷2+2r C＝πd÷2+d

圆面积公式(11)

圆面积教学反思

圆的面积公式推导是学生掌握平行四边形、三角形、梯形面积公式推导后的探究。学生有了应用转化的思想来推导面积公式的经验。所以教学设计时，我注意遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生已有知识出发进行教学设计，为学生的自主探究创造条件。本节教学主要突出了以下几点：

1.复习旧知识，引入新知。让学生回忆一下以前学过的平面图形的面积公式的推导方法，利用多媒体课件直观再现推导过程，学生在回顾旧知识的过程中领悟到这些平面图形面积的推导都是通过拼摆的方法，把要学的图形转化成已经学过的图形来推导的，从而渗透转化的思想，并为后面自主探究推导圆的面积作好铺垫。

　　2.引导学生主动参与知识的形成过程。本课时教学的重点是圆的面积计算公式的推导。教学时，教师作为引导者只是给学生指明了探究的方向，而把探究的过程留给学生。在演示前，我要求学生边观察边思考什么变了，什么没变？你能发现什么？再让学生以小组为单位，通过合作剪拼，把圆转化成学过的图形（平行四边形），我把各小组剪拼的图形逐一展示后，又结合课件演示，引导学生通过观察发现“分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形”，并从中发现圆和拼成的长方形之间的关系，从而根据长方形面积的计算公式，推导出圆面积的计算公式。在整个推导过程中，学生始终以积极主动的状态参与学习讨论，共同经历知识的形成过程，体验成功的喜悦。这样的学习方式不仅有利于学生理解和掌握圆的面积的计算公式，而且培养了他们的创新意识、实践能力、探索精神。在掌握数学学习方法的同时，学生的空间观念得到进一步发展。 在发现了圆面积的公式后，再用用数方格的方法来验证，学生觉得既轻松又简单，而且对公式的掌握和理解学得又牢固扎实。

　　在新课程理念的指导下，特别提出了“让学生经历类比、猜想、验证可探索圆面积的计算方法的过程。”而我在本课中的这些设计符合新课程的理念，使学生在兴趣盎然中经历了自主探究、独立思考、分析整理、合作交流、验证等过程，发现了教学问题，经历了知识产生的过程，理解和掌握了数学基本知识，从而促进了的思维发展。

圆面积公式(12)

《圆面积计算公式的推导》

教学目标

1．使学生理解圆面积公式的推导过程，掌握求圆面积的方法并能正确计算；

2．培养学生动手操作的能力，启发思维，开阔思路；

3．渗透初步的辩证唯物主义思想。

教学重点和难点

圆面积公式的推导方法。

教学过程设计

(一)复习准备

我们已经学习了圆的认识和圆的周长，谁能说说圆周长、直径和半径三者之间的关系？

已知半径，圆周长的一半怎么求？

(出示一个整圆)哪部分是圆的面积？(指名用手指一指。)

这节课我们一起来学习圆的面积怎么计算。(板书课题：圆的面积)

(二)学习新课

1．我们以前学过的三角形、平行四边形和梯形的面积公式，都是转化成已知学过的图形推导出来的，怎样计算圆的面积呢？我们也要把圆转化成已学过的图形，然后推导出圆面积的计算公式。

决定圆的大小的是什么？(半径)所以，分割圆时要保留这个数据，沿半径把圆分成若干等份。

展示“曲”变“直”的变化图。

2．动手操作学具，推导圆面积公式。

为了研究方便，我们把圆等分成16份。圆周部分近似看作线段，其

用自己的学具(等分成16份的圆)拼摆成一个你熟悉的、学过的平面图形。

思考：

(1)你摆的是什么图形？(2)所摆的图形面积与圆面积有什么关系？(3)图形的各部分相当于圆的什么？(4)你如何推导出圆的面积？(学生开始动手摆，小组讨论。)

指名发言。(在幻灯前边说边摆。)

①拼出长方形，学生叙述，老师板书：

②还能不能拼出其它图形？

学生可以拼出：

等等……

刚才，我们用不同思路都能推导出圆面积的公式是：。这几种思路的共同特点都是将圆转化成已学过的图形，并根据转化后的图形与圆面积的关系推导出面积公式。

例1 一个圆的半径是4厘米，它的面积是多少平方厘米？

=3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)

答：它的面积是50.24平方厘米。

想一想；求圆面积S应知道什么？如果给d和C，又怎样求圆面积？

(三)巩固反馈

1．求下面各圆的面积。

r=2(单位：分米)　　　　　　 d=6(单位：分米)

2．选择题。

用2米长的绳子把小羊拴在草地上的木框上，羊吃到地上的草的最大面积是多少？

(1)3.14×22＝12.56(米)

(2)3.14×22=12.56(平方米)

(3)3.14×32=28.26(平方米)

3．思考题：

已知正方形的面积是18平方米，求圆的面积。(如图)

板书设计

圆面积公式(13)

先创建一个Point类，然后定义Trianglele类。在Trianglele类中定义三个Point的实体来表示一个三角形的三个点，再定义构造方法对这三个点进行初始化，然后定义两个方法求三角形的周长、面积。定义一个测试类，在main()中创建一个对象，求给定三点的三角形的周长、面积。

编程求解矩形和圆面积。要求：为了让程序具有较好的扩展性，编写形状接口（J_sharp），并且让矩形类（J_Rectangle）和圆类（J_Circle）均实现其接口。然后定义一个测试类（J_Area）进行测试。

Point.class

public class Point {

int x;

int y;

Point(){

}

Point(int a,int b){

x=a;

y=b;

}

public static double getInstance(Point p1, Point p2) {

return Math.sqrt(Math.pow(p1.x - p2.x, 2) + Math.pow(p1.y - p2.y, 2));

}

}

Triangle.class

public class Triangle {

Point n1,n2,n3;

boolean isTriangle;

public Triangle(Point n1,Point n2,Point n3){

this.n1=n1;

this.n2=n2;

this.n3=n3;

double sideA=Point.getInstance(n1,n2);

double sideB=Point.getInstance(n2,n3);

double sideC=Point.getInstance(n1,n3);

if(sideA+sideB>sideC&&sideB+sideC>sideA){

isTriangle=true;

}

else{

isTriangle=false;

}

}

public void getPerimeter(){

if(isTriangle){

double sideA=Point.getInstance(n1,n2);

double sideB=Point.getInstance(n2,n3);

double sideC=Point.getInstance(n1,n3);

System.out.println("三角形的周长为"+(sideA+sideB+sideC));

}

else{

System.out.println("不能构成三角形！！！");

}

}

public void getArea(){

if(isTriangle){

double sideA=Point.getInstance(n1,n2);

double sideB=Point.getInstance(n2,n3);

double sideC=Point.getInstance(n1,n3);

double p=(sideA+sideB+sideC)/2.0;

System.out.println("三角形的面积为"+ Math.sqrt(p*(p-sideA)*(p-sideB)*(p-sideC)));

}

else{

System.out.println("不能构成三角形！！！");

}

}

}

Test.class

public class Test {

public static void main(String[] args) {

Point n1=new Point(3,0);

Point n2 =new Point(0,4);

Point n3=new Point(0,0);

Triangle sanjiao=new Triangle(n1,n2,n3);

sanjiao.getPerimeter();

sanjiao.getArea();

}

}

J_sharp接口

public interface J_sharp {

public double Area();

}

J_Rectangle.class

public class J_Rectangle implements J_sharp {

double length;

double width;

double area;

J_Rectangle(double width,double length){

this.width=width;

this.length=length;

}

public double Area(){

area=width*length;

return area;

}

}

J_Circle.class

public class J_Circle implements J_sharp{

double r;

public J_Circle(double r){

this.r=r;

}

public double Area(){

return r*r*3.1415;

}

}

J_Area.class

public class J_Area {

public static void main(String[] args) {

double r=10.0;

double width=12.0;

double length=4.0;

J_Rectangle rectangle=new J_Rectangle(width,length);

J_Circle circle =new J_Circle(r);

double result=rectangle.Area();

System.out.println("矩形的面积为"+result);

result=circle.Area();

System.out.println("圆的面积为"+result);

}

}

圆面积公式(14)

圆面积的实际运用，及圆环的面积计算　　

教学内容：圆面积的实际运用，及圆环的面积计算。

　　教学目标：

　　1、圆面积的实际运用，及圆环的面积计算使学生学会已知圆的周长求圆的面积的解题思路与方法，理解并学会环形面积。

　　2、培养学生灵活、综合运用知识的能力，运用所学的知识解决简单的实际问题。

　　3、培养学生的逻辑思维能力。

　　教学重点：培养综合运用知识的能力。

　　教学难点：培养综合运用知识的能力。

　　教学过程：

　　一、复习铺垫。

　　1、口算

　　32 　　42 　　52　　 82　　 92 　　202

　　2π　　 5π 　　7π 　　10π　　 9π 　　5π

　　2、复习圆的面积计算公式，我们怎样推导它的。完成相应填空练习。

　　3、看图列式计算。

　　二、新知探究

　　1、教学练习十六第3题

　　小刚量得一棵树干的周长是125.6cm，这棵树干的横截面积是多少？

　　已知： c=125.6厘米　　　　　　 s=πr2

　　r：125.6÷(2×3.14) 　　　　　　　　3.14×202

　　=125.6÷6.28 　　　　　　　　　　=3.14×400

　　=20(厘米) 　　　　　　　　　　　=1256(平方厘米)

　　答: 这棵树干的横截面积1256平方厘米。

　　2、反馈练习：

　　学校一圆形花坛的周长是18.84米，花坛的面积是多少？

　　选择正确算式

　　A、(18.84÷3.14÷2)2×3.14

　　B、(18.84÷3.14)2×3.14

　　C、18.842×3.14

　　3、教学圆环的面积。

　　（1）例2 光盘的银色部分是个圆环，内圆半径是2cm，外圆半径是6cm。它的面积是多少？

　　已知：R=6厘米 r=2厘米 求： s=？

　　3.14×62　　　　　　 　　　　3.14×22

　　=3.14×36　　　　 　　　　=3.14×4

　　=113.04（平方厘米）　　 =12.56（平方厘米）

　　113.04－12.56　　　　　　=100.48 （平方厘米）

　　第二种解法：3.14×（62－22）=100.48(平方厘米)

　　请学生说一说这两种方法有什么不同，两者之间可以通过什么运算定律互相转化，引导学生在计算圆环的面积时，尽量使用简便算法，可以减少计算量。

　　（2）小结：圆环的面积计算公式：

　　S=πR2－πr2 或 S=π×（R2－r2）

　　（3）反馈练习：

　　①完成做一做：一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？

　　②环形铁片，外圈直径20分米，内圆半径7分米，环形铁片的面积是多少？（提醒学生认真审题。）

　　三、课堂小结知识要点。（四人小组先梳理然后全班交流）

　　已知半径求面积 S=πr2

　　已知直径求面积 S=π（d/2）2

　　已知周长求面积 S=π（c/2/π ）2

　　环形面积： S=π（R2-r2）

　　四、布置作业

　　练习册32页

圆面积公式(15)

求圆的面积需要半径吗

摘 要：本文首先从日常教学中教师的不严谨的叙述出发提出求圆面积是否需要半径的问题；其次从化圆为方的方向说明要估算一个圆的面积不需要知道圆的半径；再次从分割的方向说明要计算圆的面积可以先算部分，再算整体；然后从圆面积公式出发说明知道不需要算出半径同样可求圆的面积；最后从圆面积公式出发说明知道圆的半径可以求圆的面积。从而得出解决问题，得出结论，求圆的面积并不是非要知道圆的半径。

关键词：圆；面积；半径

圆的面积是小学阶段学习的最后一个平面图形的面积。它让我想起了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积。它们同属于平面图形，但又有着彼此的不一样。偶然的机会，我幸运的阅读了沈徐建和朱乐平两位老师撰写的《求长方形的面积必须知道它的长和宽吗》一文，笔者在文中详细的阐释了长方形的长和宽是求长方形面积的充分条件而非必要条件。现实教学中，有的老师偏偏采用了文中所阐述的错误叙述：“要求一个长方形的面积，必须要知道长方形的长和宽。” 这句话他们不仅会在长方形的面积计算中运用，正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算中，老师们都不约而同的效仿了前面那句错误的说法。圆作为小学阶段学习的唯一个由曲线围成的平面图形，也没有逃过部分老师在面积教学时的错误借鉴：“同学们，要求圆的面积，必须要知道圆的什么呢？必须要知道圆的半径。”借用《求长方形的面积必须知道它的长和宽吗》文中逻辑，同理可得，圆的半径也是求圆面积的充分条件非必要条件。也就是说，要求圆的面积，知道圆的半径可以求，不知道圆的半径也可以求，不是必须要知道圆的半径，有的时候，当圆的半径未知时，圆的面积照样可求，也许还会变得更加简便。下文笔者会从不同角度阐述求圆的面积不是一定要知道圆的半径。

一、 化圆为方

求圆的面积在现在看来可能是一个非常简单的小学生问题，可在古代，有着文明古国之称的埃及却把圆看成是神赐予人的神圣图形。当时，要求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验，是一个世界性的数学难题，不少数学家都为了它绞尽脑汁。它们认为，既然正方形的面积那么容易求，只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。可怎样才能做出这样的正方形呢？这就是古代的三大几何难题之一——化圆为方。虽然古人“化圆为方”的方法不能精确的计算出一个圆的面积，但是他们给我们提供了一种新的解题思路，一种能让人们估计圆面积的估算方法。有时，当我们不需要知道一个圆的具体面积时，估算会显得十分有用和方便。在西师版六年级上册教材中就出现了“化圆为方”的这种估算圆面积的方法。如图1：

图1

图1虽然不是画圆的内接正方形，但它是以圆半径作为正方形的边长画正方形，与“化圆为方”有着同样的思想，有着相同的目标——求圆的面积。观察图1，学生非常容易就能确定圆面积一定会比四个正方形面积小，可能会比三个正方形面积大的结论，从而把圆面积固定在这一区间内。为了让学生的估算更接近圆的面积，教材给出了图2。

图2

图2将正方形平均分成了16个小正方形，通过数小正方形的个数，进一步缩小圆面积所在的区间，使得估算结果更接近圆面积。随着圆中画的正方形个数越来越多，每个小正方形的面积越来越小，即单位面积越来越小的时候，圆的面积也会越来越接近于这些单位面积之和，当圆中的小正方形分到无限多个时，圆的面积也会无限的接近于小正方形面积之和。这样类似于化圆为方的方法，教师们通常叫做数方格，其实就是选择合适的单位面积对事物进行测量，当单位面积越小，结果精确度越高。在运用这种方法的时候，学生只需要知道每个单位面积的大小，根本不需要去管圆半径是多少，就可以通过数数的方式直接得出圆面积的具体存在区间。因此，“化圆为方”在不知道半径的前提下能确定圆面积的实际区间，也应当是求圆面积的方法之一，或是验证圆面积的方法之一。

二、 化整为零

切西瓜在夏天是人们经常做的事情。“切”在数学中叫分割，这种方式却被广泛的应用于数学研究和教学中。在研究圆面积时，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次。直到16世纪，天文学家开普勒运用自己发明的无穷分割法，把圆分割成无穷多个小扇形，求出了圆的面积。他的无穷分割法很快被传开。数学家们也高度评价开普勒，称赞他创造了求圆面积的新方法。既然古人已经把分割作为求圆面积的方法，在现实教学和学习中也可以直接采用“化整为零”的方式把圆进行分割，先求部分，再求整体。

例1已知由某个圆分割出的一个扇形的面积是5，这个扇形是圆的，求这个圆的面积？

分析：已知圆中扇形的面积是5，它又是圆的，即圆面积是这个扇形面积的10倍，显然圆面积就是5×10﹦50。

像例1这类题它并不需要求出圆半径便能轻易算出圆的实际面积。如果学生受教师错误表述的影响，必须先求出半径，这个问题小学生可能将无法解决。

三、 化难为易

圆面积怎么求？这个问题是否很简单，只要用公式一算，结论就出来了。现实往往不如学生们想像那么容易，就因为部分教师一句错误的阐述，他们的思维被固化。他们但凡遇见与求圆面积有关的问题，就必须要知道圆的半径。有些和圆面积相关的问题，他们的想法却背离了题目意思，他们越想求半径，从题目中就很难求出半径，最终他们越陷越深，直至放弃。其实，老师们在教学时也经常提醒学生做题应先易后难，那我们为何不在求圆面积时，放弃难求的半径，化难为易，跳出固有的思维呢？

例2 如图1所示，已知阴影部分的面积为4，求圆的面积是多少？

分析：受教师错误表述的影响，要求圆的面积，必须先求圆的半径。于是大多数学生都会不自觉的先去求圆的半径。题目中圆的半径就是正方形的边长，条件又告诉了正方形的面积。学生很容易根据公式正方形的面积﹦边长×边长，得到2×2﹦4，求出圆的半径正好是2m，从而求到圆的面积解决问题。

由于例2给出的条件数据较为特殊，学生即使在错误的固定思维的引导下也能解决问题。可是当条件数据发生变化（如例3），不再能使用正方形面积公式算出边长时，学生面对求半径可能就是束手无策。

例3 如图1所示，已知阴影部分的面积为3，求圆的面积是多少？

分析：本题和例2属于同一类型题目，只是数据上有所变化。如果照搬其思路，由于学生现有知识水平有限，还未曾接触过开方的知识，在求圆半径时很容易碰壁，求不出半径，从而求不出圆的面积。从另一个角度看，正方形的面积﹦边长×边长，而其边长恰好是圆的半径，即正方形的面积﹦半径×半径，从而得出，从而跨越了求圆半径，直接求出圆的面积，这样不就做到了“化难为易”吗？

对于上述类型题目而言，老师们应该借机把学生带出其固定的思维——求圆面积不是必须求出圆的半径，做到把题目“化难为易”，给学生相应的提示。既然求半径是件很困难的事情，就可以考虑一些简单容易做的事情，比如是否能直接求半径的平方？学生的定势思维很快就会被一句不经意的话打破，从而得出另一种解决圆面积的简便方法。

四、 化无为有

“无中生有”在数学教学和学习中是一种非常好的方法。在解决一些几何题时，通常都需要人为的添加上一条或几条辅助线；在解决一些实际问题时，需要自己寻找和直接量有关的间接量，从而算出解决问题需要的直接量，我把它们叫“化无为有”。这种方法其实是老师和学生们用得最多、最熟、最直接的方法。

例4 有一个圆的直径是4dm，它是面积是多少？

分析：要求圆的面积，如果知道半径或半径的平方，就可以直接用公式解决问题。但条件告诉的并不是直接需要的半径或半径的平方，只给出了直径这个间接的条件。这时，就需要利用直径和半径的关系，把本来没有的半径给算出来，从而利用公式解决问题。

例5 有一个圆的周长为6.28 dm，它是面积是多少

分析：它与例4属于同一类型的题目，都可以用“化无为有”这种方法，先利用已知的周长和未知的半径之间的关系，求出圆的半径，从而求出圆面积。

类似于例4和例5这样的题型，在教学中，老师们把他们当成了重点。其实根据老师们的错误叙述，学生能根据已学，先求出圆的半径，再求圆的面积。这种类型的题目往往是学生掌握得最快，也最容易掌握的题目。

综上“四化”，当直接知道圆半径或间接能求出圆半径时，圆的面积是可求的；当不知道圆的半径或求不出圆的半径时，圆的面积同样可求。因此，求圆的面积不是必须知道半径。虽然“必须”一词带来的思考到此已结束，也说明了数学是一门严谨的科学，但由“必须”一词带给学生的固定思维还需要教师们进行纠正，“必须”带给老师们的思考并未结束。

圆面积公式(16)

菱形面积公式_公式总结

菱形的面积公式
1菱形面积公式就是由三角形面积公式得来的。菱形面积=两个三角形面积的和
2.对角线乘积的一半，即S=（AC×BD）÷2(只要是对角线互相垂
直的四边形都可用，如正方形，菱形，记为：二分之一对角线相乘）。
3.S菱形=底*高(跟平行四边形面积公式一样，菱形是特殊的平行四边形）。
4.面积公式是:a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长
S=Dd/2 =a2sinα 。
5.边长的平方减去对角线差一半的平方。

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