知识点：1.数列的概念与表示方法

C

【考点】数列的概念及简单表示法．

【分析】根据题意，分析可得数列的通项公式为an=，令an==9，解可得n的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，数列，

则有an=，

若an==9，解可得n=14，

即9是此数列的第14项，

故选：C．

知识点：4.等比数列及其性质

C

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】利用等比数列定义求解．

【解答】解：在A中，an=2n， =，不是常数，故A不成立；

在B中，， =，不是常数，故B不成立；

在C中，an=2﹣n， ==，是常数，故C成立；

在D中，an=log2n， =，不是常数，故D不成立．

故选：C．

知识点：1.不等式关系与不等式

A

【考点】不等式的基本性质．

【分析】A．由a＞b， =＞0，可得ab＜0，因此a＞0＞b，即可判断出正误．

B．b＜0时不成立．

C．取a=6，b=1，c=1，d=2，即可判断出正误．

D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，即可判断出正误．

【解答】解：A．∵a＞b， =＞0，∴ab＜0，因此a＞0＞b，正确．

B．b＜0时不成立．

C．取a=6，b=1，c=1，d=2，满足a＞b，a+c＞b+d，而c＜d，因此不正确．

D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，满足a＞b，c＞d，则ac＜bd，不正确．

故选：A．

知识点：3.等差数列的前n项和

A

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】根据题意和等差数列的性质化简已知的等式，由等差数列的前n项和公式、等差数列的性质求出S15的值．

【解答】解：∵a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，

∴a1﹣（a4+a8+a12）+a15=2，则2a8﹣3a8=2，

解得a8=﹣2，

∴S15==15a8=﹣30，

故选：A．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

D

【考点】正弦定理．

【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．

【解答】解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，

∴sinAcosA=sinBcosB，

∴sin2A=sin2B，

∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，

所以△ABC为等腰或直角三角形．

故选：D．

知识点：2.等差数列及其性质

D

【考点】等差数列的性质．

【分析】根据题意，可得lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质可得lg[2•（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解可得2x的值，由指数的运算性质可得答案．

【解答】解：若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），

由对数的运算性质可得lg[2•（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，

解得2x=5或2x=﹣1（不符合指数函数的性质，舍去）

则x=log25

故选D．

知识点：5.等比数列的前n项和

C

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】设等比数列{an}的公比是q，由题意和等比数列的前n项和列出方程组，由等比数列的通项公式化简后求出q的值，再表示所求的式子求出答案．

【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，

∵S4=1，S8=3，

∴，两式相除得q4=2，

∴a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4）q16=16，

故选C．

知识点：4.基本不等式

D

【考点】基本不等式．

【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出正误．

【解答】解：A．ab＜0时不成立．

B．x＜0，则x+=﹣≤﹣2=﹣4，因此不成立．

C．取a=﹣1，b=﹣2时，不成立．

D．x＜0，则2x+2﹣x＞2，成立．

故选：D．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

B

【考点】简单线性规划的应用．

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．

【解答】解：设变量x、y满足约束条件，

在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），

则目标函数z=2x+y的最小值为3，

故选B

知识点：4.等比数列及其性质

C

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】把数列的各项用首项和公比表示，然后直接作差得答案．

【解答】解：由题意可知，a1＞0，q＞0，

=＞0．

∴a1+a8＞a4+a5．

故选：C．

知识点：13.函数与方程

D

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】令3x=t＞0，由条件可得a=，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．

【解答】解：令3x=t＞0，则关于x的方程9x+（4+a）•3x+4=0 即 t2+（4+a）t+4=0 有正实数解．

故a=，

由基本不等式可得：t+≥4，当且仅当t=时，等号成立，

∴﹣（t+）≤﹣4，即﹣4﹣（t+）≤﹣8，

∴a≤﹣8，

∴a的取值范围是（﹣∞，﹣8]．

故选：D．

知识点：4.等比数列及其性质

C

【考点】等比关系的确定．

【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．

【解答】解：由等比数列性质知，

①=f2（an+1），故正确；

②≠=f2（an+1），故不正确；

③==f2（an+1），故正确；

④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠=f2（an+1），故不正确；

故选C

知识点：1.不等式关系与不等式

a＜b

【考点】不等式比较大小．

【分析】作差利用分母有理化因式即可得出．

【解答】解：b﹣a=﹣+＞0，

∴b＞a．

故答案为：a＜b．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

5

【考点】简单线性规划．

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件，的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．

【解答】解：满足约束条件的可行域：

如下图所示：

又∵的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率

当x=1，y=5时，有最大值5．

给答案为：5．

知识点：2.一元二次不等式及不等式的解法

m≤

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】关于x的不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1＞0的解集为∅，可转化成不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1≤0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．

【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1＞0的解集为∅，

∴不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1≤0恒成立

①当m﹣1=0时，（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1≤0，即x≥0，不是对任意x∈R恒成立；

②当m﹣1≠0时，∀x∈R，使（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1≤0，

即m﹣1＜0且△=（﹣m）2﹣4（m﹣1）（m﹣1）≤0，

解得m≤

综上，实数m的取值范围是m≤．

故答案为m≤．

知识点：4.基本不等式

【考点】对数的运算性质．

【分析】由，可得3a+4b==2ab，a，b＞0. =2，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：∵，∴3a+4b==2ab，a，b＞0．

∴=2，∴a+b=（a+b）=（7++）≥=，

当且仅当a=2b=3+2．

则a+b的最小值为，

故答案为：．

知识点：2.一元二次不等式及不等式的解法

【考点】其他不等式的解法．

【分析】（1）将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集；

（2）将分式不等式右边化零、并因式分解后，进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集．

【解答】解：（1）由得，

则，解得﹣3≤x＜，

所以不等式的解集是；

（2）由得，

化简得，即，

等价于（x﹣2）（x﹣8）（x﹣3）（x﹣7）＜0，如图所示：

由图可得，不等式的解集是（2，3）∪（7，8）．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

【考点】余弦定理；三角形的形状判断；正弦定理．

【分析】（1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，从而求得B的值．

（2）由△ABC的面积为，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．

【解答】解：（1），∵，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴．

∵0＜B＜π，∴． …

（2）由已知得：，∴ac=4．

由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．

∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…

知识点：3.等差数列的前n项和

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（1）依题意，可求得p的值，继而可求得数列{an}的首项与公差，从而可得通项公式；

（2）由an=2log2bn可求得bn=24n﹣3，利用等比数列的求和公式可求数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）∵数列{an}为等差数列，

且a1与a5的等差中项为18，

∴a3=18，

又a3=S3﹣S2=（9p﹣6）﹣（4p﹣4）=5p﹣2，

∴5p﹣2=18，解得：p=4，

∴a1=S1=4﹣2=2，∴公差d==8，

∴an=2+（n﹣1）×8=8n﹣6；

（2）∵an=2log2bn=8n﹣6，

∴bn=24n﹣3，

∴数列{bn}是以2为首项，24=16为公比的等比数列，

∴数列{bn}的前n项和Tn==（16n﹣1）．

知识点：2.一元二次不等式及不等式的解法

【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．

【分析】（1）利用韦达定理，建立方程，即可求a的值；

（2）不等式转化为（4x+m）（﹣4x+2）＞0，分类讨论，解不等式．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=4x2+ax+2，不等式f（x）＜c的解集为（﹣1，2），

∴﹣1+2=﹣，∴a=﹣4；

（2）不等式转化为（4x+m）（﹣4x+2）＞0，

可得m=﹣2，不等式的解集为∅；

m＜﹣2，不等式的解集为{x|}；

m＞﹣2，不等式的解集为{x|﹣}．

知识点：9.正弦定理和余弦定理（解三角形）

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】由△BCD的面积为4，求得sin∠BCD 的值，进而求得cos∠BCD 的值，△BCD中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的长．

【解答】解：由题意可得CB•CD•sin∠BCD=4，即×2×2 sin∠BCD=4，解得 sin∠BCD=．

①当∠BCD 为锐角时，cos∠BCD=．

△BCD中，由余弦定理可得 BD==4．

△BCD中，由正弦定理可得，即，故 sinB=．

在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得 AC=4．

②当∠BCD 为钝角时，cos∠BCD=﹣．

△BCD中，由余弦定理可得 BD==4．

△BCD中，由正弦定理可得，即，故 sinB=．

在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得 AC=2．

综上可得 AC=4或2，

故答案为 4或2．

知识点：2.等差数列及其性质

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）两边同除以2n，由等差数列的定义，即可得证；

（2）两边同加上3，由等比数列的定义，即可得证；

（3）两边同除以2n，可得=+1+，即为==1+，再由数列恒等式，可得数列{an}的通项公式；再由错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

【解答】解：（1）证明：t=0，m=0时，an=2an﹣1+2n，

两边同除以2n，可得=+1，

即有是首项为，公差为1的等差数列；

（2）证明：t=﹣1，m=时，an=2an﹣1+3，

两边同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3），

即有数列{an+3}为首项为6，公比为2的等比数列；

（3）t=0，m=1时，an=2an﹣1+2n+3，

两边同除以2n，可得=+1+，

即为==1+，

即有得=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=+1++1++…+1+，

=n﹣1+=n+2﹣，

则an=（n+2）•2n﹣3，

前n项和Sn=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n﹣3n，

可令Rn=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n，

2Rn=3•22+4•23+5•24+…+（n+2）•2n+1，

两式相减可得，﹣Rn=3•2+22+23+…+2n﹣（n+2）•2n+1

=4+﹣（n+2）•2n+1

=2﹣（n+1）•2n+1，

则Rn═（n+1）•2n+1﹣2，

Sn=（n+1）•2n+1﹣2﹣3n．