知识点：3.集合的基本运算

A

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】求出集合的等价条件，结合交集运算进行求解即可．

【解答】解：A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，

B={x|y=}={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}，

则A∩B={y|0＜y＜}，

故选：A

知识点：3.复数代数形式的四则运算

D

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数==+i的实部与虚部相等，

∴=，解得a=﹣．

故选：D．

知识点：3.几何概型

B

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式．

【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可．

【解答】解：f′（x）=x2+2mx+1，

若函数f（x）有极值点，

则f′（x）有2个不相等的实数根，

故△=4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，

而a=log0.55＜﹣2，0＜b=log32＜1、c=20.3＞1，0＜d=（）2＜1，

满足条件的有2个，分别是a，c，

故满足条件的概率p==，

故选：B．

知识点：1.算法与程序框图

C

【考点】EF：程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，由裂项法即可计算得解．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加并输出S=S=++…+的值，

又由：S=++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．

故选：C．

知识点：2.双曲线

C

【考点】KB：双曲线的标准方程．

【分析】设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论．

【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）

∵渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，

∴=1，

∴n=2m，∴渐近线方程为x±2y=0

∴双曲线方程设为x2﹣8y2=λ，

代入点（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，

∴双曲线方程为8y2﹣x2=1．

故选：C．

知识点：10.空间角与距离

B

【考点】LM：异面直线及其所成的角．

【分析】取AC中点O，连结DO，EO，则EO∥AB，从而∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．

【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，

∵三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，

∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），

设三棱锥A﹣BCD的各棱长为2，

则DE=DO==，OE=1，

∴cos∠DEO===．

∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．

故选：B．

知识点：6.三角函数的图像与性质

D

【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．

【分析】化函数f（x）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确．

【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx

=sinxcosx+cos2x

=sin2x+

=（sin2x+cos2x）+

=sin（2x+）+，

∴f（x）的最小正周期为T==π，∴A错误；

x∈[，]时，2x+∈[，]，

f（x）是单调递增函数，∴B错误；

当x=﹣时，f（x）=sin（﹣+）+=sin（﹣）+，

∴x=﹣不是f（x）的对称轴，C错误；

将f（x）的图象向右平移，得y=sin2[（x﹣）+]+的图象，

再向下平移个单位长度得y=sin2x的图象，它是奇函数，D正确．

故选：D．

知识点：4.等比数列及其性质

D

【考点】8H：数列递推式．

【分析】利用a3=S3﹣S2，即可得到log2b2．验证可知A，B，C均不符合，即可得出．

【解答】解：∵a3=S3﹣S2=（32﹣3）﹣（22﹣2）=4，∴b2=a3=4，log2b2=log24=2．

验证可知A，B，C均不符合，

故答案为D．

知识点：3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划

D

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=（a≥b＞0）得y=，

则斜率k=，

则由图象可知当直线y=经过点B（1，4）时，

直线y=的截距最大，

此时，

则a+b=（a+b）（）=1+4+，

当且仅当，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．

设t=，

∵a≥b＞0，

∴0＜≤1，即0＜t≤1，

则1+4+=5+t+在（0，1]上单调递减，

∴当t=1时，

1+4+=5+t+取得最小值为

5+1+4=10．

即a+b的最小值为10，

故选：D．

知识点：2.空间几何体的三视图和直观图

A

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．

【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：

其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．

∴S△ABC==4，S△BCD==4．

∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，

由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．

∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．

∴S△ABD==4．

∴几何体的表面积为8+8+4．

故选A．

知识点：13.函数与方程

B

【考点】52：函数零点的判定定理．

【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，g（x）=mx＜0，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．

【解答】解：当m＜0时，当x＞0时，g（x）=mx＜0，

又二次函数f（x）=2mx2﹣（8﹣2m）x+1开口向下，

当x→+∞时，f（x）=2mx2﹣（8﹣2m）x+1＜0，故当m＜0时不成立；

当m=0时，因f（0）=1＞0，不符合题意；

当m＞0时，

若﹣=≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；

若﹣=＜0，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8，

综上：0＜m＜8．

故选：B．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

B

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，

⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．

【解答】解：∵

∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，

⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，

又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，

∴t＜．

故选：B

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

﹣2

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】由已知中△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，我们易将•（+）转化为2（||﹣1）2﹣2的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．

【解答】解：∵AM为△ABC的中线，故M为BC的中点

则+=2

=+

则•（+）=（+）•2

=22+2•

=2||2﹣4||

=2（||﹣1）2﹣2

当||=1时， •（+）的最小值为﹣2

故答案为：﹣2

知识点：4.直线与圆的位置关系

[0，3]

【考点】J5：点与圆的位置关系；IR：两点间的距离公式．

【分析】设点M（x，y），由题意得x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，若圆C上存在点M满足MA2+MO2=10也就等价于圆E与圆C有公共点，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】解：设点M（x，y），由题意得点A（0，2），O（0，0）及MA2+MO2=10，

即x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，整理得x2+（y﹣1）2=4，

即点M在圆E：x2+（y﹣1）2=4上．

若圆C上存在点M满足MA2+MO2=10也就等价于圆E与圆C有公共点，

所以|2﹣1|≤CE≤2+1，

即|2﹣1|≤≤2+1，

整理得1≤2a2﹣6a+9≤9，解得0≤a≤3，

即实数a的取值范围是[0，3]．

故答案为：[0，3]．

知识点：5.等比数列的前n项和

【考点】89：等比数列的前n项和．

【分析】根据等比数列的求和公式求出Sn，分n为奇数或偶数计算出Sn的范围，从而得出Sn﹣的最大值与最小值．

【解答】解：Sn==1﹣（﹣）n，

（1）当n为奇数时，Sn=1+，∴1＜Sn≤，

（2）当n为偶数时，Sn=1﹣，∴≤Sn＜1．

∴对于任意n∈N*，≤Sn≤．

令Sn=t，f（t）=t﹣，则f（t）在[，]上单调递增，

∴f（t）的最小值为f（）=﹣，f（t）的最大值为f（）=，

∴Sn﹣的最小值为﹣，最大值为，

∴Sn﹣的最大值与最小值之和为﹣+=．

故答案为：．

知识点：8.三角函数模型的简单应用

10

【考点】5D：函数模型的选择与应用．

【分析】作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB﹣2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．

【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．

因为AB为直径，所以∠ADB=90°．

在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，

所以Rt△ADB∽Rt△AED．

所以=，即AE=．

又AD=x，AB=4，所以AE=．

所以CD=AB﹣2AE=4﹣，

于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8

由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，

解得0＜x＜2，

故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）

y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，

又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．

【分析】（1）化简f（x），问题转化为y=m和y=f（x）在x∈[，]有2个不同的交点，画出函数的图象，求出m的范围即可；

（2）求出B的值，根据正弦定理得到a+c=2b=4，根据余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac，求出ac的值，从而求出三角形的面积即可．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，

∴f（x）=sin2x﹣+=sin（2x﹣），

∴f（x）=sin（2x﹣），

∵x∈[，]，∴2x﹣∈[0，]，

若∀x∈[，]，f（x）﹣m=0有两个不同的根，

则y=m和y=f（x）在x∈[，]有2个不同的交点，

画出函数的图象，如图所示：

，

结合图象得≤m＜1；

（2）由f（B）=，解得：B=或B=，

由sinA、sinB、sinC成等差数列，结合正弦定理得a+c=2b=4，

故B=，且b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac，

故ac=（24﹣12），

故S△ABC=acsinB=（24﹣12）×=6﹣3．

知识点：2.用样本估计总体

【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数．

（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，当100＜x≤200时，y=10x﹣5=15x﹣750，当150＜x≤200时，y=10×150=1500，由此能将y表示为x的函数．

（Ⅲ）由利润不少于1350元，得150x﹣750≥750，由此能求出利润不少于1350元的概率．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20=0.3．

这个开学季内市场需求量的众数估计值是150．

需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，

需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，

需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，

需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，

需求量为[180，200）的频率为0.0075×20=0.15，

则平均数： =110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．

（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，

所以当100＜x≤200时，y=10x﹣5=15x﹣750，

当150＜x≤200时，y=10×150=1500，

所以y=，x∈N．

（Ⅲ）因为利润不少于1350元，

所以150x﹣750≥750，解得x≥140．

所以由（Ⅰ）知利润不少于1350元的概率p=1﹣0.1﹣0.2=0.7．

知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（I）取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1H⊥AD于H，可证四边形PQBE为平行四边形，得出PQ∥BE，故而PQ∥面A1ABB1；

（II）由AA1⊥面ABCD可得AA1⊥BC，由相似三角形可得AB1⊥BE，故而AB1⊥平面PEBC，求出B1到平面PEBC的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积．

【解答】解：（Ⅰ）证明：取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1H⊥AD于H．

∵AA1⊥面ABCD，AA1∥D1H，∴D1H⊥面ABCD．

∴∠D1DA为DD1与面ABCD所成角．

∴=2，又AA1=4，

∴DH=2．

∴A1D1=2．

∴PE=（A1D1+AD）=3，

又EF∥AD，

∴四边形PQBE为平行四边形，

∴PQ∥BE，

又PQ⊄面A1ABB1，BE⊂面A1ABB1，

∴PQ∥面A1ABB1．

（Ⅱ）∵AA1⊥面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴AA1⊥BC，

又BC⊥AB，AB∩AA1=A，

∴BC⊥面ABB1A1，又AB1⊂平面ABB1A1，

∴BC⊥AB1．

在梯形A1ABB1中，Rt△BAE≌Rt△AA1B1，

∴∠B1AE+∠AEB=∠B1AE+∠AB1A1=90°，

∴AB1⊥BE，

又BE∩BC=B，BE⊂平面PEBC，BC⊂平面PEBC，

∴AB1⊥面PEBC．

设AB1∩BE=M，∵AE=2，AB=4，∴BM=2，

∵A1B1=2，AA1=4，∴AB1=2，

∴AM==，

∴B1M=AB1﹣AM=，

又BQ=BC=3，

∴V=V===6．

知识点：3.抛物线

【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．

【分析】（Ⅰ）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用△＞0，即可求得k的取值范围，求得直线l倾斜角的取值范围；

（Ⅱ）设圆M的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得r的值及直线l的斜率k，求得直线及圆的方程．

【解答】解：（Ⅰ）由已知直线l的斜率存在且不为0．

设l：y=k（x+1），则，整理得：ky2﹣4y+4k=0，

y1+y2=，

△=16﹣4k×4k＞0，解得：﹣1＜k＜1且k≠0．

∴直线l倾斜角的取值范围（0，）∪（，π）；

（Ⅱ）设⊙M：（x﹣5）2+y2=r2，（r＞0），

则，则x2﹣6x+25﹣r2=0，

∴x1+x2=6，

又由（Ⅰ）知y1y2=4，∴x1x2=1．

∴25﹣r2=1，∴r2=24，

并且r2=24时，方程的判别式△=36﹣4×（25﹣r2）＞0，

由y1+y2=k（x1+x2+2）=，解得：k=±，

∴存在定圆M，经过A、B两点，

其方程为：（x﹣5）2+y2=24，此时直线l方程为y=±（x+1）．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2ax+（2﹣a）=，

当a=0时，f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．

当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．

当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．

（Ⅱ）g（x）=﹣2，g′（x）=，x∈（﹣∞，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，

x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（﹣2，﹣2]，

由已知，，

由f（e）=1﹣ae2+2e﹣ea≤﹣2，∴a≥，

由f（）=ln﹣+﹣1＞﹣2，

∴lna﹣+＜0，

令h（x）=lnx﹣知h（x）单调递增，

而h（e）=0，∴a∈（0，e）时，lna﹣+＜1，

∴a∈（0，e），综合以上，≤a＜e．

知识点：2.坐标系与参数方程

【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程能求出直线l恒过的定点A的坐标．

（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．由t的几何意义知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到||=9，进而求出tan，由此能求出直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，

x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为： =1．

∵直线l的参数方程是（t为参数），

∴直线l恒过定点为A（2，0）．

（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，

整理，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．

由t的几何意义知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，

∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，

∴t1t2=，∵|AP|•|AQ|=|t1t2|=9，即||=9，

∴，∵α∈（0，π），∴tan，

∴直线l的方程为y=．

知识点：3.不等式选讲

【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．

（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．

【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．

①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；

②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；

③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，

综上所述，不等式的解集为（﹣]；

（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，

∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．