。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

。

。

【考点】等比数列，概率。

∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。

6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

∵长方体底面是正方形，∴△中cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。

∴四棱锥的体积为。由

2。

【考点】双曲线的性质。

由得。

∴，即，解得。

。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

由，得，由矩形的性质，得。

∵，∴，∴。∴。

记之间的夹角为，则。

又∵点E为BC的中点，∴。

∴

。

本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

。

【考点】周期函数的性质。

∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。

又∵，，

∴②。

联立①②，解得，。∴。

。

【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

∵为锐角，即，∴。

∵，∴。∴。

∴。

∴

。

。

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。

∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有

公共点；

∴存在，使得成立，即。

∵即为点到直线的距离，∴，解得。

∴的最大值是。

9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

由值域为，当时有，即，

∴。

∴解得，。

∵不等式的解集为，∴，解得。

1

。

【考点】可行域。

条件可化为：。

设，则题目转化为：

已知满足，求的取值范围。

作出（）所在平面区域（如图）。求出的切

线的斜率，设过切点的切线为，

则，要使它最小，须。

∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。

当（）对应点时， ，

∴的最大值在处，为7。

∴的取值范围为，即的取值范围是。

解：（1）∵，∴，即。

由正弦定理，得，∴。

又∵，∴。∴即。

（2）∵ ，∴。∴。

∴，即。∴。

由 （1） ，得，解得。

∵，∴。∴。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵平面，∴平面。

又∵平面，∴平面平面。

（2）∵，为的中点，∴。

又∵平面，且平面，∴。

又∵平面，，∴平面。

由（1）知，平面，∴∥。

又∵平面平面，∴直线平面

【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。

（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。

解：（1）在中，令，得。

由实际意义和题设条件知。

∴，当且仅当时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，

即关于的方程有正根。

由得。

此时，（不考虑另一根）。

∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。

解：（1）由，得。

∵1和是函数的两个极值点，

∴ ，，解得。

（2）∵ 由（1）得，，

∴，解得。

∵当时，；当时，，

∴是的极值点。

∵当或时，，∴ 不是的极值点。

∴的极值点是－2。

（3）令，则。

先讨论关于的方程根的情况：

当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵，，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 当时，，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

② 当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，

∴在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当时，，于是是单调减两数。

又∵， ，的图象不间断，

∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当时

有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：

( i ）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。

( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9 个零点。

综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分和讨论关于的方程根的情况；再考虑函数的零点。

解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

，∴。

由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。

（2）由（1）得，，又∵∥，

∴设、的方程分别为，。

∴。

∴。①

同理，。②

（i）由①②得，。解得=2。

∵注意到，∴。

∴直线的斜率为。

（ii）证明：∵∥，∴，即。

∴。

由点在椭圆上知，，∴。

同理。。

∴

由①②得，，，

∴。

∴是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。

（2）根据已知条件，用待定系数法求解。

解：（1）∵，∴。

∴ 。∴ 。

∴数列是以1 为公差的等差数列。

（2）∵，∴。

∴。（﹡）

设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，。∴，∴。

又∵，∴是公比是的等比数列。

若，则，于是。

又由即，得。

∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

∴。

∴ 。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。

（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。

从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。

证明：连接。

∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。

∴（垂直的定义）。

又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵为圆上位于异侧的两点，

∴（同弧所对圆周角相等）。

∴（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另

一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。

本题还可连接，利用三角形中位线来求证。

解：∵，∴。

∵，∴。

∴矩阵的特征多项式为。

令，解得矩阵的特征值。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。

解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，

∴在中令，得。

∴圆的圆心坐标为（1，0）。

∵圆经过点，∴圆的半径为。

∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。

证明：∵，

由题设∴。∴。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

根据绝对值不等式的性质求证。

解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

∴共有对相交棱。

∴ 。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，

∴ ，。

∴随机变量的分布列是：

∴其数学期望。

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。

（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。