知识点：1.数系的扩充和复数的概念

D

略

知识点：2.集合间的基本关系

C

略

知识点：10.正态分布

A

略

知识点：2.导数的计算

B

略

知识点：2.导数的计算

A

略

知识点：1.直线的倾斜角、斜率与方程

B

略

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

C

略

知识点：3.空间几何体的表面积与体积

B

略

知识点：6.三角函数的图像与性质

略

知识点：5.奇偶性与周期性

略

知识点：2.排列与组合

4

略

知识点：7.定积分的简单应用

11

略

知识点：1.合情推理与演绎推理

①③

略

知识点：1.几何证明选讲

略

知识点：2.坐标系与参数方程

或或

或

略

知识点：8.三角函数模型的简单应用

（本小题满分12分）

（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）

解：（1）依题意，，，，．………………………2分

在△中，由余弦定理，得

……………………4分

．

解得． ………………………………………………………6分

所以渔船甲的速度为海里/小时．

答：渔船甲的速度为海里/小时．…………………………………7分

（2）方法1：在△中，因为，，，

，

由正弦定理，得．…………………………………………9分

即．

答：的值为．……………………………………………………12分

方法2：在△中，因为，，，，

由余弦定理，得．………………………………………9分

即．

因为为锐角，所以．

答：的值为．……………………………………………………12分

略

知识点：9.离散型随机变量的分布列、均值与方差

（本小题满分12分）

（本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力等．）

解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，

则，解得．………………………………………2分

所以．

答：的值为6，的值为2．…………………………………………3分

（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．

方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

所以．

答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．……………………………………6分

方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，

所以．

答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．……………………………6分

（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，………………………7分

所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，…………………………8分

的可能取值为0，1，2，3，………………………………………………9分

因为， ，

，，

所以的分布列为

所以．

答：随机变量的数学期望为．…………………………………………12分

（若将抽取的3人理解为可重复抽取，而采用二项分布求解，可酌情给分）

略

知识点：10.空间角与距离

（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）

方法1：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………6分

解得

所以，．………………………………………7分

过点作于点，连接，

由（1）知，，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△为直角三角形．

在△中，，，则．

由，解得．

因为．………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小为．………………………………14分

方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．……………………………3分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

…………………5分

因为，

所以．

所以．…………………………………………9分

（2）解：设是平面的法向量，因为，

所以即

取，则是平面的一个法向量．……………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一个法向量．………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．……………………………………14分

方法3：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，

所以．……………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．……………………………………………………7分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

……………9分

设是平面的法向量，

则即

取，则是平面的一个法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．……………………………………14分

略

知识点：7.数列的通项

（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，以及函数与方程、化归与转化等数学思想．）

（1）解法1：当时，，………………………2分

即．………………………………………………………………4分

所以数列是首项为的常数列．……………………………………………5分

所以，即．

所以数列的通项公式为．………………………………………7分

解法2：当时，，…………………2分

即．……………………………………………4分

所以．……5分

因为，符合的表达式．………………………………………………………6分

所以数列的通项公式为．………………………………………7分

（2）假设存在，使得、、成等比数列，

则．…………………………………………………8分

因为（n≥2），

所以

…………11分

．………13分

这与矛盾．

故不存在（），使得、、成等比数列．………14分

略

知识点：2.双曲线

（本小题满分14分）

（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）

解：（1）因为，所以，所以．……1分

由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．

因为，所以，所以．3分

故双曲线离心率的取值范围为．…………………………4分

（2）方法1：因为，

所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．………5分

因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，………………6分

所以联立方程组……………7分

消去，，即得直线的方程为．……………………8分

方法2：设，已知点，

则，．

因为，所以，即．…………5分

整理得．

因为，所以．………………………6分

因为，，根据平面几何知识可知，．

因为，所以．………………………………7分

所以直线方程为．

即．

所以直线的方程为．……………………………8分

方法3：设，已知点，

则，．

因为，所以，即．…………………5分

整理得．

因为，所以．……6分

这说明点在直线上． …………7分

同理点也在直线上．

所以就是直线的方程． ……8分

（3）由（2）知，直线的方程为，

所以点到直线的距离为．

因为，

所以三角形的面积

．………………………10分

以下给出求三角形的面积的三种方法：

方法1：因为点在双曲线上，

所以，即．

设，

所以．………………………………………………11分

因为，

所以当时，，当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减．……………………12分

当，即时，，………13分

当，即时，．

综上可知，当时，；当时，．………14分

方法2：设，则．…………………11分

因为点在双曲线上，即，即．

所以．

令，则．

所以当时，，当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．…………12分

当，即时，，……………13分

当，即时，．

综上可知，当时，；当时，．………14分

方法3：设，则．…………………11分

因为点在双曲线上，即，即．

所以．

令，

所以在上单调递增，在上单调递减．…………12分

因为，所以，

当，即时，，此时．

………13分

当，即时，，此时．

综上可知，当时，；当时，．………14分

略

知识点：3.导数在研究函数中的应用

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识．）

（1）解：因为，所以．……………1分

因为函数的图像在点处的切线斜率为3，

所以，即．

所以．……………………………………………………2分

（2）解：由（1）知，，

所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分

令，

则，…………………………………4分

令，

则，

所以函数在上单调递增．……………………5分

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，………………6分

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以

．………7分

所以．

故整数的最大值是3．……………………………………………8分

（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，…………9分

所以当时，．…………………10分

即．

整理，得

．………………11分

因为， 所以．……………12分

即．

即．……………………………………13分

所以．………………………………………14分

证明2：构造函数

，………………………………………9分

则．…………………………10分

因为，所以．

所以函数在上单调递增．……………………11分

因为， 所以．

所以

即．

即．

即．……………………………13分

所以．…………………………………14分

略